变量分离的方程word版
一阶微分方程ppt
特征根的情况
相异实根 r1 r2 相等实根 r1 r2
复根 r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x) er1x
y e x (C1 cos x C2 sin x)
15
例1 求微分方程 y 3y 10y 0 满足初始条件
y 6, y 2 的特解.
2
第五节 二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式：
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
其中P(x),Q(x),f(x)为连续函数,f(x)称为自由项.
当 f (x) 0, 称为二阶齐次线性方程. 当f (x) 0, 称为二阶非齐次线性方程.
3
特权福利
特权说明
例2 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
例3 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
例4
求
微
分
方程
d2 dt
s
2
2
ds dt
s
0
满足初始条件
s(0) 4, s(0) 2 的特解.
17
例2 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
解 特征方程为 r 2 2r 3 0
5
1、二阶齐次线性微分方程解的结构
定理1(解的叠加原理) 设 y1, y2 是方程(1)的两个解,则 y1, y2 的线性组合 y C1 y1 C2 y2( C1, C2是任意常数)也
是方程(1)的解.
问题： y C1y1 C2 y2 是方程(1)的通解吗？ 不一定
例如：通过观察可知 y1 ex , y2 3ex , y3 ex 都是方程
( y1 ( y1
(完整word版)线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用ˆ+a ˆ=bx ˆ的求法：第一公式：线性回归方程为y（1）先求变量x 的平均值，既x =（2）求变量y 的平均值，既y =1(x 1+x 2+x 3+⋅⋅⋅+x n )n 1(y 1+y 2+y 3+⋅⋅⋅+y n )n ˆ，有两个方法（3）求变量x 的系数bˆ=法1b∑(x -x )(y -y )iii =1n∑(x -x )ii =1n（题目给出不用记忆）2(x1-x )(y 1-y )+(x 2-x )(y 2-y )+...+(x n-x )(y n-y )][（需理解并会代入数据）=222⎡⎤(x -x )+(x -x )+...+(x -x )2n ⎣1⎦nˆ=法2b∑(x -x )(y -y )iii =1∑(x -x )ii =1n（题目给出不用记忆）2=[x 1y1+x 2y 2+...x ny n]-nx ⋅y,（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）2222⎡⎣x 1+x 2+...+x n ⎤⎦-nx ˆˆ=y -bx ˆ，既a （4）求常数aˆ+a ˆ-a ˆ=bx ˆ。
可以改写为：y =bx ˆ（y ˆ与y 不做区分）最后写出写出回归方程y例．已知x ,y 之间的一组数据：x0123y1357求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既x =（2）求变量y 的平均值，既y =1(0+1+2+3)=1.541(1+3+5+7)=44ˆ，有两个方法（3）求变量x 的系数b2222⎡⎤(x -x )+(x -x )+(x -x )+(x -x )1234⎣⎦ˆ法1b=(0-1.5)(1-4)+(1-1.5)(3-4)+(2-1.5)(5-4)+(3-1.5)(7-4)5==22227⎡⎣(0-1.5)+(1-1.5)+(2-1.5)+(3-1.5)⎤⎦(x1-x )(y 1-y )+(x 2-x )(y 2-y )+(x 3-x )(y 3-y )+(x 4-x )(y 4-y )][=ˆ=法2b[x 1y1+x 2y 2+...x ny n]-nx ⋅y=[0⨯1+1⨯3+2⨯5+3⨯7]-4⨯1.5⨯4=52222⎡⎤x +x +...+x -nx 12n ⎣⎦2222⎡⎤0+1+2+3⎣⎦7ˆ=4-ˆ=y -bx ˆ，既a (4)求常数aˆ+a ˆ=bx ˆ=最后写出写出回归方程y第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验：525⨯1.5=77525x +77y1a ca +cy2b d总计x 1a +b c +d a +b +c +d注意：数据a 具有两个属性x 1，y 1。
换元法解分式方程(可编辑修改word版)
1 +2 x x x + 2 x + 2 x x x + 2 x + 2 x x + 2 x1 2 1 2 1 换元法解分式方程毛彩猛换元法，就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系的解题技巧。
下面用运用“换元法”了解分式方程的几个例子。
例 1 解方程( x x + 1 ) 2 + 5( x x + 1) + 6 = 0 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
x解 设 x + 1 = y ，于是原方程变形为y 2 + 5y + 6 = 0解得y 1 = -3，y 2 = -2 当y 1 = -3时， x x + 1 = -3，解得x 1 = - 3 ； 4当y 2 = -2时， x x + 1 = -2，解得x 2 = - 2 。
3 经检验x 1 = - 3 ，x 4 2 = - 2 均为原方程的根。
3 6 例 2 解方程 x 2 + x= x 2 + x + 1 分析 方程左边分式分母为x 2 + x ，可将右边x 2 + x 看成一个整体，然后用换元法求解。
解 设x 2 + x = y ，则原方程变形为 6 = y + 1 y解得y 1 = -3，y 2 = 2 当y = -3时，x 2 + x = -3，此方程无实根。
当y = 2时，x 2 + x = 2，解得x = -2，x = 1。
经检验，x 1 = -2，x 2 = 1都是原方程的根。
10 例 3 解方程 + = 3分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
10 解 原方程为 + = 3 设 = y ，则原方程可变形为y + 1 = 10 y 3 解得y 1 = 3，y 2 = 3 当y = 3时， = 3，解得x = 11 1 4⎩⎩ = 当y 2 = 1 时， 3 = 1 ，解得x 3 2= - 9 4 经检验x 1 = 1 ，x 42 = - 9 都是原方程的根。
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
高等数学公式、定理最全版
高等数学公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
常微分方程初等解法及其求解技巧
