八年级数学二次根式的概念和性质
人教版八年级下册数学第十六章二次根式二次根式的概念和性质教案
-设计分层次练习，从基础到提高，逐步突破难点。
-引导学生通过自主探索和合作交流，构建数学模型，提高数学建模能力。
-在教学中注重教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算平方根的情况？”（例如：计算正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
-详细讲解二次根式的性质，结合图形和实际例子，使学生直观理解。
-以典型例题形式，展示二次根式的化简和运算过程，指出易错点，强调运算规则。
-设计具有挑战性的问题，让学生在实际情境中应用二次根式，识别难点，培养解决问题的能力。
-通过小组讨论和互动，激发学生的学习兴趣，促进数学表达和交流能力的提升。
4.教学策略：
在新课讲授环节，我采用了案例分析的教学方法，让学生通过解决实际问题来体会二次根式的应用。从实践活动的表现来看，学生们对此表现出较高的兴趣，但在小组讨论中，部分学生仍然显得不够积极主动。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，多鼓励学生发表自己的观点，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生在解决问题时思路不够清晰，容易陷入思维定势。为了帮助学生打破思维局限，我将在以后的课堂中，适时给予他们提示和引导，培养他们的问题分析能力和创新意识。
。
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-二次根式的定义及其性质的理解和掌握。
-二次根式的化简和运算方法的运用。
2.教学难点：
-对二次根式性质的深入理解，特别是乘法法则和除法法则的应用。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第1讲 二次根式的概念及性质(解析版)
二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．1、二次根式的概念（1）代数式a （0a ）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． （2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析例题解析【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．根式，当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？（1（2 （3 （4 【答案】（1）4x ≥；（2）11x -<<；（3）0y ≥；（4）14x ≥或14x ≤-．【解析】（1）由40x -≥，得4x ≥； （2）由10x ->，得11x -<<； （3）由230x y ≥，得0y ≥；（4）由104x -≥，得14x ≥或14x ≤-． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【例3）A ． 对于任意实数a ，它表示的是a 的算术平方根B ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的算术平方根C ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的平方根D ． 对于任意的非负实数a ，它表示的是a 的算术平方根 【答案】D ．(0)a ≥表示a 的算术平方根． 【总结】本题考查算术平方根的概念．【例4成立的条件是（）A ．02xx ≥- B ．0x ≥ C ．2x ≠ D ．2x > 【答案】D ．【解析】由0x ≥，20x ->，得0x ≥，2x >，∴2x >．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例5】求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1（2【答案】（1）1x ≥或0x <；（2）12x ≥-且1x ≠． 【解析】（1）由110x -+≥，得1x ≥或0x <； （2）由21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，得12x ≥-且1x ≠．【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例6】实数x 、y满足，xy y=，求的值．【答案】3．【解析】由0x ≥0x ≥，得x =y =；∴3x y =．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例72|313|0x y --=，求2017()x y +的值． 【答案】1．【解析】由题意得：2203130x x y -=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=-⎩，∴20172017()(1)-1x y +=-=．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．【例8】如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中()P m n ，的位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C ． 【解析】0mn ≠，∴0m ≠且0n ≠，0m ∴->，0m ∴<．0mn >又， 0n ∴<．故点P 在第三象限． 【总结】二次根式的被开方数为非负数．【例9】如果2y =xy 的值． 【答案】6．【解析】33x x ≥≤∵，， 3x ∴=，2y ∴=， 6xy ∴=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例10】 已1()2x y z x y z =++，求、、的值．【答案】1x =， 2y =，3z =．【解析】由题意得：x y z =++，∴0x y z ---， 即)))2221110++=，∴1x =， 2y =，3z =．【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式．【例11】 若222222()a b b c a b c ab bc ac -=+-=++---的值． 【答案】30．【解析】2a b -=2b c -=，∴4a c -=．∴ =原式222222222a b c ab bc ac ++---=()()()222a b b c a c -+-+-=((222224++=7716+- =30．【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．【例12】 若z ，求z 的值． 【难度】★★★【答案】3358． 【解析】20160x y -+≥， ∴2016x y +≥．又20160x y --≥， ∴2016x y +≤， ∴2016x y +=．∴35232530x y z x y z +--++-=．即35230125302x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩（）（）， 解得：220143358x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出2016x y +=，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：aa bb=（0a ≥，0b >）．