分离变量法求解偏微分方程
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
线性偏微分方程的解法-分离变量法
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
偏微分方程的分离变量法
偏微分方程的分离变量法偏微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了多元函数的偏导数之间的关系。
在求解偏微分方程的过程中，分离变量法是一种常被使用的方法。
本文将介绍偏微分方程的分离变量法，并通过实例来说明其应用。
一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种常见且常用的求解偏微分方程的方法。
它基于以下原理：假设待求解的偏微分方程为一个多项式函数，且可以分解为多个单独的函数之积，即可将其分离为多个个别的方程，通过解这些个别方程，再将它们组合起来得到原方程的解。
二、分离变量法的具体步骤分离变量法的具体步骤如下：1. 将待求解的偏微分方程中的各个变量分离，组成一个由单个变量及其对应的导数组成的方程。
2. 对单个变量的方程进行求解，得到每个变量的解函数。
3. 将各个变量的解函数组合起来，得到原方程的解。
三、应用实例：热传导方程问题考虑一个一维热传导方程问题：∂u/∂t = k * ∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为未知函数，k为常数。
按照分离变量法的步骤，我们将u(x, t)分离为两个函数u(x)和v(t)的乘积，即u(x, t) = X(x) * T(t)。
将上述分离变量代入原方程中，得到：X(x) * T'(t) = k * X''(x) * T(t)将等式两边分别除以k * X(x) * T(t)，得到：T'(t) / (k * T(t)) = X''(x) / X(x)由于等式两边只包含单个变量及其对应的导数，因此可以将等式两边分别等于一个常数，记为-λ^2，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2 = X''(x) / X(x)接下来，我们对T(t)和X(x)分别进行求解。
对T(t)的小节方程进行求解，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2T'(t) / T(t) = -λ^2 * k对上述方程积分，得到：ln(T(t)) = -λ^2 * k * t + C1其中，C1为常数。
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
1
⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ 直角坐标系与球坐标系的关系： ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos ϕ ⎩
利用微分计算，可以得到球坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u =0 ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟+ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
边界条件 确定本征值、 本征函数
初始条件 确定待定系数
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
一、拉普拉斯（Laplace）方程： ∇ u = 0
2
1、球坐标系 (r , θ , ϕ ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 直角坐标系下拉普拉斯方程：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
⇒
ρ d ⎛ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 1 d 2Φ ⎜ ⎟ + = − = m2 ρ ⎜ ⎟ 2 2 Φ dϕ R dρ ⎝ dρ ⎠ Z dz
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎨ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 2 ⎪ρ d ⎛ ⎜ ⎟ ρ ⎟ + Z dz 2 − m = 0 ⎪ R dρ ⎜ d ρ ⎝ ⎠ ⎩ (17) (18)
Φ (ϕ ) 应满足自然边界条件 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π )
所以， m 必须为整数，即 m = 0,1,2, L 综上
Φ(ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
3 、方程（8）的求解 ○ 令 x = cos θ ,
(m = 0,1,2,L)
（13）
分离变量法求解偏微分方程
分离变量法求解偏微分方程分离变量法求解偏微分方程，听起来有点复杂对吧？但别担心，让我们用轻松愉快的方式来聊聊这个话题。
想象一下你在厨房里做菜，手上有一堆食材。
这些食材各有各的特性，有些需要煮，有些需要炒，而你的任务就是把它们分开，然后再根据需要组合起来。
这个过程就像是在处理偏微分方程。
偏微分方程嘛，就是那种同时涉及多个变量的方程，听起来就像是那些小朋友的玩具，满地都是，得一一捡起来，才能搞定。
分离变量法其实就是一种策略，帮助我们把这些复杂的变量一分为二。
想象一下，有个大大的方程，把它从中间一劈，两边的变量分别放到各自的“碗”里。
你会发现，问题一下子简单多了。
比如说，假设我们有一个方程，涉及时间和空间的变量。
我们可以把时间的部分和空间的部分给隔开，就像把米饭和菜分开，不同的地方，不同的调味。
只要我们做到这一点，接下来就能轻松求解了。
在这个过程中，最重要的就是找到合适的“切口”。
每个方程都有自己的特点，找到合适的方法，就像找到了正确的刀，轻轻一划，问题就迎刃而解。
举个例子，如果我们遇到的方程可以写成这样的形式：一个函数乘以一个关于另一个变量的函数。
这就是一个好机会！这时候我们可以放心地分开，把每一部分独立处理。
就像把炒菜和煮汤分开，最后再合在一起，味道更鲜美。
解决这些方程的过程也不全是顺风顺水。
尽管我们把变量分开了，结果也可能让人抓狂。
这就像煮了一锅粥，却发现没有盐，味道不够。
这时候，我们得重新审视我们的步骤，看看哪里出了问题。
搞清楚这些细节，才能确保最终的结果是我们想要的。
分离变量法的最终目的是求出我们需要的函数，通常我们得到的是一个积分方程。
这里面可能会涉及到一些技巧，比如换元或者分部积分，这些都是我们厨房里的“秘密调料”。
掌握了这些，你就能把原本复杂的方程变成简单可解的形式。
不过，别以为解决偏微分方程就能万事大吉。
生活中还有很多其他的方程等着我们去挑战。
