9.7抛物线(理_作业)

限时作业49 抛物线
一、选择题
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的焦点,则a=( ).
A.1
B.4
C.8
D.16
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ).
A.-
B.-
C. D.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( ).
A. B.
C. D.
4.(2011陕西西安高三质检)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),过焦点F的直线l 与抛物线C相交于A,B两点,若直线l的倾斜角为45°,则弦AB的中点坐标为( ).
A.(1,0)
B.(2,2)
C.(3,2)
D.(2,4)
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的3个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以
|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形( ).
A.不存在
B.必是锐角三角形
C.必是钝角三角形
D.必是直角三角形
6.已知点M是抛物线y=x2上一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题
7.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.
8.设抛物线y2=8x上的一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线的焦点的距离是.
9.已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x= .
三、解答题
10.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.
11.求过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方程.
12.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
参考答案
一、选择题
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.C 解析:由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1. 过点M 作MH⊥l 于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.
∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A 四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值,于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.
二、填空题
7.x 2
+(y-4)2
=64 8.6
9.3 解析:∵|MF|=4,∴点M 到准线x=-1的距离为4. ∴点M 到y 轴的距离为3. ∴M 的横坐标为3. 三、解答题
10.解:如图,依题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),
则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1++x 2+, 即x 1++x 2+=8.①
又A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)是抛物线和直线的交点,
由消去y,得x2-3px+=0,
∴x
1+x
2
=3p.将其代入①,得p=2.
∴所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
11.解:如图,(1)若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.
由得
即直线x=0与抛物线只有一个公共点.
(2)若直线的斜率存在,设过P点的直线方程为y=kx+1,
由得k2x2+2(k-1)x+1=0.
当k=0时,解得y=1,即直线y=1与抛物线只有一个公共点.
当k≠0时,Δ=4(k-1)2-4k2=0,解得k=.
即直线y=x+1与抛物线有一个公共点.
综上所述,所求直线方程为x=0或y=1或y=x+1.
12.解:(1)由已知,直线x=4不合题意.
设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),
因为点F到直线l的距离为,所以=.
解得k=±,所以直线l的斜率为±.
(2)设线段AB中点的坐标为N(x
0,y
),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为,直线AB的斜率为,
直线AB的方程为y-y
0=(x-x
).
联立方程
消去x,得y2-y
0y++x
(x
-4)=0,所以y
1
+y
2
=.
因为N为AB的中点,所以=y
0,即=y
.
所以x
=2,即线段AB中点的横坐标为定值2.。