2018学年第二学期高二数学《直线与平面垂直》学案
高中数学 必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质导学案 新人教A版必修2
2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质【知识链接】当两条直线的夹角为090，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是相交或异面.【基础知识】1.如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记做l α⊥.l 叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P 叫垂足.如图所示.2.直线与平面垂直的判定定理 一条线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简记：线线垂直，线面垂直）.判定方法还有：（1）定义法（2）两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.3.直线与平面垂直的性质定理（1）一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线.（简记：线面垂直，线线垂直）（2）垂直于同一个平面的两条直线平行.（3）过一点仅有一条直线垂直于已知平面（4）过一点仅有一个平面垂直于已知直线【例题讲解】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（√）⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（√）⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（√）⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（√）⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（√）⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （×）例2 已知a ∥b ，a α⊥，求证：α⊥b .例3 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，求证：a ∥b .变式训练1：在三棱锥V-ABC 中，,VA VC AB BC ==，求证：VB AC ⊥.【达标检测】1. 直线l 和平面α内两条直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是（ D ）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2. 下列四个命题中错误的是（ D ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 已知直线,a b 和平面α，下列错误的是（ D ）.A.a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ B.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C.a b b α⊥⎫⇒⎬⊥⎭a ∥α或a α⊂ D.//a b αα⎫⇒⎬⊂⎭a ∥b4. ,a b 是异面直线,那么经过b 的所有平面（ A ）.A.只有一个平面与a 平行B.有无数个平面与a 平行C.只有一个平面与a 垂直D.有无数个平面与a 垂直5. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ D ）.A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内6. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ B ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线7. 若平面α∥平面β,直线a ⊥α,则a 与β_垂直_.8. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a _//_b .9. 如图，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.10求证：三棱锥有两组对棱垂直，第三组对棱一定垂直，顶点在底面的摄影是底面三角形的垂心.【问题与收获】。
高中数学 (2.3.3 直线与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2
2.3.3 直线与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用. 三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排 1课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b⊥a. 导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？ 思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2推进新课 新知探究 提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例思路1例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a∥b′显然不可能，因此b∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a ⊂α,a⊥AB. 求证:a∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，a ⊄α. 求证：a∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α.又∵a′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例2 如图9，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE∥CD,NE=21CD. 又∵AM∥CD,AM=21CD, ∴AM NE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD 为等腰直角三角形, 则AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA、△POB、△P OC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD ，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l⊥α. 知能训练如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离.图10（1）证明：∵AB⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C⊥BD 1. ∵B 1B⊥AC，BD⊥AC,∴AC⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.（2）解:∵O∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E. 又O ∈AC ，∴OB 1⊂面B 1AC.∴BE⊥OE，且BE 即为所求距离. ∵1BD BD OB BE =,∴BE=1BD BD ·OB=a a a a 332232=∙.拓展提升已知在梯形ABCD 中，A B∥CD，CD 在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF⊥DE 交DE 于点F,∵AB∥CD，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB∥α.又BE⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BD ODBE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF∥BE，BE⊥α.∴OF⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组1、2.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
高中数学人教B版必修二学案：1.1.2 第1课时 直线与平面垂直
1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.[知识链接]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？[预习导引]1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直.答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确.根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，m⊂α，l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1.证明∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪演练3如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a ⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定答案 B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直答案 C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A.0B.1C.2D.3答案 A解析①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案 A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.答案 2解析由线面垂直的性质定理知①④正确.1.直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线.2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.。
高二数学教案：直线和平面垂直 (2)
