非线性演化方程分离变量的直接构造法及其应用(戴朝卿,张解放著)思维导图
常微分方程简明教程
线性微分方程：系统阐述线性微分方程的理论和解法，包括常系数线性方程和 变系数线性方程等。
定性分析：介绍常微分方程的定性分析方法，如相图、稳定性理论等。
应用：通过一些实际问题，展示常微分方程在各个领域中的应用，如物理、工 程、生物等。
习题：提供大量的习题供读者练习，以巩固所学知识。
本书的内容安排既全面又深入，既注重理论又强调应用。通过从基础知识到高 阶方程、从线性到非线性的逐步深入，使读者能够逐步掌握常微分方程的核心 内容和解题方法。同时，本书还注重理论与实践相结合，通过丰富的应用案例， 让读者更好地理解常微分方程在实际问题中的应用。
本书的目录结构清晰明了，主要分为以下几个部分： 引言：简要介绍常微分方程的研究对象、背景和意义，激发读者的学习兴趣。
基础知识：回顾微积分和线性代数等必要的预备知识，为后续的学习打下坚实 的基础。
一阶微分方程：详细介绍一阶微分方程的各种解法，如分离变量法、常数变易 法、积分因子法等。
高阶微分方程：探讨高阶微分方程的解法，包括消元法、降阶法等，并介绍一 些特殊类型的高阶方程。
常微分方程简明教程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
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内容摘要
内容摘要
《常微分方程简明教程》是一本关于常微分方程理论的入门教材，它旨在为学生提供清晰、简洁、 易于理解的理论知识，并引导学生掌握求解常微分方程的基本技能。本书内容涵盖了常微分方程 的基本概念、一阶方程、高阶方程、线性方程、非线性方程以及数值解法等多个方面。 本书介绍了常微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、阶数、解的概念等。在此基础上，进 一步介绍了一阶方程的求解方法，包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。同时，还详细 讲解了高阶方程的求解方法，如幂级数解法、常数变易法等。 接着，本书重点介绍了线性方程的求解方法，包括一阶线性方程、高阶线性方程以及线性方程组 等。在这一部分，详细介绍了线性方程的性质、通解与特解的概念、线性方程组的解法等。本书 还介绍了非线性方程的求解方法，包括一些常用的近似解法，如泰勒级数解法、摄动法等。
常微分方程(思维导图)
常微分方程一阶微分方程可分离变量形式=dxdy f(x)g(y)=∫g(y)dy f(x)dx∫齐次方程=dxdy f()xy令，，则=xy U=dxdy u+x=dxdu f(u)⇒=dxdu[f(w)−x1u]一阶非齐次线性y+′p(x)y=q(x)积分因子法：y=e q(x)e dx+C−p(x)dx∫[∫p(x)dx∫]伯努利方程y+′p(x)y=q(x)y nS1除：S2换:令，则S3带回:y⋅′+y n1p(x)y=1−n q(x)y=1−n z=dxdx=dydzdxdy(−n)yy n1′+1−n1dxdz P(x)z=2(x)⇒+dxdz(1−n)P(x)z=q(x)判断一阶方程类型➡可分离➡齐次方程➡是否头重脚轻=dxdy∗∗∗Y：一阶非齐次方程/伯努利方程N：倒过来再次判断二阶微分方程二阶可降阶微分方程不含x不含y二阶常系数齐次线性微分方程求特征值，带入方程二阶常数非齐次线性方程①求齐次通解② 设非齐次特解，并带入其中③通解=C1齐+C2齐+非奇特非齐次特解的设法形式1形式2三阶齐次微分方程类比二阶算线性方程解的关系非奇特是刻进DNA中的不变化叠加原理认识它解决它。
高等数学考研复习思维导图 脑图
高等数学函数特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性反函数、复合函数、分段函数初等函数极限无穷小两个重要极限间断点连续零点定理、介值定理洛必达法则、泰勒公式导数和微分求导反函数求导复合函数求导高阶导数隐函数求导参数方程求导拐点、凹凸性最大值、最小值微分微分中值定理罗尔定理朗格拉日中值定理*柯西中值定理曲率、弧微分不定积分换元法分部积分法定积分反常积分微分方程可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程齐次非齐次伯努利方程可降阶的高阶微分方程高/二阶线性微分方程解的结构常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程欧拉方程空间解析几何向量数量积向量积混合积曲面一次曲面二次曲面柱面圆柱面椭圆住吗抛物柱面椭圆锥面椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面)空间曲线空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影平面及方程平面一般方程两平面夹角平面束方程空间直线及方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