知识精讲模块二：二次根式的性质（2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例13】 计算下列各式的值：（1）23； （2）2(3)-；（3）2(3)--； （4）2(3)-；（5）21()5-； （6）221(0)x x x -+<．【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）15-；（6）1x -+．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果． 【总结】考查二次根式性质2的运用．【例14】 化简： （1）320(0)a a >； （2）2320a b ；（3）254(0)a b c a <；（4）22()a b b --（00a b ><，）．【答案】（1）25a a ；（2）25ab b ；（3） 22ab c b -；（4）a ． 【解析】（1）原式=24525a a a a ⨯=；（2）原式=224525a b b ab b ⨯=； （3）原式=24422a b c b ab c b ⨯=-；（4） 00a b >>，，∴0a b ->，∴原式=()a b b a ---=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．例题解析【例15】 化简：（1；（2（3）20a a <()；（45)x <<．【答案】（1）21a +；（2）()()00(0)0a b a b a b a b a b ++>⎧⎪+=⎨⎪--+<⎩；（3）3a -；（4）3．【解析】（121a =+； （2()()00(0)0a b a b a b a b a b a b ++>⎧⎪+=+=⎨⎪--+<⎩；（3）()223a a a a =--=-； （4253x x -=+-=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例16】 化简：（10)x >；（22+．． 【答案】（1）()()10111x x x x -<<⎧⎪⎨-≥⎪⎩； （2）1x -．【解析】（1()()101111x x x x x -<<⎧⎪-=⎨-≥=⎪⎩； （2）20x -≥，∴2x ≥．∴原式=122x x x ---+-=1221x x x x --++-=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．（1（2）（3）2-（4）(1)x -【答案】（1 （23）4）【解析】（1（2）=（3）2-（4）(1)x -== 【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．【例18】 化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1）原式=a c ac ⋅=- （2）原式=2222a b a b -=-．【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．【例19】 已0，求()x x y +的值． 【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=⎧⎨+-=⎩， ∴21x y =⎧⎨=⎩．∴()()2219x x y +=+=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例20】 已知x y 、是实数，且1|1|21y y y -<-，求的值． 【答案】1-．【解析】由题意得：1x =，12y <；∴|1|1111y y y y --==---．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例21】 已知125x x -=-，求x 的取值范围． 【答案】14x ≤≤．【解析】由题意得：1425x x x ---=-；零点分段法分类讨论即可．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例22】 如7x y --成立，求xy 的值． 【答案】30．【解析】由题意得：3x =，10y =，∴30xy =．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例23】 已知2x =+的值．．【解析】=又∵2x =，∴42420x -=+=<．∴原式=()()41411x x x x -=-==---【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．【例24】 已知2441310x x x x --+=+，求的个位数字． 【答案】7． 【解析】∵1130x x-+=， ∴113x x+=． ∴2222112132167x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，∴()2422421121672x x x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，∴个位数字为7．【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．【例25】 （1）在△ABC 中，a b c 、、0，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【答案】（1）814c ≤<；（2）±【解析】（1）根据题意，即为60a -，由此60a -=，80b -=，解得：6a =， 8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b ≤<+，即814c ≤<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩，∴==±．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．【例26】 已知：1141r a b c r r ≥=-==+，，，试比较a 、b 、c 的大小． 【答案】a b c <<． 【解析】由题意得：22a =-=，∵4r ≥， 1≤<，∴a b <；又∵11b r c ===， ∴b c <，∴a b c <<．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例27】 已b 的式子表示）． 【答案】21b b -．21-=∴()211b y b-+=，∴原式114y ++()()22214111b bb b b bbbbb-++--==． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例28】 化0)a >．【答案】a b +． 【解析】原式=()()222222222a b a a b a a b b-+-+---=()()222222a b aa b b-+---=2222a b a a b b -+---，又∵20a b >>，∴原式=2222a b a a b b -+--+=a b +．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例29】 已知：m =1465-，求43224882467m m m m m m --++-+的值．【答案】8．【解析】由题意得：35m =-；∴35m -=，∴2(3)5m -=，∴264m m =-， 把264m m =-代入原式，合并同类项得：原式=8．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．A ．2(2)2=B ．22(2)2=C ．22(2)2-=-D ．211()42-=-【答案】A ．【解析】根据二次根式性质1即可得出结果． 