直线和平面垂直（1）一、课题：直线和平面垂直（1）二、教学目标：1．理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定与性质定理；2．会用定理解决有关问题．三、教学重、难点：直线和平面垂直的定义． 四、教学过程： （一）复习：1．平面与平面平行的判定定理和性质定理； 2．练习：（1）一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是这两个平面平行的 条件； （2）若平面//α平面β，直线,a b αβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是 ； （3）下列命题：①如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； ③如果一个平面内的无数条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； ④如果一个平面内的任意一条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； 其中正确的命题是 ．（二）新课讲解： 1．引入：将书打开直立在平面α上，书脊AB 和各页面与桌面的交线的位置关系是垂直，那么AB 和α的关系怎样描述呢？ 2．线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何直线都垂直，我们称这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂线，交点叫做垂足，记作l α⊥．练习：判断：（1）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面； （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面； （3）如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．线面垂直的判断定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
已知：,m n ''是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ''⊥⊥，求证：l α⊥证明：过点B 作//,//m m n n ''∵,l m l n ''⊥⊥ ∴,l m l n ⊥⊥，过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧 分别截取BA BA '=，∴,m n 都是AA '的垂直平分线， ∴,AD A D AC A C ''==，A'αl nmED C BADCBAEDCBA在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别与,m n 相交于点,C D ，∴ACD A CD '∆≅∆，∴ACD A CD '∠=∠，又AC A C '=， ∴ACE A CE '∆≅∆，∴AE A E '= ∴a l ⊥，∴l α⊥．（三）例题分析：例1．有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m ===== ∴2222226810AB BC AC +=+==2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠= 即,AB BC AB BD ⊥⊥ 又∵,,B C D 不共线∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；例2．已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =， 求证：BC AD ⊥证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ，∵,AB AC DB DC ==， ∴,AE BC DE BC ⊥⊥，∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥．五、课堂练习：课本第27页练习的第5题六、课堂小结：1．线面垂直的定义；2．线面垂直的判定定理。
高中数学(231直线与平面垂直的判定)学案 新人教A版必修2 学案
直线与平面垂直的判定学案一．学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.二．重点、难点： 重点： 难点： 三．知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.四．自主探究： （一）例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. 又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =，∴BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO . 由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求. 在Rt EOA ∆中，1112222EO EF A D ===，2215()122AE =+=， 10sin 5EO EAO AE ∠==. 所以直线AE 与平面11ABC D 所成的角的正弦值为105. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ， ∴,PO BC PO AC ⊥⊥. 又 ∵PA BC PB AC ⊥⊥，，∴BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴O 为底面△ABC 的垂心.点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ⊥⊥，，求证PC AB ⊥”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.【例4】已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.解：作1BB α⊥于1B ，1CC α⊥于1C ，则由//BC α，得 11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面α的距离，设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC ∠=∠=， ∴2,2AC x AB x ==，在Rt ABC ∆中，6,90BC BAC =∠=，∴223624x x =+，∴6x =，即BC 到平面α的距离为6．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.五．目标检测：C 1B 1CB Aα（一）基础达标1．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于（ ）.A ．平面OABB ．平面OACC ．平面OBCD ．平面ABC2．若直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）. A ．l m ⊥ B ．l 可能和m 平行C ．l 和m 相交D ． l 和m 不相交3．在正方形S G 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，现沿S E 、S F 、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合为点G ，则有（ ）.A. SG ⊥面EFGB. EG ⊥面SEFC. GF ⊥面SEFD. SG ⊥面SEF4．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ）.A ．a ⊥βB. a ∥β．C ．a β⊂D ．a β⊂或a ∥β5．（04年某某卷.理4文5）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）.A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°6．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.7．设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心； ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆垂心；③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==； ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心.其中正确说法的序号依次是. （二）能力提高8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．GFE DCB AD 1C 1B 1A 1G 2FEG 3 G 1S9．如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,PA AD a ==2AB a =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且12PE BF ED FA ==．求直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.（三）探究创新10．如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°, （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？。
2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时直线与平面垂直学案
1.2.3 第2课时直线与平面垂直1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的定义阅读教材P35～P36思考以上的部分，完成以下问题．如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：图1－2－54判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.(√)(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.(√)教材整理2 直线与平面垂直的判定阅读教材P 36～P 37第5行，完成下列问题． 直线与平面垂直的判定定理1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 能判定直线与此平面垂直的有________．【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．【答案】 ①③2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的有________． ①l 与平面α内的两条直线垂直； ②l 与平面α内的无数条直线垂直； ③l 与平面α内的某一条直线垂直； ④l 与平面α内的任意一条直线垂直．【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确． 【答案】 ④教材整理3 直线与平面垂直的性质阅读教材P 37第8行～第13行，完成下列问题． 直线与平面垂直的性质定理已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是________． 【解析】 由线面垂直的性质可知，若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α. 【答案】 垂直教材整理4 距离及直线与平面所成的角阅读教材P 36第13,14行及P 38第4,5行和P 39例3以上部分内容，完成下列问题． 1．距离(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________.【导学号：41292031】【解析】 连结AC ，则AC ⊥BD ，又BB 1⊥AC ，故AC ⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22，AB 到平面A 1B 1CD 距离等于A 到该平面的距离，等于22.【答案】22 222．如图1－2－55所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．