每一种方程都有它的故事，有它的背景。
这就像每道菜都有自己的配方。
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T(t)： T (t) a2T (t) 0
本征值问 题
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
x
,
n 1, 2,3,L
Tn (t)
An
cos
an
l
t
Bn
sin
an
l
t
n 1, 2,3,L
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
物理解释：
一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
)
x
当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化
第三节 特殊区域上的位势方程
矩形域上的边值问题
t0
u( x, t )
2l 2
2d (l d )
n1
1 n2
sin
n d
l
cos
an
l
t
sin
n
l
x
对不同的 d ，有界弦的自由振动
当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动
当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动
第二节 有限长杆上的热传导
u(utx,0a) 2x2u(2x,),
第十章 分离变量法
第一节 有界弦的自由振动 第二节 有限长杆上的热传导 第三节 特殊区域上的位势方程 第四节 高维定解问题的分离变量法 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程
的处理
第一节 有界弦的自由振动
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 ,
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
u(x,t) X (x)T (t)
X(x)：
X X
(x) X (x)
(0) X (l)
0
0
本征值问题
T(t)： T (t) a2T (t) 0
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
1 2
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
左端点自由、右端点固定的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
cos
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2,3,L
2u u(tx2 ,
l tan l
举例-弦的敲击
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 0, ut
, (
x,
0)
(
x
c),
u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l], 0 c l t0
u(x,t)
2
a
n1
1 n
sin
n
l
c
sin
an
l
t
sin
Bn
sin
an
l
t
sin
n
l
x
Nn
sin
n
l
x
sin
an
l
t
n
其中
Nn An2 Bn2 ,
振
幅
an
N
n
sin
n
l
x
频
率
n
an
l
初相位 n
n
arctan
An Bn
振动元素，本征振动
驻波
其它边界条件的混合问题
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u , x2
( x),
ut
a2 0)
2u x2 ,
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
左端点固定、右端点自有的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u( x, t )
n1
An
cos
an
l
t
Bn
sin
an
l
t
sin
n
l
x
利用初始条件得
An
2 l
l
(
0
) sin
n
l
d
Bn
2
an
l
0
(
) sin
n
l
d
驻波 o
n=4 l
un (x,t)
An
cos
an
l
t
n
l
x
对不同的 c ，有界弦的自由振动
当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动
当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动
再例-弦的拨动
2u
t
2
a2
2u x2
,
u
(
x,
0)
1 d
x
1 ld
(l
x)
,
ut
(
x,
0)
0,
x (0,l),t 0 x [0, l], 0 d l
u(0,t) u(l,t) 0,
第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u , x2
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
X (x) X (x) 0
X (0) X (0) X (l) 0
) sin
(n
l
1 2
)
d
举例
u
t
a2
2u x2
,
u(x, 0)
u0 l
x,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0 x [0,l] t0
u( x, t )
2u0
2
n0
(1)n
(n
1 2
)2
exp
a2
(n
1 2
)2
2
l2
t
sin
(n
l
1 2
x,
n 0,1, 2,3,L
Tn
(t)
An
exp
a2
(n
1 2
l2
)2
2
t
n 0,1, 2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u( x, t )
n0
An
exp
a2
(n
1 2
)2
2
l2
t
sin
(n
l
1 2
)
x
利用初始条件得
2
An l
l 0
(
u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
物理解释：
一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t) X (x)T (t)
X(x)：
X (x) X (x) 0
(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
两端自由的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
l
2
,
Xn (x)
cos
n
l
x
,
n 0,1, 2,3,L
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 ,