变量可分离方程
可分离变量的微分方程ppt课件
1
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
•分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
•两端积分 g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
)
k
7
结束
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
提示 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)
牛顿第二运动定律Fma 6 下页
例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
dx 设积分后得 G(y)F(x)C
方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解 2
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3x25xy0
dy(3x25x)dx
(x2y2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
10ydy10xdx ————
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
3
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 y
dy 2xdx
两边积分得
1 dy y
2xdx
即
ln|y|x2C1 注 加常数的另一方法
可分离变量的微分方程
代入原方程得
du (1 2e ) u y 2e u (1 u) 0 dy
u
u 1 2 e dy 分离变量，得 du 0 u y u 2e
两端积分
d ( u 2e u ) dy u 2e u y ln C
y( u 2e u ) C .
.
第三节 齐次方程
dy y 1. 定义 可化为形如 dx x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y 2 xy )dx ( x 2 xy y 2 )dy
y y 2 2 dy 2 y xy x x . 可化成 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x 是齐次方程.
两端积分
dy csc xdx y ln y
lnln y ln(csc x cot x ) ln C
于是，y
e
C (csc x cot x )
为原方程的通解.
将y x e 代入，有
2
ee
C (10)
, C 1.
csc x cot x
故所求特解为
ye
du u cos u 1 代入原方程得 x u dx cos u dx 分离变量，得 cos udu x
两端积分，得
sin u ln x C
y 原方程的通解为 sin ln x C . x
x x x y y 例2 解方程 1 2e dx 2e 1 dy 0. y x dx du 解 令 u( y ), 则 u y . y dy dy
dy f ( x )dx . g( y )
变量分离的方程
§2 变量分离的方程考虑微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2(若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2(变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积.问题是：对)2.2(如何求解？一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：0)()(=+dy y Y dx x X )3.2()3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( )4.2(由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到0)()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的.附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上.例1 求解微分方程0)1)(1(22=+-+xydy dx y x )7.2(解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程01122=-++dy y y dx x x ， 积分得C y x x ln 1ln )ln(222=-++，即 C y e x x =-1222，亦即 2221x e C y x -⋅+= )8.2( 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许)8.2(中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于)8.2(中.因此方程)7.2(的通积分为2221xe C y x -⋅+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .例2 求解微分方程 31'23y y = )9.2( 并作出积分曲线族的图形.解 当0≠y 时，将)9.2(改写为dx ydy2331=， 两边积分，得 C x y +=32， （0≥+C x ）， 或 32)(C x y +=， （C x -≥） )10.2(最后，还有特解0≡y ，它不包含在)10.2(之中.利用方程)9.2(并参照通积分)10.2(，可以作出积分曲线族的图形（图 ）由图 不难看出，过x 轴上的每一点)0,(**x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.总之，微分方程)9.2(满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.下面我们通过几个例子来说明,尽管一些方程本身不是可分离变量的,但通过适当变换后,便可变为可分离变量方程.例3 求解微分方程y x dxdy +=2 )11.2( 解 作变换,令y x z +=2,则dx dydx dz +=2,代入原方程得z dx dz+=2,将它分离变量得dx z dz=+2,积分得c x z ln 2ln +=+,或2-=x ce z ,所以原方程的解为22--=x ce y x .例4 求解微分方程)(t a n 2y x dx dy+=)12.2( 解 作变换,令y x z +=,则dx dydx dz+=1,代入原方程,化简后得zdz dx 2cos =,积分得12sin 4121c z z x ++=,所以原方程的隐式解为c y x y x =+--)(2sin )(2.其中14c c =.习题2—21．求解下列微分方程：（1） 221xy y x dxdy +++=； 解 分离变量，得dx x y dy )1(12+=+， 积分后得通积分C x x y ++=221arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++=. （2） 2)2c o s (c o s y x dxdy =； 解 分离变量，得xdx ydy 22cos 2cos =， 积分后得通积分C x x y =--2sin 212tan . 