图1－2－55【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角， 在Rt △PAB 中，PA ＝AB ，∴∠PBA ＝45°.【答案】45°[小组合作型]线面垂直判定定理的应用如图1－2－56所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.图1－2－56【精彩点拨】只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE ⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．【自主解答】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直[再练一题]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图1－2－57【证明】∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴EF⊥BB1，又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.线面垂直性质定理的应用如图1－2－58，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF ⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－2－58【精彩点拨】利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．【自主解答】如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD 1⊥B 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C . ∵EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D ， 又A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C . ∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.空间中证明两条直线平行的方法： (1)利用线线平行定义证两线无公共点； (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c (公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b (线面垂直的性质定理)．[再练一题]2．如图1－2－59，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图1－2－59(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .【证明】 (1)取PD 中点E ，又N 为PC 中点，连结NE ，AE ，则NE ∥CD ，NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM 綊NE ，∴四边形AMNE 为平行四边形． ∴MN ∥AE .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA .又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADP . ∵AE ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥AE ， ∴MN ⊥CD .(2)当∠PDA ＝45°时，Rt △PAD 为等腰直角三角形，则AE ⊥PD . 又MN ∥AE ， ∴MN ⊥PD ，由(1)知MN ⊥CD ，PD ∩CD ＝D . ∴MN ⊥平面PCD .[探究共研型]距离问题及直线与平面所成角的求法探究1 如图1－2－60，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？图1－2－60【提示】 由题意知BD ＝B 1D 1＝22，B ，D 1到平面AC 1的距离分别为BD 2和B 1D 12，都为2；BC 1到平面AD 1的距离等于AB 的长，为2.探究2 如图1－2－61，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，图1－2－61(1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？【提示】(1)因为平面AC 与平面A 1C 1平行，所以BD 1与两平面所成的角相等．(2)A 1B 与平面A 1C 所成的角为30°， 连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， 所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.如图1－2－62所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N分别是A 1B ，B 1C 1的中点．图1－2－62(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．【精彩点拨】 (1)证明MN ∥AC 1，(2)C 1点在平面A 1BC 上的射影为A 1C 中点． 【自主解答】 (1)证明：如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，得BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1， 则BC ⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[再练一题]3．如图1－2－63，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F，G分别为CC1，DD1，AA1的中点．图1－2－63(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求证：GC1∥平面BEF；(3)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．【解】(1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F.∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)证明：∵G，F分别为AA1，DD1的中点，连结AE.∴AG∥EC1且AG＝EC1，∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥GC1.而AE⊂平面ABEF，GC1⊄平面ABEF，∴GC1∥平面ABEF，即GC1∥平面BEF.(3)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能______(填序号)．①平行；②相交；③异面；④垂直．【答案】①2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．【解析】∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴l⊥AB.11 【答案】 垂直3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则图1－2－64中直角三角形的个数为________．图1－2－64【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB .综上可知，△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 均为直角三角形．【答案】 44．已知平面α外两点A ，B 到平面α的距离分别是2和4，则A ，B 的中点P 到平面α的距离是______.【解析】A ，B 在α同一侧时P 到α的距离为3，A ，B 在α异侧时P 到α的距离为1.【答案】 1或35．如图1－2－65，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，求PA 与底面ABC 所成角的大小．图1－2－65【解】 ∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在底面的射影O 是△ABC 的外心．又∠BAC ＝90°，∴O 在BC 上且为BC 的中点，∴AO 为PA 在底面的射影，∠PAO 即为所求的角．在Rt △PAO 中，PO ＝32PB ＝32PA . ∴sin ∠PAO ＝POPA ＝32，∴∠PAO ＝60°.。
2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直
1．2.3 空间中的垂直关系第1课时 直线与平面垂直学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一 直线与平面垂直的定义及性质思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理 直线与平面垂直的定义及性质(1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或________________相交于一点，并且交角为________，则称这两条直线互相垂直．(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB )和一个平面(α)相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的________________．我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作__________把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB ：平面α的________；平面α：直线AB 的______；点O ：________；线段AO ：点A 到平面α的________；线段AO 的长：点A 到平面α的________如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的____________直线垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD ，DC 与桌面接触)．观察折痕AD 与桌面的位置关系．思考1 折痕AD 与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD 满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条________直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直Error!⇒a ⊥α推论1条件：两条________直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面Error!⇒m ⊥α推论2条件：两条直线垂直于________平面，结论：这两条直线平行Error!⇒l ∥m类型一 直线与平面垂直的判定例1 如图，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，求证：BC ⊥平面PAC .引申探究 若本例中其他条件不变，作AE ⊥PC 交PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)根据判定定理得出结论．