目 录摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ............................................................. I Key words ........................................................... I 1.前 言 ............................................................ 1 2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1 2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1 2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2 2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2 2.2常数变易法 ..................................................... 7 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8 2.3积分因子法 .................................................... 13 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14 3.1几个重要的变换技巧及实例 .. (15)3.1.1变dx dy 为dy dx................................................15 3.1.2分项组合法组合原则 ........................................ 16 3.1.3积分因子选择 .............................................. 17 参考文献 .......................................................... 18 致 谢 (19)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary DifferentialEquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前 言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律. 2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义 1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
(完整word版)不定方程的解法与应用
摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。
This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。
For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。
(完整word版)高数定义
邻域：设a 和δ是两个实数，且0δ>，满足不等式x a δ-<的实数x 的全体称为a 的δ邻域。
绝对值：数轴上的点a 到原点的距离称为a 的绝对值，记为a 。
正间：即正区间 数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。
实数：实数由有理数和无理数组成。
有理数包括整数和分数。
函数：设x 和y 是两个变量，若当变量x 在其变动区域D 内取任一数值时，变量y 依照某一法则f 总有一个确定的数值与x 值对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =。
奇函数：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数。
偶函数：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数。
定义域：在函数的定义中，自变量x 的变动区域，称为函数的定义域。
值域：在函数的定义中，y 的取值的集合称为函数的值域。
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。
三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。
指数函数：函数xy a =(0,1)a a >≠，称为指数函数。
复合函数：设y 是u的函数()y f u =，u是x 的函数()u x φ=，如果()u x φ=的值哉包含在()y f u =的定义域中，则y 通过u 构成x 的函数，记作()()y f x φ=，这种函数称为复合函数，其中u 称为中间变量。
对数函数：函数log a y x=(0,1)a a >≠，称为对数函数。
反函数：设设y 是x 的函数()y f x =，其值域为G ，如果对于G 中的第一个y 值，都有有一个确定的且满足()y f x =的x值与它对应，则得到一个定义在G 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数，称它为()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，并称()y f x =为直接函数。
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第6单元 变量分离的方程
一. 教学目标
1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。
2． 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。
二. 知识点
1. 分离变量法
三. 教学重点、难点
对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点
考虑微分方程
0),(),(=+dy y x Q dx y x P （2.2.1）
若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：
0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X （2.2.2）
变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？
一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：
0)()(=+dy y Y dx x X （2.2.3）
（2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为
C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( （2.2.4）
由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除（2.2.2）式的两侧，得到
0)
()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。
分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为
C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)
()()()(11 （2.2.6） 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的.