此外由02cos =y 可求得特解42ππ+=n y . （3） 21y dxdy x -=； 解 分离变量，得xdx y dy=-21， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .此外还有特解1±=y .（4） y xey e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得dx e x dy e y x y )()(--=+，积分后得通积分C e e x y x y =-+--)(222.2．求解下列微分方程的初值问题：（1）0=+-dy ye xdx x ，1)0(=y ；解 将方程改写为 0=+y d y dx xe x ，积分后得通积分C y e xe x x =+-221. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22=++-y e x x .（2） 21ln y x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 313. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+x x x y y . （3）321xy dxdy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x x d xdy y +=，积分后得通积分 C x y=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为312122=++x y . 3． 跟踪：设某A 从xOy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从),0(b 开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ，试求B 的光滑运动轨迹.解 设B 的运动轨迹由)(x y y =表达，在0=t 时，B 的坐标为),0(b ，在时刻t 时，B 的坐标为))(,(x y x ，因为B 与A 永远保持等距b ，从而22yb y dx dy --=， 分离变量，得 dx dy yy b =--22， 积分后得通积分C y b y b b y b b b x +-----+=222222ln 2. 由初值条件b y =)0(，得0=C .所以设B 的运动轨迹为222222ln 2y b y b b y b b b x -----+=. 4． 设微分方程)(y f dxdy = )11.2( 其中)(y f 在a y =的某领域（例如，区间ε≤-a y ）内连续，而且0)(=y f ，当且仅当a y =.则在直线a y =上的每一点，方程)11.2(的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa a y f dy )( （发散）. （从而在特解a y =的领域内的每一点，方程)11.2(的解都局部唯一）.证 显然a y =是方程)11.2(的一个解，又经过域 a y a x D <≤-+∞<<-∞ε,:1和域ε+≤<+∞<<-∞a y a x D ,:2内任一点),(00y x ，恰有方程)11.2(的一条积分曲线，它由下式确定： 00)(x x s f ds yy -=⎰ )12.2( 这些积分曲线彼此不相交.其次域1D （2D ）内所有积分曲线C x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，如0)(C x y f dy +=⎰，经过坐标变换0,C C x y --==ξη平移而得到.因此只需考察经过1D （或2D ）内某点的一条积分曲线，它由)12.2(式确定.若在直线a y =上某一点),(1a x ，方程)11.2(的解不局部唯一，即有所论积分曲线当1x x =时达到直线a y =上点),(1a x ，因此积分⎰a y s f ds 0)(必收敛.这与∞=⎰±εa a y f dy )(矛盾. 反之，若⎰a y s f ds 0)(发散.此时由)12.2(容易看出，所论的经过),(00y x 的积分曲线不可能达到直线a y =上，而以直线a y =为渐近线.从而)11.2(的解在直线a y =上的每一点都局部唯一.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
第二节--可分离变量微分方程教学文案
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 t ln a 1 u n ( 2 ) l|n x | C , 2
或 写 成 x1 u 2 C 1 e aru c, tan
再 将uy代 入 ,得 通 解 为 x
xduu f(u) dx
注意：须将u代回.
例
求方dy程 ytayn的通解。 dx x x
dyxd u u dx
解 令 uy，d则 yuxdu，
x dx dx
dy xduu
于是，原方程化为
dx dx
du dx， tanu x
两边积分，得
tdaunudxx，
1 coxtcoxs
tanx
sinx
l|n su i | l n |n x | l|n C |，
当q(x)0时， 方程称为一阶非齐线性方程。
一般说来， p(x)、 当 q(x)函 C数 时，方程有唯
习惯上，称 为方程
yp(x)y0 y p (x )y q (x )
所对应的齐方程。
一阶齐线性方程的解
方程 yp(x)y0是一个变量可。 分离方程
运用分离变量法，得
两边积分，得
dyp(x)dx， (y0)， y
这时旋转曲面方程为
y2z2d4h2x1d26h
三、可化为齐次方程的方程
dY dX
Y X
齐次方程
变量代换
dyfa1xb1yc1 dx a2xb2yc2 可化为齐次方程的方程
变量代换 YZX
a 1x b 1yc 10
dZ dX f (Z)Z X 变量分离方程
a 2x b 2y c2 0
变量可分离方程
即
p ( x ) dx p ( x ) dx y e e ce . c1
此外y 0也是方程的解 , 若在上式中充许 c 0, 即知y 0也包括在上式中 ,
故方程的通解为
p ( x ) dx y ce ,
c为任常数 .
例4 解:
dy y 2 cos x 求初值问题 dx 的特解. y (0) 1 dy 先求方程 y 2y 2 1 ln C
C 0
一、变量分离方程的求解
dy f ( x) ( y ) dx
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y) 0时, 将(2.1)写成 dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. ( y)
0
2
两边积分得 dy ( y) f ( x)dx c
(2.2)
f ( x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
例1 解:
dy y 求微分方程 y (1 ) dx 10
的所有解.
y y )得 y 1 0 时方程两边同除以 y(1 10 10
积分得:
dy
y y(1 ) 10
dx c1
y ln x c1 10 y
从上式中解出 y, 再将常数记为 c, 得
y 由y (1 ) 0, 求出方程的所有解为 y 0和y 10, 10
故方程的所有解为:
10 y , x 1 ce
c 0.