程空间直线的参数方程两直线夹角直线与平面的夹角多元函数微分法多元函数点集极限连续性偏导数全微分多元函数复合求导隐函数求导一个方程的情况方程组的情况几何应用一元向量值函数及导数空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线(偏导数有关)方向导数和梯度(偏导数有关)多元函数的极值(偏导数有关)条件极值重积分二重积分性质极坐标计算二重积分三重积分柱面坐标计算三重积分球面坐标计算三重积分曲线积分对弧长的曲线积分(线密度)对坐标的曲线积分(力做功)两类曲线积分之间的关系格林公式路径无关原函数的一个全微分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分两类曲面积分之间的联系高斯公式无穷级数基本知识常数项级数、收敛、发散收敛级数的基本性质正项级数定义审敛比较审敛法比较审敛法的极限形式比值审敛法*根值审敛法(柯西审敛法)极限审敛法交错级数绝对收敛、条件收敛幂级数阿贝尔定理性质和运算收敛半径函数展开成幂级数傅立叶级数。
26 非线性方程——第四章
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铃
Nonlinear second-order DEs
F (x, y', y'' ) 0,
where the dependent variable y is missing, if
u y' F (x,u,u' ) 0.
If we can solve this last equation for u, we can find y by integration.
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du dx
2xu2
du u2
2xdx
1 u
x2 c12
dy 1 dx x2 c12
y
1 c1
tan 1
x c1
c2
Nonlinear second-order DEs
F ( y, y', y'' ) 0
Where the independent variable x is missing, if
Solve yy'' ( y' )2
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Solution
u y' y(u du ) u2 du dy
dy
uy
ln u ln y c1 u c2 y (c2 ec1 )
dy dx
c2
y
ln
y
c2 x
c3
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大学高数常微分方程思维导图_高等数学各章节知识点框架常微分方程.pdf
⼤学⾼数常微分⽅程思维导图_⾼等数学各章节知识点框架常微分⽅程.pdf【微信公众号：给⼒考研资料】免费分享常微分⽅程1.概念，2.⼀阶微分⽅程求解3.⾼阶微分⽅程求解4.应⽤题1.概念(7个概念，了解即可)微分⽅程—含有未知函数的导数或者微分的⽅程常微分⽅程—未知函数为⼀元函数的微分⽅程偏微分⽅程—未知函数为多元函数的微分⽅程微分⽅程的阶—未知函数的导数的最⾼阶数为⽅程的阶数微分⽅程的解—将函数代⼊⽅程，为恒等式，则该函数为解微分⽅程的通解与特解—通解—解中独⽴常数的个数等于⽅程的阶数，特解—解中没有任何常数初始条件(定解条件)—确定通解中的常数的条件2.⼀阶微分⽅程求解⼀阶⽅程(4个)1.可分离变量型(两边直接积分)2.可化成可分离变量型形如y'=f(ax+by+c)型 (令u=ax+by+c,相应对x求导，则化成可分离变量)⻬次型—形如y'=f(y/x) (令p=y/x，相应求导，则可化为分离变量型)Note ：1.对于式⼦中出现lnu中u不知正负，则要带上绝对值，除过⼀阶线性2.对于⼀阶线性⽅程，不⽤带绝对值(18版18讲P217有分析)3.所求的通解可以不是全部解(线性：通解=全部解，⾮线性：通解不等于全部解)4.在求通解中，⼀定要带上对独⽴常数C的限定5.若出现不属于⼀阶⽅程四种类型，则考虑调换x ，y的地位6.能写成显⽰解就写要写成显⽰解3.⼀阶线性⽅程(要掌握推导解的公式，利⽤求导公式逆⽤法)—形如y'+p(x)y=q(x)4.伯努利⽅程(这⾥可以将其化成⼀阶线性，利⽤恒等变形中三种⽅法中换元)形如y'+p(x)y=q(x)yn(令y1-n=u ，相应求导，化成⼀阶线性)5.全微分⽅程利⽤积分与路径⽆关的性质，⽤折线法来求原函数=C⼆阶可降阶⽅程1.形如y''=f(x,y') 缺y型——将y斩草除根(令y'=u,y''=u',化成了⼀阶)2.形如y''=f(y,y')缺x型——将x斩尽杀绝(令y'=u,y'=udu/dy,化成⼀阶)要注意两种类型不同的处理⽅法Note ：还有⼀种可降阶的n阶⽅程，连续求导即可3.⾼阶微分微分⽅程的求解(2～4阶)⼆阶线性微分⽅程的概念(详⻅18讲P218)1.⻬次与⾮⻬次2.变系数与常系数注意若真的出现了变系数⼆阶，要想到换元，化成⼆阶(或者是欧拉⽅程)解的结构与解的性质(各2个)(详⻅⾼数18讲P218)1.⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程的通解结构(两个线性⽆关的解(通俗理解就是相除不为常数)可以构成起通解)2.⾮⻬次的解的结构——⻬次的特解+⾮⻬次的特解3.两个⾮⻬次的特解相加为⼀个全新⾮⻬次的特解(叠加原理)【微信公众号：给⼒考研资料】免费分享4.两个⾮⻬次的特解相减为其⻬次的⼀个解⼆阶常系数⻬次线性微分⽅程求解(背公式)⾮⻬次的特解(背公式)n阶常系数线性⻬次微分⽅程求解(背公式)注意特征⽅程的特征根各种情况(四种情况)4.欧拉⽅程(仅数⼀)(18讲259)形如x2y''+pxy'+qy=f(x)换元：当x⼤于0当x⼩于04.应⽤题：1.背景公平——信息给予2.翻译成数学表达式Note ：注意⽐例系数应是正号，或负号，应根据题意主动添上。
数学物理方法 8 分离变数法
u x | x l 0,
X " X 0 ' ' X | x 0 X | x l 0
k cos x l
14 k=0,1,2,3… k=0,1,2…
(二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子
• 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必
（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征 值问题 （3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出 一般解 （4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
12
分 离 变 量 流 程 图 输 运 方 程
u |t 0 ( x ) u |t 0 ( x )
ut a 2uxx
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
1 ( k ) 2 X " X 0 l ' X | x 0 X | x l 0
2
u | x l 0,
u x | x 0 0,
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
X x | x 0 0, X x |x l 0
7
2、求解本征值问题 X " X 0
常微分方程通解：
X " X X |x 0 X | x l 0 X |x 0 X |x l 0
X ( x ) C1e
在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元 分别为 dS x dydz, dSy dxdz, dSz dxdy 体积元为
dV =dxdydz
在直角坐标系中，梯度定义为
u u u u ex ey ez x y z
第四章 第三节 波动方程的混合问题分离变量法(共37张PPT)
分离变量—Fourier方法 Fourier 方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程
定 解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解
问题通 过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示
内容
• 3.1 世纪争论 • 3.2 Fourier 解法
• 3.3 驻波法
• 3.4 Fourier变换
• 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘 书， 1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817 年当选 为科学院院 士，1822 年任该院终身秘书，后又任法兰西 学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
2.1 世纪争论
• 在数学史上，关于偏微分方程的第一次真正的成功 来自对以小提琴弦为典型的弦振动问题的重新研究 ， 即考察弦发出的声音在空气中的传播。 在研究 了这种声音之后， 数学家们处理了各种形状的号角 、管风琴、铃、鼓和其他乐器发出的声音。也在这 个时期，交响音乐才得到真正的发展。
• 不同的弦乐器之所以在同一个音调下发出的声音， 就是 因为虽然它们具有同一个基音频率，它们却有着完全不 同的泛音，因此引起了音色的差异。
作业：利用COMSOL求解波动方程 2 Fourier 解法 根据分离方程和适当的齐次边界条件组成的问题， 确定分离常数的容许值。
点时，基音及所有的泛音频率就比原来的频率增加一倍， 在Daniel Bernoulli 的赞助下，Fourier 的工作解决了关于弦振动问题的解的争论。
首4 F先ou证r基i明er了变一换音维波频动方率程的解越可以高表示为．不同的弦线有粗细之分，反映了弦线在 从利而用得 F密o到ur函ier数度逆的变齐换上次得方到的程组 差异，粗弦线密度大，细弦线密度小，因此两