傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
简述傅里叶变换
简述傅里叶变换傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。
一、傅里叶变换的定义傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。
其定义是：$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。
该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。
分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；3. 积分变量是虚数u，表示频率；4. 傅里叶变换是线性的。
二、傅里叶变换的性质1. 时间移位性质该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$2. 频率移位性质该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。
$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$其中T是一个常数，表示频域移位的量。
3. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$其中a和b是任何常数。
4. 傅里叶变换的共轭对称性傅里叶变换具有共轭对称性，即：$$F^*(u) = F(-u)$$5. 卷积定理该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。
即：$$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$其中“*”表示卷积操作。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质：2. 证明：(仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
函数的傅里叶变换和反变换的性质
函数的傅里叶变换和反变换的性质傅里叶变换和反变换是函数分析中非常重要的概念，它们在信号处理和通信领域等多个应用中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论傅里叶变换和反变换的性质，以期对函数分析、信号处理以及数学等领域更深入的了解。
一、傅里叶变换的性质傅里叶变换的定义是：任何函数可以表示成以时间为自变量的正弦和余弦函数的无穷级数的形式。
也就是说，将任何函数分解成一系列的正弦和余弦函数后，我们就可以用傅里叶变换来进行函数的处理和操作。
傅里叶变换可以分为离散和连续两种形式，而它们都具有一些很重要的性质。
下面将分别介绍这些性质：1. 线性性傅里叶变换具有线性性，也就是说如果对于两个函数 f(t) 和g(t)，它们的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么对于函数 a ×f(t) + b × g(t)（其中 a 和 b 是任意实数），它的傅里叶变换就是 a × F(ω) + b × G(ω)。
2. 卷积定理卷积定理说明了傅里叶变换中频域的卷积运算可以通过时域中的乘积运算来实现。
如果函数 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么它们在时域的卷积 f(t) * g(t) 的傅里叶变换就是F(ω) × G(ω)。
3. 改变函数的时间和频率如果函数 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而f(t − τ) 表示 f(t) 向右平移τ 个单位，那么f(t − τ) 的傅里叶变换就是F(ω) × e^{- iωτ}。
同样的道理，如果 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而 f(at) 表示将 f(t) 的时间宽度缩小到原来的 a 倍，那么 f(at) 的傅里叶变换就是 (1/a) ×F(ω/a)。
二、傅里叶反变换的性质与傅里叶变换相对应的是傅里叶反变换，它可以将函数由频域转换到时域。
傅里叶反变换的定义是：如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，那么它的傅里叶反变换就是：f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω同样的，傅里叶反变换也有一些很重要的性质：1. 线性性傅里叶反变换与傅里叶变换一样具有线性性，也就是说，如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，而另一个函数的傅里叶变换为G(ω)，那么对于函数a × F(ω) +b × G(ω)，它的傅里叶反变换就是a × f(t) + b × g(t)。
傅里叶变换的性质解析
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw
傅里叶变换的性质
a 1
dx
j b a
, dt
t
1
t 1
2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1
0
0
(c)
(d)
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
退出
3.时移加尺度变换
（1）性质
2
t
4 E
退出
解 F f t
2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2
第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通 网络
j t
dt
f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( )，则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
F ( )
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
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1 1 1 F (w ) 2 j 1 j(w - 2) 1 j(w 2) j 1 j(w 2) - 1 - j(w - 2) - 2 (1 jw - 2 j)(1 jw j 2) 2 2 2 2 (1 jw ) 4 5 - w 2 jw 2(5 - w - j 2w ) 5 - w - j 2w 2 2 2 2 2 4 (5 - w ) 4w 25 - 6w w
14
1 1 j 2t - j 2t f (t ) g (t ) e g (t ) e 2j 2j 则g (t ) e g (t ) e
j 2t
- j 2t
1 j(w - 2) 1 G (w 2) 1 j(w 2)
G (w - 2)
1
1 1 1 F (w ) 2j 1 j( w 2 ) 1 j( w 2 )
8
若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 : af (t ) bg (t ) 位移 : f (t - t 0 ) f (t )e jw 0t 导数 : f (t ) 积分 :
t -
性质小结:
aF (w ) bG (w )
F (w ) e - jwt0 F (w - w 0 ) jwF (w ) 1 F (w ) jw 2f ( -w ) 1 w F |a| a F ( -w )
7
若F [ f (t )] F (w ), 则还成立 对称性质 : F [ F (t )] 2 f ( -w ), F [ F ( -t )] 2 f (w ) 相似性质 : 1 w F [ f (at )] F (a 0) |a| a 翻转性质 : F [ f (-t )] F (-w )
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13
练习1
f (t ) u (t ) e sin 2t，求ｆ的傅里叶变换。 解：令g (t ) u (t ) e
-t -t
1 G (w ) 1 jw
j 2t - j 2t
e -e 则f (t ) g (t ) sin 2t g (t ) 2j 1 1 j 2t - j 2t g (t ) e - g (t ) e 2j 2j
f (t ) d t
对称 : F (t ) 相似 : f ( at ) ( a 0) 翻转 : f ( -t )
9
乘积定理 若F(w)=F [f(t)], G(w)=F [g(t)], 则
-
1 f (t ) g (t ) d t 2
-
F (w )G (w ) d w (1.20)
2
• 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式
11
实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所 有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t )
u (t ) u (t )e e
- bt 2 - bt
1 1 (w ) jw 1 b jw
-
f (t ) e - jwt d t G (w ) d w - F (w )G (w ) d w
10
-
能量积分 若F(w)=F [f(t)], 则有
1 f ( t ) d t - 2
2
-
F (w ) dw (1.21)
-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
20
在积分
-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
中, 令ut-, 则t-u, du-d, 则
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
即卷积满足交换律.
