2017八年级数学最简二次根式1.doc
最简二次根式举例
最简二次根式举例
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来描述一个二次函数的行为。
二次根式的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的最简形式是把二次项的系数a变为1，即ax²+bx+c=0变为
x²+bx+c=0。
例如，2x²+5x+3=0的最简形式是x²+5x+3=0。
二次根式的最简形式有助于我们更好地理解二次函数的行为，并且可以更容易地求解二次根式的根。
例如，x²+5x+3=0的根可以用公式x=-b±√b²-4ac/2a来求解，其中a=1，b=5，c=3，因此x=-5±√25-4×1×3/2×1= -5±√7/2，即x=-
5±√7/2或x=-2.5±√7/2。
二次根式的最简形式也可以用来求解复杂的二次函数。
例如，4x²+7x+3=0的最简形式是x²+7x+3=0，其解为x=-7±√49-4×1×3/2×1= -7±√7/2，即x=-
7±√7/2或x=-3.5±√7/2。
从上面的例子可以看出，二次根式的最简形式可以帮助我们更容易地求解二次根式的根，从而更好地理解二次函数的行为。
八年级数学最简二次根式
八年级数学最简二次根式最简二次根式（说课）作用与地位作为二次根式乘、除法与加减法的过渡桥梁的”最简二次根式”这一节课在本章中起着承上启下的作用，必须先复习与巩固已学过的乘、除法知识。
另一方面，本小节的内容，显然是下一小节”二次根式的加减法”的基础，因为加减法就是在识别”同类的”最简二次根式的前提下进行的。
目的与要求本课的内容比较单纯，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。
当然，这首先需要知道什幺是最简二次根式（即本节课的重点），让学生了解最简二次根式的概念，不在于能否背出定义，关键还是遇到实际式子能够加以判断（也就是本节课的难点），所以应在练习中让学生熟悉这个概念。
我采用启发式教学并借助实物投影以扩充教学容量。
背景在实际问题中，遇到二次根式，一般应把它先化简，这会给解决问题带来方便，把二次根式化简，至少有以下三种用途：（1）、把一个二次根式化简后，可避免因误差积累而造成的结果不准确。
（2）、把两个二次根式化简后，它们的乘除法运算可能变得简单，例如:；15 ÷2===。
（3）、把一组二次根式化简成最简二次根式后，可以对同类二次根式进行加法、减法运算(这将在下一小节中学习)．学生们在前面已经看到了这些用途，实际上，看到这些用途是第二位的，最重要的是从这些用途中领会把复杂化为简单，把未知化为已知，从而使问题得以解决的思想方法。
教学过程分成以下几个步骤一、提出问题：（投影显示）两个问题首先是对二次根式乘、除法的复习；其次通过两种解法对比得出将繁杂的二次根式化为简单的二次根式后，使解决问题更加容易。
二、问题解决：依照学生的认知规律引导学生从从简单的问题中发现规律，突出本节课的重点。
并由此引出新课”最简二次根式”，达到本课的第一个教学目的（理解最简二次根式的定义）。
对于最简二次根式的定义以开门见山的方式直接给出。
三、解决问题：接着通过训练将最简二次根式的定义加以熟练并总结出化简最简二次根式的步骤，从而达到本课的第二个教学目的（会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式）。
最简二次根式
16.2 (1)最简二次根式教学目标：1、经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概念,2、通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法．3、会判别最简二次根式，会化最简二次根式.教学重点和难点：会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式． 教学过程：一、课前练习1、化简下列二次根式2、化简下列二次根式3、观察：下列化简后的二次根式里的被开方数有什么共同特征：二、新课探索1、引导学生归纳：1） 被开方数中各因式的指数都为1；2） 被开方数不含分母.师生共同总结：同时符合．．．．上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：如ab 3、y x +231、)(622b a m +等都是最简二次根式．2、例题分析：例1：判断下列二次根式是不是最简二次根式：1）35a2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a（课件演示解题格式）如果以个二次根式不是最简二次根式，那么可以利用上一节化简二次根式的方法，把它化简成最简二次根式．将上式中不是最简二次根式的化简．例2：将下列二次根式化成最简二次根式：1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a3）)0(>>-+n m n m nm 4(分母中指数为奇数的,则分子分母同时再乘它一次,凑成偶次再开方)(注意解题格式,先保留绝对值符号,然后判断范围再化简)三、课堂练习 书P7-8 1-3四、课堂小结：（1）掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分母.（2）化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化简.五、作业布置：练习册习题16.2(1) ；复习同类项六、拓展练习：教学反思：。
最简二次根式课件
复习提问 1、二次根式的乘法运算法则是什么？用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
