有限元法基础4单元和插值函数的构造
第2章 单元和插值函数的构造
dH ( ) ij dξ
(1) i
j
1 2 d Q ( )1 dξ ( d ) 2 dξ
CHONGQING UNIVERSITY
工程力学系
2.3二维单元
1 三角形单元
1）面积坐标
Li Ai A (i, j , m)
工程力学系 2 插值函数
一次单元：线性单元，只有角结点。
二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。
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工程力学系
三次单元：边界上配置二个内结点。
3 特殊单元
弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、 集中质量单元等。 模拟裂纹的奇异单元
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等参变换3面积坐标的微分运算chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系4面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值1002010chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系lagrange矩形单元矩形单元00缺点
自然坐标
1 1 xj 2 1 xm
1
x
y yj ym
1 (ai bi x ci y ) 2
A
1 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
Ai 1 (ai bi x ci y ) N i A 2A
CHONGQING UNIVERSITY
工程力学系
u Ni ui N j u j N mum v Ni vi N j v j N m vm
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元法的基本构架
有限元法的基本构架目前在工程领域内常用的数值模拟方法有：有限元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，就其广泛性而言，主要还是有限单元法。
它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列的单元，单元之间仅靠节点相连。
单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到。
由于单元形状简单，易于平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。
有限元的基本构成：1. 节点（Node）：就是考虑工程系统中的一个点的坐标位置，构成有限元系统的基本对象。
具有其物理意义的自由度，该自由度为结构系统受到外力后，系统的反应。
2. 元素（Element）：元素是节点与节点相连而成，元素的组合由各节点相互连接。
不同特性的工程统，可选用不同种类的元素，ANSYS提供了一百多种元素，故使用是必须慎重选则元素型号。
3. 自由度（Degree Of Freedom）：上面提到节点具有某种程度的自由度，以表示工程系统受到外力后的反应结果。
要知道节点的自由度数，请查看ANSYS自带的帮助文档（Help/Element Refrence），那里有每种元素类型的详尽介绍。
典型的分析过程ANSYS分析过程包含三个主要的步骤：1.创建有限元模型1）创建或读入限元模型2）定义材料属性3）划分网格2.施加载荷并求解1）施加载荷及设定约束条件2）求解3.查看结果1）查看分析结果2）检查结果是否正确ANSYS 文件及工作文件名ANSYS在分析过程中需要读写文件，文件格式为jobname.ext，其中jobname是设定的工作文件名，ext是由ANSYS定义的扩展名，用于区分文件的用途和类型，默认的工作文件名是file。
ANSYS分析中有一些特殊的文件，其中主要的几个是数据库文件jobname.db、记录文件jobname.log、输出文件jobname.out、错误文件jobname.err、结果文件jobname.rxx 及图形文件jobname.grph。
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限单元法分析的基本步骤
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
有限元法基础-4单元和插值函数的构造
根据形函数的特点
1 Ni (L1j , L2j , L3 j ) 0
i j i j
这样可用过其他两节点的直线方程
来构成。例如节点1，可用2－3边
的直线方程来构成插值函数，即
N1 L1
18
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）二次单元－－6节点三角形单元
节点1：
N1
2 L1 ( L1
(x x1)(x x2 ) (xi x1)(xi x2 )
(x xi1)(x xi1) (x xn ) (xi xi1)(xi xi1) (xi xn )
22
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
当＝2时
l (1)
1
(
x)
x x2 x1 x2
Lj
Lm
dxdy
(
! !
!
2)!
2A
3) i-j 边长为 l 的线积分
l
Lai
Lbj ds
(a
a!b! b 1)!
l
14
有限元法基础
4.1 面积坐标
例：
A Lm
dxdy
0!0!1! 2A (0 0 1 2)!
