【精品课件】数学物理方程分离变量法
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《数学物理方程》第2章 分离变量法
1) 分离变量 偏→常 常 设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t) 的非零解
代入DE得 代入 得 X ( x)T ′′(t ) = a 2 X ′′( x)T (t )
u( 0, t ) = X ( 0 )T ( t ) = 0 代入BC得 代入 得 u( l , t ) = X ( l )T ( t ) = 0 X ′′( x) T ′′(t ) ∴ = 2 = λ(常数) X满足 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0(*) 满足 X ( x ) a T (t ) X ( 0) = X ( l ) = 0 T 满足 T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 (**)
双曲型方程－ 一 双曲型方程－有界弦的自由振动
utt = a 2uxx (t > 0, 0 < x < l ) 1 定解问题 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0 (t ≥ 0) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x) (0 ≤ x ≤ l )
2 求解步骤
第2章 分离变量法 章
椭型的混合问题和边值 混合问题和边值问题 适用于 双 抛 椭型的混合问题和边值问题 非齐DE非齐 非齐BC 非齐DE齐次 齐次BC 非齐 非齐 令u( x , t ) = v( x , t ) + w( x , t ) 非齐 齐次
utt = a 2 uxx + f ( x, t ) u(0, t ) = u1 (t ) u(l , t ) = u2 (t ) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x)
2 n
注 由2.6节Sturm Liouville 理论 , 特征值问题的特征函
数学物理方法课件-9 分离变量法
(
p)
pTk
(0)
Tk(0)
ka
l
2
Hk
(
p)
Fk
(
p)
Hk
( p)
Fk
( p) pTk (0)
p2 ka
Tk(0)
2
l
Tk
(t)
Tk
(0)
cos
ka
l
t
Tk(0)
l
ka
sin
ka
l
t
l
ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
即
Tk
(t)
Fk
cos
ka
l
t
Gk
l sin ka t l ka l ka
C1 0, C2 0
u(x,t) 0
无意义
ii) 0
X (x) C0 D0x 代入边界条件得
D0 0 X (x) C0
§9.2 齐定解问题的本征函数展开法 1. 定解问题的本征函数系
用分离变量法求解定解问题 齐方程 齐边界条件
得到的本征函数系，称为定解问题
0)
u t0 (x), ut t0 (x),
(0 x l)
的本征函数系.
例：用分离变量法求解问题
ut a2uxx 0, (0 x l, t 0)
u x0 0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
sin
n
l
x , 1
就是定解问题
uut
a2uxx 0,
x0
0, u
xl
a. 分离变量 化偏微为常微
b. 解本征值问题 求偏微特解 对λ进行讨论 λ < 0, λ = 0, λ > 0
分离变量法习题课.ppt
Rm (r)<3>C* 0 (ln r ln r2 )
Cm (r m r22mr m )
Wuhan University
4
Rm (r) C0 (ln r ln r2 )
( ) 一A、m 正co交s m曲线 坐Bm标sin系m中的分离变Cm量(r m r22mr m )
[ n ]2
n
因为 a Rn () b bn
④
u(,)
n
Cn
n1
sin
n
(
)
由式<3>，得：
f
()
n
Cna
n1
sin
n
(
)
#
n
Cn a a
u(x,0) 3sin ut (x,0) 0
x
,
0
x
u(0,t) u( ,t) 0;
u(x,t) (An cos nat Bn sin nat)sin nx
n1
u(x,0) 3sin x An sin nx 3sin x
sin
x
sin
y
<1>
sin z
ut (x, y, z;0) 0 u(0, y, z;t) u(1,
y,
z;
t
)
<3> 0 <4>
Z Z 0
<10> u(x,0, z;t) u(x,1, z;t) 0 <5>
其中( )
数学物理方程分离变量法 (2)精品
l
) 1, 2,3,L
)
特征值与 特征函数
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n 1的驻波除两端x 0和x l外没有其他节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a / 2l在所有本征振动中是 最低的。这个驻波叫做基波。n 1的各个驻波分别叫做n次谐波。 n次谐波的波长2l / n是基波的1/ n,频率na / 2l则是基波的n倍。
) 1, 2,3,L
)
特征值与 特征函数
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n 1的驻波除两端x 0和x l外没有其他节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a / 2l在所有本征振动中是 最低的。这个驻波叫做基波。n 1的各个驻波分别叫做n次谐波。 n次谐波的波长2l / n是基波的1/ n,频率na / 2l则是基波的n倍。
数学物理方程课件：8.1分离变量法介绍
X (0) 0 和 X '(l) 0.
C1 0 和
C2 cos l 0
(k
1)2 2 2 l2
(2k
1)2 4l 2
2
k 0,1,2,3
X
(x)
C2
sin
(2k
1)x 2l
C.