【总结】考查二次根式的性质1．【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？ （1）4；（2）1a +；（3）2a ；（4）211a +；（5）223x x -+；（6）22(0)x x x -<．【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是．随堂检测【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？（1）43x -； （2）121a --；（3）2a ；（4）143x--；（5）22x x -+-；（6）21xx +． 【答案】（1）43x ≤；（2）12a <； （3）a 为任意实数；（4）43x >；（5）2x =； （6）0x ≥．【解析】（1）由430x -≥得：43x ≤； （2）由1021a -≥-得：12a <； （3）a 为任意实数； （4）由1043x -≥-得：43x >； （5）2x =； （6）0x ≥．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题4】 化简：（1）24()9-；（2）22((2))a -；（32441x x -+12x ≥（）；（42(3)a -【答案】（1）49； （2）24a ； （3）21x -； （4）()()()3330333a a a a a a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩．【解析】（12444()=999--=； （2）222((2))4a a -=；（324412121x x x x -+-=-； （4()()()233(3)30333a a a a a a a ->⎧⎪-=-==⎨⎪-<⎩．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题5】 化简下列二次根式：（100)x y ≥≥，；（2（3(0)a a <．【答案】（1）5 （2） 3.14π-； （3）2a -．【解析】（15（2 3.14 3.14π=-=-π；（32a a a a =--=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题6】 已知2+的整数部分是a ，小数部分是b ，那么(2b a ++的值是多少? 【答案】5．23<，∴425<，∴4a =，242b ==，∴(()2524(52b a =-++=．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【习题7】 已知3x = 【答案】1．=代入3x =， 原式．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题8】 222(2)023y x xy y +=-+，求的值． 【答案】40．【解析】∵3020x y -=⎧⎨+=⎩， ∴32x y =⎧⎨=-⎩．∴代入得：2223x xy y -+=()()2223332240⨯-⨯⨯-+-=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．【习题9】 已知非零实数x 、y 满足条件24224x y x -++=-，求x y +的值． 【答案】1．【解析】∵()230x y -≥，∴30x -≥，即3x ≥，∴240x ->，∴24224x y x -++-，即20y +=，∴2030y x +=⎧⎨-=⎩， 解得：32x y =⎧⎨=-⎩．∴3(2)1x y +=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．【习题10】=a x y 、、是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+值等于 __________．【答案】13．【解析】由题意知： ()()()()()()01020304a x a a y a x a a y -≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩， 解得：0a x y =⎧⎨=-⎩．∴22222222223313x xy y y y y x xy y y y y +---==-+++． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题11】 求满足26a x y -=-的自然数a x y 、、的值． 【答案】617x y a ===，，或325x y a ===，，． 【解析】由题意得：262(1)a x y xy-=+-∵26a -是无理数，假设xy 是有理数，则2x y xy +-是有理数，这与（1）式矛盾， ∴xy 为无理数，∴6x y a xy +=⎧⎨=⎩，又∵26a x y -=-，∴x y >．∴617x y a ===，，或325x y a ===，，．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？（1）2x； （2）2x； （3）1(1)x x -<； （4）244b b -+； （5）321a +；（6）222a +．【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是． 【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【作业2】 将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（1）21(1)x x x ->；（2）21(2)(2)44x x x x ->-+． 【答案】（1）222x x -；（2）1． 【解析】（1）()22212221x x x x x x =---=；（2）()()2221(2)44212x x x x x ----==+．【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发课后作业掘．【作业3】若11)-有意义，则x 的取值范围是______． 【答案】10x x ≥≠且．【解析】∵11)-=∴101010x x x +≥⎧≥⎧⎪⎨≠≠⎩，解得：． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【作业4】计算：201520162)2)．2．【解析】))2015201520162)2)222⎡⎤=⎣⎦2．【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．【作业5】 化简：（10)y <；（2） 【答案】（1） （2【解析】（1）原式=(136y ⨯-=（2）原式()()00x x =>⎪<⎪⎩，∴． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【作业6】 已知x 为非零实数，且112221x x x a x-++=，则=________． 【答案】22a -．【解析】∵1122x xa -+=， a=， ∴212x a x++=， ∴212x a x+=-，∴22112x x a x x+=+=-．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．【作业7】 若代数式3|2|0a a b --，求的立方根．【解析】由题意得：2,4a b ==，∴3a b -==【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．【作业8】 m 2 【答案】2．【解析】由题意得：1m =12m m-=． 