A 3
A L2i
dxdy
分别在两个方向插值，即
方向有n+1个节点，n阶插值函数 lI(n) ( )
方向有m+1个节点,
m阶插值函数
l(m) J
(
)
场插值函数为
N IJ
(
,
)
l(n) I
(
)lJ(m)
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aix xm j
yj , ym
1 bi1
yj , ym
1 ci1
xj xm
Li ai bi ci 1
LLmj 21Aaamj
bj bm
cj x cmy
1 1
x
xi
1 xj
1 xm
Li Lj
y
yi
yj
ym
Lm
xxiLi xjLj xmLm yyiLi yjLj ymLm
12
4.1 面积坐标 例：均质等厚单元的自重
Q
e iF
Q Q
e iF
e iF
x y
A
Li 0
0 Li
0
g
tdxdy
1 3
0
g
tA
16
有限元法基础
4.1 面积坐标
用面积坐标给出的单元的插值函数
以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表 示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数 是对称的。
7
有限元法基础
4.1 面积坐标
记
L i A A i P j的 m 的 高 高 ,L j A A j ,L m A A m
则三角形内的点P 表示为
PL i, Lj, Lm
Li, Lj, Lm 称为面积坐标。
8
有限元法基础
4.1 面积坐标 面积坐标的性质
1）与j-m 平行的线上具有相同的Li
2
有限元法基础
4. 单元与插值函数
关键概念
自然坐标 面积坐标 体积坐标 Lagrange单元 Serendipity单元
3
有限元法基础
4. 单元与插值函数
广义坐标有限元法的存在的问题： 1）建立单元插值函数方法繁琐 2）形成单元矩阵过于复杂
4
有限元法基础
4. 单元与插值函数
单元插值函数的构造
与求解问题的微分方程无关
对于n个节点的一维单元，节点坐标为 xi (i1,2,L,n) 多 项式插值可达n-1阶，即
l i ( n 1 ) ( x ) j 1 n ,j ix x i x x j j ( x ( i x x x 1 ) 1 ( ) ( x x i x x 2 2 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 ) 1 ) L L ( ( x x i x n x ) n )
第四章 单元与插值函数
4.1 面积坐标 4.2 Lagrange 单元 4.3 Serendipity单元 4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值
1
有限元法基础
4. 单元与插值函数
通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是 在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。 本章重点介绍 构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方 法和特点 构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点
插值函数的构造方法
与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关 与单元节点DOF的类型和数量有关
5
有限元法基础
4. 单元与插值函数
6
有限元法基础
4.1 面积坐标
定义 在三角形内任意一点P的位置
由其三角形子域的面积与三角形 面积的比值确定，即
PAAi ,
Aj , A
AAm
其中A为三角形面积，A i 为 Pjm 的面积，A j 为Pmi 的 面积，A m 为 P i j 的面积。
9
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1)
3）形心坐标为
1， 3
1， 3
1 3
4）三角形三条边的坐标为
j-m边: Li = 0, m-i边:Lj = 0, i-j边: Lm = 0
5）三个坐标只有2个是独立的
Li Lj Lm1
10
有限元法基础
节点1：
N1
2L1(L1
) 2
节点4： N4 4L1L2
通用表达式：
角节点 N i L i(2 L i 1 ) (i i,j,m )
中节点 N i 34 L iL j (i,ji,j,m )
6
注： N i 1
i1
19
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）三次单元－－10节点三角形单元
节点1
9
12
N12L1(L13)(L13)
4.1 面积坐标
面积坐标与直角坐标的关系
三角形单元 ijm 的面积
1 xi yi
A11 2
xj
yj
1 xm ym
三角形内任意点 P(x,y), Pjm
1x Ai 121 xj
1 xm
y yj 12(ai bixciy) ym
11
有限元法基础
4.1 面积坐标
L iA A i 2 1 A (a ib ixciy)N i
l
Lai Lbjds
a!b! l (ab1)!
14
有限元法基础
4.1 面积坐标
例：
A Lm
dxdy
0!0!1! (0 01 2)!
2A
A 3
A L2i
dxdy
2!0!0! (2 0 0 2)!
2A
A 6
A Li Lj
dxdy
1!1!0! 2A A (11 0 2)! 12
(i j)
15
有限元法基础
有限元法基础
4.1 面积坐标
面积坐标的微积分运算 1）导数
Li x Li x Lj
Lxj L mLxm21Abi Li bj Lj bmL m
y21Aci Li cj
Lj cmLm
13
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）面积分
AL iL jL mdxdy( ! ! !2)!2A
3) i-j 边长为 l 的线积分
17
有限元法基础
4.1 面积坐标
Hale Waihona Puke 1）线性单元－－3节点三角形单元
根据形函数的特点
1 ij Ni(L1j,L2j,L3j)0 ij
这样可用过其他两节点的直线方程
来构成。例如节点1，可用2－3边
的直线方程来构成插值函数，即
N1 L1
18
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）二次单元－－6节点三角形单元
1
22
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
当＝2时
l1 (1)(x)x x1 x x2 2
令 x1 0, x2 l ，则
l (1)
1
(x)
1
x l
l2 (1)(x)xx2 x x1 1
l (1)
2
(
x)
x l
引进无量纲坐标
xx1 xx1 (01)
xnx1 l
l1(1)(x) 1
l (1)
2
(
x)
节点4
N4
227L1L2(L1
1) 3
节点10
N1027L1L2L3
10
Ni1
i1
20
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
单元场函数的插值表示为
n
N i i i1
插值函数满足下列性质
1 i j Ni (xj ) 0 i j
n
Ni1
i1
21
有限元法基础
4.2 Lagrange单元 一维Lagrange插值 1）总体坐标下的位移插值函数