(2k 1)2 2a2
T ''
4l 2
T 0;
T (t) Acos (2k 1)at B sin (2k 1)at ,
nat l
Bn
sin
nat l
) cos
nx l
.
n0 n 1,2,3
D.
u(x,t) A0 B0t
n1
(
An
cos
na l
t
Bn
sin
na l
t
)
cos
nx l
.
由初始条件：
u t0 (x)
A0
n1
An
sin
nx l
(x),
A0
1 l
l 0
(
)d ,
An
2 l
l 0
( ) cos n l
X
(
x)
C2
sin
nx l
：本征值
：本征函数
C2是积分常数。
X ''X 0;
：本征值方程
C.
T ''
n2 2a2 l2
T
0;
T (t) Acos nat B sin nat ,
l
l
A、B 是积分常数。
un (x,t)
( An
cos
nat l
数理方程(分离变量法)非齐次方程
拉普拉斯方程
在电磁学中，拉普拉斯方程描述了电场和磁场的 变化，分离变量法可以用于求解非齐次拉普拉斯 方程。
解法步骤
01
02
03
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ05
1. 将原方程化为 2. 寻找可分离变 3. 求解常微分方 4. 求解常微分方 5. 验证解的正确
标准…
量的解
程
程
性
将非齐次方程化为标准形 式，即形如$frac{d^2u}{dx^2} + q(x)u = f(x)$的方程。
程，然后求解该微分方程。
积分法
通过对方程进行积分，将微分方程转化为代数方程，然后 求解代数方程。
待定系数法
在解非齐次方程时，可以通过假设解的形式并代入原方程， 求解出待定系数。
实例分析
举例
以一阶线性非齐次方程为例，dy/dx + y = x^2，通过分离变量法，得到y = e^(-x)(C + 积分号从0到x[e^(x)x^2 - 2x + 2])，其中C为积分常数。
将偏微分方程转化为常 微分方程。
求解常微分方程，得到 各独立变量的解。
根据初始条件和边界条 件，确定解的完整形式 。
以一维波动方程为例， 应用分离变量法求解。 首先将x和t分离，得到 两个常微分方程，然后 分别求解得到x和t的解 ，最后根据初始条件和 边界条件确定解的完整 形式。
03
非齐次方程
定义与性质
非齐次方程的重要性
实际问题
非齐次方程更贴近实际问题，能够更好地描述物理现 象和工程问题。
理论完整性
研究非齐次方程可以完善数理方程的理论体系，推动 学科发展。
挑战性
非齐次方程的求解更具挑战性，需要更深入的研究和 探索。
在电磁学中，拉普拉斯方程描述了电场和磁场的 变化，分离变量法可以用于求解非齐次拉普拉斯 方程。
解法步骤
01
02
03
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ05
1. 将原方程化为 2. 寻找可分离变 3. 求解常微分方 4. 求解常微分方 5. 验证解的正确
标准…
量的解
程
程
性
将非齐次方程化为标准形 式，即形如$frac{d^2u}{dx^2} + q(x)u = f(x)$的方程。
程，然后求解该微分方程。
积分法
通过对方程进行积分，将微分方程转化为代数方程，然后 求解代数方程。
待定系数法
在解非齐次方程时，可以通过假设解的形式并代入原方程， 求解出待定系数。
实例分析
举例
以一阶线性非齐次方程为例，dy/dx + y = x^2，通过分离变量法，得到y = e^(-x)(C + 积分号从0到x[e^(x)x^2 - 2x + 2])，其中C为积分常数。
将偏微分方程转化为常 微分方程。
求解常微分方程，得到 各独立变量的解。
根据初始条件和边界条 件，确定解的完整形式 。
以一维波动方程为例， 应用分离变量法求解。 首先将x和t分离，得到 两个常微分方程，然后 分别求解得到x和t的解 ，最后根据初始条件和 边界条件确定解的完整 形式。
03
非齐次方程
定义与性质
非齐次方程的重要性
实际问题
非齐次方程更贴近实际问题，能够更好地描述物理现 象和工程问题。
理论完整性
研究非齐次方程可以完善数理方程的理论体系，推动 学科发展。
挑战性
非齐次方程的求解更具挑战性，需要更深入的研究和 探索。
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sinn x (n
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
2） 0 X(x)AxB
AB0 X0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x ) A c o sx B s inx
A0 B sin l 0
n (n1,2,3, )
l
n2 2
l2
n
n22
l2
Xn(x) Bn
(n1,2,3,
na t
na t
T n ( t) C 'n c o sl D 'n s inl ( n 1 ,2 ,3 , )
n a n a n
u n ( x ,t ) ( C n c o slt D n s i n lt ) s i n lx( n 1 ,2 ,3 ,)
步骤2，叠加原理做出解的线性组合。
X ''( x ) X ( x ) 0T ''( t) a 2 T ( t) 0
带入边界条件 X (0 ) T ( t) 0 , X ( l) T ( t) 0
X(0)0, X(l)0
X ''( x ) X ( x ) 0 特征值问题
X
(0)
0,
X (l) 0
分情况讨论：
1） 0
2u t2
a2
2u x2
,
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0xl,t 0 t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。
令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程： X(x)T''(t)a2X''(x)T(t)
令
X ''(x) T ''(t) X (x) a2T(t)
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
•基本思想：
（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解;
特点：偏微分方程化为常微分方程
（2）由叠加原理作出这些解的线性组合；
特点：叠加原理
（3）由其余的定解条件确定叠加系数。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