【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【作业9】 已知a b c 、、为有理数，且等式a +29991001a b c ++求的值．【答案】2000．=a +∴011a b c ===，，， ∴2999100199910012000a b c ++=+=．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业10】已知14(01)a a a +=<<的值．【答案】【解析】212422a a =+-=-=， ∵01a <<0<=【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．【作业11】已知2|8|(41)0x y y -+- 【答案】1．【解析】由题意得：80410830x y y z x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：21434x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩132122=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．【作业12】 化简： （1（2．【答案】（12；（2+． 【解析】（12==；（2=．【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即=，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．。
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
数学八年级下《二次根式》复习课件
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
初二数学二次根式知识点解析
二次根式的定义性质和概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则x叫做a的平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的性质：1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即 ;3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。
二次根式的几何意义1、(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解];2、都是非负数;当a≥0时， ;而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。
3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如﹙a>0﹚，﹙a<0﹚﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚5、注意: ，即具有双重非负性。
算术平方根正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
0的算术平方根为0.开平方运算求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
化简化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
最简二次根式定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式)二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数;②把开方数分解成质因数或分解因式;③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;④化去根号内的分母，或化去分母中的根号;⑤约分。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式﹚分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
初中数学 什么是二次根式
初中数学什么是二次根式二次根式是指含有二次根号的代数式，也可以理解为二次方程的根。
在初中数学中，学生会接触到二次根式的概念和运算。
接下来，我将详细介绍二次根式的定义、性质、运算规则以及解题技巧。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
如果a是一个非负实数的平方，那么√a是一个有理数；如果a不是一个非负实数的平方，那么√a是一个无理数。
2. 性质：a. 二次根式的值是非负的，即√a ≥ 0。
b. 二次根式的平方等于被开方数，即(√a)² = a。
c. 二次根式可以进行加减乘除运算，具体的运算规则将在下一部分介绍。
二、二次根式的运算规则1. 加减法运算：a. 同类项相加减：对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
b. 不同类项相加减：对于不同类项的二次根式，无法直接进行加减运算，需要进行化简。
例如，√2 + √3 无法进行直接运算，但可以化简为√6（根据乘法公式√a * √b = √(ab)）。
2. 乘法运算：a. 二次根式的乘法遵循乘法公式：√a * √b = √(ab)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b. 多个二次根式相乘时，可以使用乘法交换律和结合律进行化简。
例如，√2 * √3 * √5 = √(2 * 3 * 5) = √30。
3. 除法运算：a. 二次根式的除法遵循除法公式：√a / √b = √(a / b)。
例如，√6 / √2 = √(6 / 2) = √3。
b. 多个二次根式相除时，同样可以使用除法公式进行化简。
例如，√30 / √2 = √(30 / 2) = √15。
三、二次根式的化简与合并1. 化简：将一个二次根式表示为最简形式。
例如，√8可以化简为2√2。
2. 合并：将多个二次根式合并为一个二次根式。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级数学二次根式课件-二次根式
(a≥0). ＝ቊ－a(aa≥(a＜0)，0).
(3)双重非负性： a ≥ 0(a≥0).
数学
八年级 下册
人教版
第一单元
1.(1)一个数的平方是16，则这个数是 ±. 4
(2)7的平方根是 ± 7
；
13的算术平方根是 13
.
2.下列各式中是二次根式的是( C )
3
A. 8
B. －1 C. 3
D. x(x＜0)
数学
八年级 下册
人教版
第一单元
2.下列式子中不是代数式的为( B )
A. x＋2(x≥－2) B.5a＋8＝7
C.2 020
D.3ba＋－21(a≠13)
数学
八年级 下册
人教版
第一单元
3.若x＝ y－3－ 6－2y＋2，则|x－y|的值是( B )
A.5
B.1
C.－1 D.2
数学
八年级 下册
人教版
∴y＝2 022，
∴xy
＝
2 2
002221.
数学
八年级 下册
拓展题：已知 a－17＋ 17－a＝b＋8. (1)求a和b的值； (2)求a2－b2的平方根. 解:(1)由ቊa1－7－17a≥≥00,,解得a＝17, ∴b＝－8, ∴a＝17,b＝－8; (2)a2－b2＝172－82＝225, ∵225的平方根是±15, ∴a2－b2的平方根是±15.
解:∵0＜x＜2,∴x－2＜0,x－3＜0. ∴ x2－4x＋4＋ x－3 ＝2－x＋3－x＝5－2x.
数学
八年级 下册
人教版
第一单元
【变式2】已知y＝ x－2＋ 2－x＋ 38，求 2xy的值.