10 y , c为任常数 , 和y 0. x 1 ce
y ln x c1 10 y
例2 求微分方程
解: 当
dy x y dx
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
变量可分离方程
=
∫
f
( x)dx
分别为
1 和f g( y)
( x)的
原函数，C为任意常数。
反之，如果对任意常数 C，y = y( x)满足 (3)或(4),
则两对 x求导，即得 dy = f ( x)g( y)。即 y = y( x)是 dx
(1)的解。(4)称为(1)的隐式通解，称为通积 分。
如果 g( y0 ) = 0。则 y = y0也是 (1)的解，称为常数解。
最后得方程的所有解为：
2xy + 1 = Cx2
作业 P14，1.(3,4), 2.(1,2), 3.(1,3), 6.
解： x = ±1和 y = ±1均为方程的特解 .
( x 2 − 1)( y 2 − 1 ) ≠ 0 时，方程可以写成：
x x 2 − 1 dx
+
y y 2 − 1 dy
= 0,
积分得：
ln x 2 − 1 + ln y 2 − 1 = C 1
方程的所有解为：
( x 2 − 1 )( y 2 − 1 ) = C .
dy = f ( x)dx g( y)
K分离变量
(2)
如果y = y( x)是(1)的解，则 y = y( x)满足 (2)。
(2)两边对 x积分得 :
∫
dy g( y)
=
∫
f
( x)dx +
C
(3)
或
G( y) = H(x)+ C
(4)
此为y = y( x)满足的隐函数方程。
记G(
y)
=
∫
dy 。H ( x) g( y)
或 y = sin(arcsin x + C )
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其中
c ec1 .
该解 在 x 0 无定义, 故通解在
x 0, x R 中有定义. 注：求方程通解时，我们假设 g( y) 0 若 g( y) 0
时得y值也可能为方程的解。所以要考虑 g( y) 0 的情况，该方程对应的解我们称为常数解
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例 1.2.2 求微分方程 dx x(1 x ) 的通解.
6
t的取值在[0,4] 之间。
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10
故所有的解为:
x
10 1 C2et
,
x
0,
x
10.
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二、 齐次方程 齐次函数: 函数 f (x, y) 称为m次齐次函数, 如果
f (tx,ty) tm f (x, y),t 0.
齐次方程: 形如 dy F( y ) 的方程称为齐次方程。
dx x
代入上式解出
y 1 (x2 1) 2
注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为
齐次方程。
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对特殊方程 dy f (ax by c)
dx
令 z ax by, 则
dz a bf (z c). dx
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§1.2.3变量可分离方程的应用 例:雪球融化问题
dy f (x)dx g( y)
这样对上式两边积分得到
dy g( y)
f
(x)dx
C
例1.2.1求微分方程
x dy
3
y2
的通解。
dx
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解：变量分离后得
3
y 2 dy
dx
.
上式两边积分得
1
2y 2
x ln
x
c1.
整理得
y 4 4 (ln x c1)2 (ln cx )2
§1.2 变量可分离方程
形如 y' f (x)g( y)
（1.2.1）
的方程称为变量可分离方程。 是连续函数.
这里 f (x), g( y)
该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.
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一、 变量可分离方程的求解
当 g( y) 0 方程（1.2.1）两边同除以 g( y) 得
解：方程为一齐次方程，令 y xz
求导后得 x dz 1 z2
dx
分离变量得 dz 1 dx
1 z2 x
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积分上式得 ln z 1 z2 ln x ln C
用 z y 代入得
x
z 1 z2 Cx
y x
1
y2 x2
Cx
利用初始条件 y(1) 0可定出 c 1
dt
10
解: 变形为 积分得:
dx x(1 x
)
dt
10
dx x(1
x
)
dt
C1
10
求积分得: 解得:
x
ln 10 x
t C1
பைடு நூலகம்
x eC1et 10 x
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记 eC1 C2 , 则
x
10 1 C2et
, C2
0.
因为 x(1 x ) 0 可得 x 0, x 10.
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12
引入新常数r (4 )3 33 k 再利用题中的条件得
dV
2
rV 3
V (0) 288
V (2) 36
dx
分离变量积分得方程得通解为
V (t) 1 (C rt)3 27
再利用条件 V (0) 288 V (2) 36
确定出常数C和r代入关系式得 V (t) (12 3t)3
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
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事实上, 令 z y , 则 y xz, dy z x dz .
x
dx
dx
故有 z x dz F(z). 即 x dz F (z) z.
dx
dx
例1.2.3 求下面初始值问题
( y x2 y2 )dx xdy y(1) 0
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V (t)，表面积为 S(t) ，由题得
dV (t) kS(t) dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t) (4 )3 33V 3