（1） abaa b 0 ,b 0
（2） 二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变； （3） 尽量化简。
复习提问 2、二次根式的除法运算法则是什么？用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
（1）
a aa0,b0
（2）
45a2b 325a2b3a 5a
练习一
把下列各式化成最简二次根式： （1） （2）
324 2
2 a3b3 2abab
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例题选讲二
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）
；（2）
4 11 2
x
y x3
解（1）
4
11 2
4
34
2
3 4 2
3 2 22
4
2
6
2
6
（2）
x
y x3
x y x3
12 （1） （ ）；
30x （3） （ ）；
4 1 1 （5）
（ ）；
2
（7）
×
×
（2）
（ 4）5；a2b
√
（4）
x y （ ）；
×
x3
×
√
5mm9 （6）
（ ）； 2
×
2（m 54 ）；22 m 25
例题选讲一
例1 把下列各式化成最简二次根式： （1） ； （2）
12
45a2b
解（1）
12 2232 3
x y xx
y x xy xx x
练习二
把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）
（3）
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是指根号下面的被开方数为正数，且不能再约简的二次根式。
它是代数学中一个非常重要的概念，常常出现在高中数学的教学内容中。
二次根式在数学中的引入，是为了解决方程x^2=a 中的数a 是不是负数时的问题。
在实数范围内，如果a 大于等于0，那么方程x^2=a 有两个不同的实根；如果a 小于0，那么方程就没有实数根了。
为了能够对所有的实数进行开平方运算，数学家就引入了二次根式的概念。
最简二次根式就是在二次根式中的一种特殊形式，它只包含一个根号和一个不可约的正整数。
也就是说，如果一个二次根式不能再约简，那么它就是最简二次根式。
最简二次根式的一般形式为\sqrt{n} ，其中n 是一个正整数，且n 不含有平方因子，即n 的素因数分解中没有一个数出现了两次及以上。
举例来说，\sqrt{2} 、\sqrt{3} 、\sqrt{5} 都是最简二次根式，因为它们没有共同的公因数，无法再约简；而\sqrt{4} 、\sqrt{6} 、\sqrt{8} 就不是最简二次根式，因为它们的因数中有平方因子。
最简二次根式在数学中的运算和化简中有着很重要的作用。
在代数中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除等运算，而如果能够将二次根式化为最简形式，就可以简化运算过程，减少出错的可能性。
最简二次根式的化简规则是：提取出平方因数后，就无法再继续简化了。
对于\sqrt{4m^2} ，我们可以提取出m，得到m\times \sqrt{4} = 2m ，但不能再将其简化。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，不仅在代数中常见，也会在几何、物理等领域中不断出现。
掌握好最简二次根式的定义和化简方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题的速度和准确性。
在学习最简二次根式的过程中，我们还需要注意以下几点：要能够区分最简二次根式和一般的二次根式；要掌握最简二次根式的化简规则；要多做练习，加深对最简二次根式的理解和运用能力。
人教版八年级下册数学二次根式
人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。
最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。
分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。
在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。
在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。
11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。
2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。
16.2 (2)最简二次根式和同类二次根式(1)
叫做最简二次根式， 这是我们今天要探究 的问题（揭示课题）. 二、 新知学习
指出化简 后的结果就是 最简二次根式， 激发兴趣，点 题.
1、观察思考 观察上述 3 题中的二次根式及其化 简所得结果： （1） 比较化简前后的两个二次根式里 的 被 开 方 数 前 后 发 生了什 么 变 化？ （2） 化简后的被开方数是由那些共同 的特征？ （若学生回答困难， 教师可引导学生观察 被开方数所含因式的指数和分母两方面） 2、归纳：同时满足上述两个条件的二次 根式叫做最简二次根式. 注： 这里的因式是指因式分解和素因 数分解后的因式和因数.因式可以为单项 强调条件 1 中的因式指什 预设： （1） 被开方数中各因式的指数 都为 1. （2）被开方数不含分母. 引导学生 观察、 比较和分 析认识最简二 次根式的特征， 再概括最简二 次根式的概念.
