2011年考研资料数学试题及答案(数学一

2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===nk k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。

又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。

可知收敛域为[)0,2。

3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''<f f ， (D) 0)0(1)0(<''<f f ，【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''==要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>所以有0)0(1)0(>''>f f ，4、设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。

【解析】(0,)4x π∈时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此lnsin lncos lncot x x x << 444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121PP - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。

直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ）(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0A A A E *==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又()1234131100,,,01100A αααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ）7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。

【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞+∞-∞-∞+==⎰。

可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。

8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （ ）(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。

计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。

【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY ==可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=xx tdt y 040tan π的弧长s =【答案】14π-【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。

【解析】()2444'2240tan sec 1tan 14s y dx xdx x dx x x πππππ===-=-=-⎰⎰⎰10、微分方程x e y y xcos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y【答案】sin xy xe-=【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。

先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。

【解析】原方程的通解为11[cos ][cos ][sin ]dx dxx x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----⎰⎰=⋅+=+=+⎰⎰由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin xy xe -=11、设函数()⎰+=xydt t t y x F 021sin ,，则=∂∂==222y x xF【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算。

【解析】()()22232222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-∂∂==∂+∂+。

故22024x y Fx ==∂=∂。

12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰Ñ【答案】π【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。

首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。

【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，其中t 从0到2π。

因此2220232222sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22Ly xzdx xdy dztt t t t t t t t dt t t t t t t dtπππ++=+-++-=--+-=⎰⎰⎰Ñ13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为221144y z +=，则a =【答案】1-【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。

题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。

【解析】本题等价于将二次型222(,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了22114f y z =+。