附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知a x =（或b y =）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.
例1 求解微分方程
0)1)(1(2
2=+-+xydy dx y x （2.2.7）
解 当0)1(2≠-y x 时，方程（2.2.7）可改写为等价的方程 01
122=-++dy y y dx x x ， 积分得
C y x x ln 1ln )ln(222=-++，
即 C y e
x x =-1222，
亦即 222
1x
e C y x
-⋅+= （2.2.8） 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许（2.2.8）中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于（2.2.8）中.因此方程（2.2.7）的通积分为 2221x e C y x -⋅
+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .
例2 求微分方程)1(d d 2y x x
y y -=的通解. 解 当1±≠y 时，分离变量得
x x y y y d d 12=-，等式两端积分得 12d d 1C x x y y y +=-⎰⎰， 1222
11ln 21C x y +=-， 1222e ,
e 1C x C C y --±==-
方程的通解为 2
e 12x C y --=。
显然012=-y 即1±=y 是原方程的解，而此解可在通解中令0=c 得到.
例3 求下列微分方程的所有常数解：
（1）0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x ；
（2）
y x x
y sin d d 2=： （3）y x x y tan d d 2=。
解 （1）由012=-y ，得1±=y ；由012
=-x ，得1±=x 。
所以方程的所有常数解为1,1±=±=x y 。
（2）由0sin =y ，得πk y =， ,2,1,0±±=k ，所以方程的所有常数解为πk y =， ,2,1,0±±=k 。
（3）由0tan =y ，得πk y =， ,2,1,0±±=k ，所以方程的所有常数解为πk y =， ,2,1,0±±=k 。
例4 求解微分方程
31
'23y y = （2.2.9） 并作出积分曲线族的图形.
解 当0≠y 时，将（2.2.9）改写为dx y dy
2
331
=，两边积分，得 C x y +=3
2， （0≥+C x ），
或 32)(C x y +=， （C x -≥） （2.2.10）
最后，还有特解0≡y ，它不包含在（2.2.10）之中.
利用方程（2.2.9）并参照通积分（2.2.10），可以作出积分曲线族的图形。
由图形不难看出，过x 轴上的每一点)0,(x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.
总之，微分方程（2.2.9）满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.
我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.
1．求解下列微分方程：
（1） 221xy y x dx
dy +++=；
解 分离变量，得
dx x y
dy )1(12+=+， 积分后得通积分
C x x y ++
=22
1arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++
=. （2） 2)2cos (cos y x dx
dy =； 解 分离变量，得
xdx y dy 22cos 2cos =， 积分后得通积分
C x x y =--2sin 2
12tan . 此外由02cos =y 可求得特解4
2ππ+=n y . （3） 21y dx
dy x -=； 解 分离变量，得
x
dx y dy
=-2
1， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .
此外还有特解1±=y .
（4） y x
e
y e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得
dx e x dy e y x y )()(--=+，
积分后得通积分
C e e x y x y =-+--)(222.
2．求解下列微分方程的初值问题：
（1）0=+-dy ye xdx x
，1)0(=y ；
解 将方程改写为 0=+ydy dx xe x ，积分后得通积分
C y e xe x x =+
-22
1. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22
=++-y e x x . （2） 21ln y
x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，
积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 3
13. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .
所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+
x x x y y . （3）321xy dx
dy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x xdx
dy y +=，
积分后得通积分 C x y
=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为
312122=++x y .
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