5a ； 3
（2） 42a ；
例题 1 是 概念的辨析， 让 学生理解并掌 握最简二次根 式必须满足的 条件.
2 （3） 24x 3 ； （4） 3( a 2a 1) ；
先判断是否是二次根式， 再说明为什么？ 4、小结：出现以下情况的二次根式都不 是最简二次根式. （1） 被开方数中含有分母. （2） 被开方数（能分解因式或分解素 因式的，将其分解）所含各因式 的指数不是 1. 5、提问：能把（1） （3） （4）中的二次根 式化成最简二次根式吗？ 问： （1）怎么化成最简二次根式？
5a 5a 3 15a . 2 3 3 3
问： （3）如何化成最简二次根式？
预设：将 2 , x 移到根号外. 问： x 移到根号外是等于什么？
2 3 预设： 由 24x 0 可得 x 0 ，
2
2
所以 x 移到根号外是等于 x.
最简二次根式／二次根式
[文件] sxc2dja0024.doc[科目] 数学[年级] 初二[章节][关键词] 最简二次根式/二次根式[标题] 最简二次根式(1)[内容]最简二次根式(1)教学目标1.使学生理解最简二次根式的概念；2.掌握把二次根式化为最简二次根式的方法；教学重点和难点重点：化二次根式为最简二次根式的方法.难点：最简二次根式概念的理解.教学过程设计一、导入新课计算：(1)3a· 6a2; (2)8a5÷6a2.解 (1)3a·6a2=3a×6a2=3×3×2a×a2=32·a2·2a=3a 2a;(2)8a5÷6a2=8a56a2=4a33=4a2·a 3=2aa 3=2aa·33·3=2a3a3.我们再看下面的问题：如果已知3≈1.732，能不能求出13与27的近似值呢?答：直接求13及27的近似值比较麻烦.若先把13及27分别化简，得到13=13=1×3 3×3=33.27=32×3=32×3=33.再利用3≈1.732来计算就简便了.从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行简化，会对解决问题带来方便.二、新课观察上面的计算题，得到结果3a2a及2a3a3都具有什么特点呢?答：1.被开方数的因数是整数或整式；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式.例1 试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么?(1)3a3b; (2)3ab2; (3)x2+y2;(4)a－b(a>b); (5)5x3; (6)8xy.解 (1)不是最简二次根式.因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式.(2)不是最简二次根式.因为被开方数的因数是分数32，不是整数.(3)是最简二次根式.因为被开方数的因式x2+y2开不尽方，而且是整式.(4)是最简二次根式.因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式.(5)是最简二次根式.因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式.(6)不是最简二次根式.因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽方的因数22.指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论.1.在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2.在二次根式的被开方数中每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.例2 把下列各式化为最简二次根式：(1)12；(2)45a2b; (3)8(x+y)3.分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质及a2=a(a≥0)进行化简.解 (1)12=22×3=22×3=23;(2)45a2b=32×5a2b=32a25b=3a5b;(3)8(x+y)3=22×2(x+y)2(x+y)=22(x+y)22(x+y)=2(x+y)2(x+y).例3 把下列各式化成最简二次根式：(1)4112; (2)x2yx; (3)328n3 3m.分析：题(1)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式.题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用题商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式.解 (1)4112=432=432=42×2 2×2=462=26;(2)x2yx=x2yx=x2yx xx=x2xy x=xxy;(3)328n3 3m=38n323m=322·2n2·n 23m=3×2n 2n 23m=3n2n3m 3m3m=3n 6mn 3m=n 6mn m.通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法.答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.如果被开方数是整式或整式，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式事或因数开出来，从而将式子化简.三、课堂练习1.在下列各式中，是最简二次根式的式子为( ).A.16aB.m－n5C.a18D.6x4y32.