二阶常系数齐次线性微分方程 ypyq y0
求方程的通解的步骤为：
0xl,t 0 t 0
u(x,0)(x),变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst Xin D nn (ln xa s)tin Bn lna st) is nnlin xlnx
▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
其中： A nC n 2 D n 2
l 0
(x )sim lnx d x0 ln 1 C nsin ln x sim lnx d x 2l
C
m
Cm2 l 0l(x)sin m lxdx
Cn20l(x)sin nxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
u(2t0u2,t)a20,ux2u2(l,,t)0,
u(x t,t)t0n 1D nnlasinnlx(x)
0 lsin 2n lx d x 0 l1 c o s2 2 n /ld x 2 l
0 ls i n n lx s i n m lx d x 1 2 0 l c o s n lm x c o s n lm x d x 0
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n1,2,3, )
sin n x
l
n
2 n
l
l
驻波法
驻 波 法 ： 研 究 的 弦 是 有 限 长 的 ， 它 有 两 个 端 点 ， 波 就 在 两 个 端 点 之 间 往 复 反 射 。
(1)写出微分方程的特征方程 r2prq0,
(2)求出特征根 r1 , r2 ，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根 实根
通
解
yC 1er1xC 2er2x y(C 1C 2x)er1x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
二阶常系数齐次线性微分方程 yy0
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
2） 0 X(x)AxB
AB0 X0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x ) A c o sx B s inx
A0 B sin l 0
n (n1,2,3, )
l
n2 2
l2
n
n22
l2
Xn(x) Bn
(n1,2,3,
na t
na t
T n ( t) C 'n c o sl D 'n s inl ( n 1 ,2 ,3 , )
n a n a n
u n ( x ,t ) ( C n c o slt D n s i n lt ) s i n lx( n 1 ,2 ,3 ,)
步骤2，叠加原理做出解的线性组合。
X ''( x ) X ( x ) 0T ''( t) a 2 T ( t) 0
带入边界条件 X (0 ) T ( t) 0 , X ( l) T ( t) 0
X(0)0, X(l)0
X ''( x ) X ( x ) 0 特征值问题
X
(0)
0,
X (l) 0
分情况讨论：
1） 0
2u t2
a2
2u x2
,
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0xl,t 0 t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。
令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程： X(x)T''(t)a2X''(x)T(t)
令
X ''(x) T ''(t) X (x) a2T(t)
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
•基本思想：
（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解;
特点：偏微分方程化为常微分方程
（2）由叠加原理作出这些解的线性组合；
特点：叠加原理
（3）由其余的定解条件确定叠加系数。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
二阶常系数齐次线性微分方程 ypyq y0
求方程的通解的步骤为：
0xl,t 0 t 0
u(x,0)(x),变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst Xin D nn (ln xa s)tin Bn lna st) is nnlin xlnx
▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
其中： A nC n 2 D n 2
l 0
(x )sim lnx d x0 ln 1 C nsin ln x sim lnx d x 2l
C
m
Cm2 l 0l(x)sin m lxdx
Cn20l(x)sin nxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
u(2t0u2,t)a20,ux2u2(l,,t)0,
u(x t,t)t0n 1D nnlasinnlx(x)
0 lsin 2n lx d x 0 l1 c o s2 2 n /ld x 2 l
0 ls i n n lx s i n m lx d x 1 2 0 l c o s n lm x c o s n lm x d x 0
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n1,2,3, )
sin n x
l
n
2 n
l
l
驻波法
驻 波 法 ： 研 究 的 弦 是 有 限 长 的 ， 它 有 两 个 端 点 ， 波 就 在 两 个 端 点 之 间 往 复 反 射 。
(1)写出微分方程的特征方程 r2prq0,
(2)求出特征根 r1 , r2 ，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根 实根
通
解
yC 1er1xC 2er2x y(C 1C 2x)er1x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
二阶常系数齐次线性微分方程 yy0