6 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的概念及性质
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52
t 。
如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。
【知识梳理1】二次根式的概念
形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。
注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“
”，如：2、
3
2
等都是二次根式。
尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式；
（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如
21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式；
（3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2；
形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1
152
的形式。
【例题精讲】二次根式的定义
例1. 在式子()12,02,1,42
2
2
3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 【试一试】
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a
2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。
【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。
根据具体的情况可分类讨论如下：
a 2a
b 1x +2
1x +3
（1）单个二次根式如
A 有意义的条件：A≥0；
（2）多个二次根式相加如
A B N ＋＋…＋有意义的条件：
000A B N ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩≥，≥，…≥；
（3）二次根式作为分式的分母如
B
A
有意义的条件：A ＞0； （4）二次根式与分式的和如
1
A B ＋
有意义的条件：0.
A B ⎧⎨⎩≥0，≠ 重点剖析：当二次根式的被开方数是分式时，除了要保证被开方数是非负数外，还要同时保证分母不能为零。
【例题精讲】二次根式有意义的条件 例1. 当x 取什么实数时，下列各式有意义?
（1）x -； （2）()2
12-x ； （3）x x -⋅-21；
（4）()()x x --21； （5）
5124
--x x ； （6）311
x
--．
【试一试】
1. 若32-a 是二次根式,则字母a 应满足的条件是( ) A 、23
≠a B 、 23≤a C 、 23>a D 、 2
3≥a 2. 当a 满足__________时， a
2
-有意义。
3. 当
2
1-a 有意义时，a 的取值范围是_________________。
4. 若x x -+有意义，则x 的取值范围是_______________。
5. 使式子x -4有意义且取得最小值的x 的取值是( )
A 、0
B 、4
C 、2
D 、不存在
【知识梳理3】二次根式的性质
性质1：式子a （a≥0）具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。
具体描述为（1）a 是非负数，a 的最小值是0；（2）a 的被开方数a 是非负数。
性质2：(a )2＝a (______)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
注：不能忽略被开方数为非负数这个限制条件，从而出现类似()()2
5﹣
＝﹣5式的错误。
性质3：2a ＝a ＝____0)__0)((__a a ⎧⎨
⎩≥＜，
，
即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于 ；当一个
数为负数时，它的平方的算术平方根等于 。
注：a 的取值范围是任意实数，不一定总是非负数，须避免出现类似(
)2
7﹣＝﹣7式的错误。
【例题精讲1】二次根式的性质
例1. 已知443422-=++++-c c b a ，求c
b
a
)(的值。
例2. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2
1a a －
＋。
【试一试】
1. 若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。
2. 已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A 、3
B 、– 3
C 、1
D 、– 1
3. 已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。
4. 若
1
a b -+与
24a b ++互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。
5. 实数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，且a b ＞，化简2
a －a
b ＋。
【例题精讲2】二次根式的化简
例1. 当x=-2时，二次根式x 2
12-的值为_______。
例2. 填空：当a≥0时，＝_____；当a ＜0时，＝_______， 并根据这一性质回答下列问题。
若＝a ，则a 可以是什么数？ 若＝-a ，则a 可以是什么数？ ＞a ，则a 可以是什么数？ 当m ＜3时，()
2
3m －＝ 。
【试一试】
1. 计算：（1）21142⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝ ；22
112233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋﹣
＝ ；()223⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹣﹣＝ 。
2. a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A 、＝≥-
B 、＞＞-
C 、＜＜-
D 、-＞＝
3. 当时，代数式的值是 。
【例题精讲3】利用二次根式的非负性求值
例1. 已知3260x y x y ＋－＋－＋＝，求x 、y 的值。
例2. 已知226y x x ＝－＋－＋，求x
y
的值。
2
a 2
a 2a 2
a 2
a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
a 2
()a -2-=x 1352
--x x
1、化简：()
3313--
2、已知2x <,则化简244x x -+的结果是（ ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
3、根式2(3)-的值是( )
A 、-3
B 、3或-3
C 、3
D 、9
4、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A 、－a
B 、a
C 、－3a
D 、3a 5、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
A 、 －1
B 、 1
C 、2a －7
D 、 7－2a 6、化简2
1816x x x ---+的结果是2x -5，则x 的取值范围是（
）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、 x ≥1
D 、x ≤1 7、若代数式2
2
(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ）
A 、4a ≥
B 、2a ≤
C 、24a ≤≤
D 、2a =或4a =
8、如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A 、 a=0
B 、a=1
C 、 a=0或a=1
D 、 a≤1
一、选择题。
1、实数a ､b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b|﹣2
a 的结果是（ ）
A 、 2a ﹣b
B 、 b
C 、﹣b
D 、﹣2a+b
2、若x<2，化简2(x 2)-+|3﹣x|的正确结果是（ ）
A 、 ﹣1
B 、 1
C 、2x ﹣5
D 、5﹣2x
2a。