21
卷积满足结合律
[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(t)]=F(w), 则
d F (w ) F [- j tf (t )]. dw 一般地, 有 dn n n F (w ) (- j) F [t f (t )] n dw
d n j F (w ) F [t f ( t )] n dw
2 2
16
练习2：
求F(w)=[(w+w0)+(w-w0)]的傅里叶逆变 换。
解： (t ) 1 e e
- jw0t jw0 t
1 2 (w ) 2 (w w0 ) 2 (w - w0 )
1 - jw0t jw0 t f (t ) e e cos w0t 2
f1 (t ) f 2 (t )
1 F1 (w ) F2 (w ) 2
26
例2 若f(t)=cosw0t u(t), 求F [f(t)]
1 u (t ) (w ) jw e f (t ) u (t ) 2 1 1 F (w ) (w - w 0 ) 2 j(w - w 0 ) e 1 (w w 0 ) j(w w 0 ) jw 2 [ (w - w 0 ) (w w 0 )] 2 2 w0 - w
24
由卷积的定义有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t - ) d
-
1 e
0 -t
t
- ( t - )
d e
-t
e d
0
t
e (e - 1) 1 - e
t
-t
1 O
1-e-t t
25
【卷积定理】假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分 定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w) 则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w) 以及
27
jw 0t
- jw 0t
例3 若F(w)=F [f(t)], 证明 t F (w ) F f (t ) d t F (0) (w ) jw -
证 : f (t ) d t f ( )u (t - ) d f (t ) u (t )
n
n
6
4. 积分性质
如果当t 时, g ( t )
t -
f ( t )d t 0
t 1 则 F f ( t )d t F [ f ( t )]. (1.19) - jw
d t 证 因为 f ( t )d t f ( t ), d t - t jwF f ( t )d t F [ f ( t )] -
F (w )
(w - 2) - (w 2) 2j
18
卷积定理
19
卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
-
f1 ( ) f 2 (t - ) d
• 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1 (t ) f 2 (t )
e b
w2 4b
12
• 由位移性质可知：
f (t - t0 ） F (w )e f (t )e 由 1 2（w）可得 e
jw 0 t jw 0 t - jwt 0
F (w - w0 )
2 (w - w0 )
由 (t ) 1 可得
（t - t0 ) e
傅氏变换的性质
1
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏 积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
2
1.线性性质
设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1.13)
17
练习3: 求f(t)=cos t sin t的傅里叶变换。
1 jt - jt jt - jt cos t sin t e e e -e 4j 1 j 2t - j 2t e -e 4j
1 2 (w ), e e
- j 2t
j 2t
2 (w - 2)
2 (w 2)
22
卷积满足分配率
f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
23
0 t 0 0 f 2 (t ) -t 例1 若 f1 (t ) 1 t 0 e
求f1(t)*f2(t) f1()
t0 t0
1 O
1 O f2(t-) t
jwt0
F [ f (t )]
(1.15)
4
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去 间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F [f '(t)]=jwF [f(t)]. (1.17) • 推论 • F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
证
-
f (t ) g (t ) d t dt - G(w ) e d w - jwt dt - G(w ) e d w
jwt
-
-
1 f (t ) 2 1 f (t ) 2
1 2 1 2