常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
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常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程 微分方程的初等解法 第二章 一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。
这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。
但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。
这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。
此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。
因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
一阶常微分方程初等解法
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
微分方程第2章习题解
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
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du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
得解
x y
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g(Y ) X
30 再经变换u Y , 将以上方程化为变量分离方程
X
40 求解
50 变量还原
例7
求微分方程
dy x y 1 dx x y 3
例如：
dy y tan y
dx x
x
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u) u , (这里由于dy x du u)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
即
dc(x) ex dx
积分得
~
c(x) ex c
~
~
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
x)e
p
(
x
) dx
dx
~
c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
~
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
~
c)
x3(4 ln
x
1 2x2
~
c)
x3 (
(4x2 1)
1
~
dx c)
x3
x3
ln
x4
x
~
c
x3
2
将初始条件 y(1) 1代入后得
~
c
3
2
故所给初值问题的通解为
y x3 ln x4 3 x3 x 22
y
yi ,
i 1,2,, k
例：
分离变量:
dy x2 y2 1
dx
dy y2 1
x 2 dx
两边积分:
dy
y2 1
x2dx C
arctan y 1 x3 C 3
注: 若存在y0,使( y0 ) 0,则y y0也是(2.1)的解,可能
它不包含在方程(2.2)的通解中,必须予以补上.
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程 dy p(x) y (2)
dx 得对应齐次方程解
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解 dy P(x) y Q(x) (1) dx
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
用G(y)，F(x)分别表示 1 及f (x) ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C
d变y 量f (分x) 离(方y) 法解法步骤
dx
如果存在 yi ，使得 ( yi ) 0, i 1,2,, k
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F (x) C
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 u u 即 x du 2 u
dx
dx
将变量分离后得
du dx 2u x
两边积分得:
u ln(x) c
du dx 2u x
即 u (ln(x) c)2, ln(x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
a(x) dy b(x) y c(x) 0 dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1) dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数
若Q(x) 0,则(1)变为 dy P(x) y (2) dx
(2)称为一阶齐次线性方程
若Q(x) 0,则(1)称为一阶非齐线性方程
dy a1x b1 y c1 k(a2 x b2 y) c1 dx a2 x b2 y c2 a2 x b2 y c2
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
3
a1 b1
a2 b2
的通解.
解:
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1,Y y 2代入方程得
dY X Y
1 Y X
dX X Y 1 Y
令u Y ,得 X du 1 u2
X
X
dX 1 u
将变量分离后得
(1 u)du dX
1 u2
X
两边积分得: arctanu 1 ln(1 u2 ) ln X c 2
例8 求微分方程
( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0
的通解.
一阶线性微分方程
形如 y P(x) y Q(x) P(x),Q(x) 为 x 的已知函数
的方程称为一阶线性微分方程。
Q(x) 0 y P(x) y 称为齐次线性方程;
Q(x) 0 称为非齐次线性方程。
一阶线性微分方程
3 2
x1在x
0无意义,
故此解只在x 0或x 0之一中有意义.
此外还有解 y 0,这个解未包含在通解中 ,应补上.
例3 求微分方程
dy p(x) y dx
的通解, 其中p( x)是x的连续函数 .
解: 将变量分离后得 dy p(x)dx y
两边积分得: ln y p(x)dx c1
故方程的所有解为:
y
10 1 cex
, c为任常数,
和y
0.
ln y 10 y
x c1
例2
求微分方程
x
dy
3
y2
的通解.
dx
解:
分离变量后得
3
y 2dy
1
dx
1 x
两边积分得: 2y 2 ln x c1
整理后得通解为:
y
4பைடு நூலகம்
4,
(ln x c1)2 (ln cx )2
其中c
ec1
,由于函数y
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
X x 作变量代换(坐标变换) Y y ,
则方程化为 dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
故其通解为
x e p( y)dy (
Q(
y
)e
p
(
y
) dy
dy
~
c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
~
c)
~
y2 ( ln y c), c为任意常数 。
练习：求值问题 dy 3 y 4x2 1, dx x
的解.
y(1) 1
解: 先求原方程的通解
y e p(x)dx (
Q(
以y(0) 1代入通解,得c 1
所以所求的特解为:
y
1 sin x 1
1. 1 sin x
变举量例分离方法
例1 求解方程 dy x dx y
练习： dy y dx x
可化为变量可分化离为方变法量分离的类型