在式子18，13，0.5m, x2+4,2a,a－ba+b中，是最简二次根式的式子有( )个.A.2B.3C.1D.03.把下列各式化成最简二次根式：(1)32；(2)2a3b3; (3)1.5;(4)43; (5)20a2b c; (6)x218x30.四、小结1.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.把一个式子化为最简二次根式的方法是：(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；(2)如果被开方数含有字母，应去掉分母的根号.五、作业1.把下列各式化成最简二次根式：(1)618; (2)10145; (3)xy; (4)16a; (5)32; (6)0.2.2.把下列各式化成最简二次根式：(1)0.4m2n; (2)2a2 148a; (3)1xx3;(4)1467a; (5)5672ab3; (6)456a.答案：1.(1)322; (2)65; (3)xyy; (4)6a6a; (5)42; (6)55.2.(2)m10n5; (2)a63a; (3)x; (4)2a7ab; (5)5b2ab; (6)23a30a.。
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最简二次根式
教学目的
1、 理解最简二次根式的定义；
2、 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式。
教学重点:最简二次根式的定义
教学难点: 最简二次根式的识别
教学方法:启发、讨论
教学媒体:实物投影仪
教学过程:
一、复习提问：
练习1：
①、二次根式的乘法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？（要尽量化简）
②、二次根式的除法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
练习2：
计算（1）2710⨯ （2） 1512 ÷245
解（1）方法1：2710⨯=2710⨯=23310⨯⨯=330
方法2：2710⨯=10×33=330
解（2）方法1：1512 ÷245=45
452451215⋅⋅=4523532152
2⨯⨯⨯⨯ =45
2153215⨯⨯⨯=15 方法2：1512 ÷245=5323215⨯⨯=535=15
从这两个题目中，都可看出先化简再计算的好处。
练习3： 已知：2=1.414，如何求2
1与8的近似值？（结果保留二位有效数字） 解：（1）21=21=222=2
2≈1.414÷2≈0.71
（2）8=22≈2×1.414≈2.8
小结：从这个问题又可以看出，遇到一个二次根式将它化简会给解决问题带来方便，说到化简总是希望能化简到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？
二、问题解决：
（板书）课题：§11.4 最简二次根式
定义：
它要求满足以下两条：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
例如：问题4中的2
1化成最简二次根式就是22，8化成最简二次根就是22。
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1）12；（2）b a 245；（3）x 30； （4）x 3x
y ； （5）42
11；（6）5m 92+m ；（7）2422525m m + 三、解决问题：
例1 把下列各式化成最简二次根式：
（1）12 （2）b a 245
分析：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
解（1）12=322⨯=23；
（2）b a 245=b a 2253⨯=3a a 5。
练习1：（1）32； （2）233b a 。
答案：（1）42； （2）2ab ab 。
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）4211； （2）x 3
x y 。
分析：（1）把被开方数中的带分数化成假分数；
（2）化去根号下的分母；
（3）化去分母中的根号。
解：（1）4211=423=234=2
2234⨯⨯=264=26； （2）x 3x y =3x y x =x
x y x =x x x y x xy 。
注意：第1题中根号外面的4与根号里的带分数的整数部分1在运
算的意义上是有区别的。
练习2：（1）8.0； （2）214； （3）c
b a 220； （4）x 2381x 。
分析：把被开方数中的小数化成分数
答案：（1） 52
5； （2） 23
2； （3）c bc a 52 ； （4）4
2x 。
练习3：判断下列各等式是否成立，若不成立请说出正确的解法和答案。
（1）916+=4＋3； （2）23=2
3； （3）214=221； （4） 29
5=592 练习4：
（1）()()4482-⨯--；（2）2422525m m +；
（3）01.004.0+；（4）a
a a a a +--23211（a>1） 分析：化简时，当被开方数是和的形式时先将它化为积的形式。
答案：（1）45； （2） 5m 92+m ；
（3）105； （4）2a
a 。
四、问题总结：（采用学生小结教师补充的方式）
本节课学习了哪些知识？
本节课学习了最简二次根式的概念，知道了它的一些用途，同时还知道了如何化二次根式为最简二次根式，即如何辨析最简二次根式
课外作业：187页A组：1、2、3的偶数题；B组：1、2（学有余力的同学做）。