跟踪训练1 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.类型二 线面垂直的性质的应用例2 如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型三 线面垂直的综合应用例3 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥CD.反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练3 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交D．不确定3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.1．直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．答案精析问题导学知识点一思考 不变，90°.梳理 (1)经过平移后 直角(2)任何直线都垂直 AB⊥α 垂线 垂面 垂足 垂线段 距离 任意一条知识点二思考1 不一定．思考2 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理 相交 m⊂α n⊂α 平行 l∥m同一个 m⊥α题型探究例1 证明 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究 证明 由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.跟踪训练1 证明 (1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD ⊥平面SAC .例2 证明 如图，连接AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1.∵DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AC .又AC ⊥BD ，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BD 1.同理，BD 1⊥B 1C ，∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，且A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又∵EF ⊥AC ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.跟踪训练2 证明 因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA .同理l ⊥EB ，又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a ⊥平面EAB .因此，a ∥l .例3 证明 如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，因为N 为PC 的中点，则NE ∥CD ，NE ＝CD ，12又因为AM ∥CD ，AM ＝CD ，12所以AM ∥NE ，AM ＝NE ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE .因为PA ⊥矩形ABCD 所在平面，所以PA ⊥CD ，又四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ，所以MN ⊥CD .跟踪训练3 证明(1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG ＝AE .12∵CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE .又∵CD ＝AE ，12∴FG ∥CD ，FG ＝CD .∴FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG .又∵CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB ，F 为BE 的中点，∴AF ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB .∵AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AE ⊥CG ，∴AE ⊥DF .且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE，∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD.当堂训练1．A 2.B 3.D4．垂直解析 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直线AB与CD确定一个平面．∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，又BD⊥EF，AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC.∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF.5．证明 ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
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直线与平面垂直班级 学号 姓名 复习目标：掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；并会规范地写出解题过程。
课前预习：1、知识要点：直线与平面垂直2、基础自测1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。
上述判断正确的是()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④ 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心 其中正确命题的命题是 例题分析：例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．1C 1D E F例2、如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形，且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 上一点，且PB ∥平面EAC . (I)求证：E 是PD 的中点；(II) 求证：AE ⊥平面PCD .例3、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.EA B CDPBCNMPDCB A CBAS课后作业：1．下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，真命题是 （ ）()A 若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ ()B 若l β⊥且//αβ，则l α⊥()C 若l β⊥且αβ⊥，则//l α ()D m αβ=且//l m ，则//l α2、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ A ） ()A 线段1B C ()B 线段1BC()C 1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段 ()D BC 的中点与11B C 的中点连成的线段3．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面 ①若αγββα则,,⊥⊥∥β ②若a c b b a 则,,⊥⊥∥c ac ⊥或.③若b a,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c④若a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b上面四个命题中真命题的个数是4．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD5．ABCD 是矩形，,()AB a BC b a b ==>，沿对角线AC 把ADC ∆折起，使AD BC ⊥， （1）求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）求BD 的长。
6、如图，已知,,SA SB SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，045,60,ASC ASB BSC ∠=∠=∠=90SAB ∠=，求证：AB SC ⊥17．（2013湖南高考）如图，在直三棱柱111ABC A B C-，=90BAC∠，AB AC== 1AA=D是BC的中点，点E在棱1BB上运动．（1）证明:1AD C E⊥；（2）异面直线AC，1C E所成的角为60时，求三棱锥111C A B E-的体积．8.在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1DD的中点，O为AC的中点，AB=2．（I）求证：1//BD平面ACM；（II）求证：1B O⊥平面ACM（Ⅲ）求三棱锥1O AB M-的体积．9. 如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA⊥⊥=⊥底面ABCD，E为PC的中点。
PA＝AD＝AB＝1。
（1）证明：PADEB平面；（2）证明：BE PDC⊥平面；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。
A1B1C1ABCDEN M P C B A例1．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,A C B D =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C = ∴BD ⊥平面ACD例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
（1）证明：取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PC 的中点，∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥M DA 1C 1B 1CBA（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴122PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB ∴MQ NQ ⊥，且112MQ BC ==，∴MN =例3. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90,1,ACB AC CB ∠===侧棱11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交于点D ，11B C 的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDM 证明：连结1A C ，∵90,ACB ∠=∴BC AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC =1A C BC =，∵D 是侧面11AAB B 的两条对角 线的交点，∴D 是1A B 与1AB 的中点，∴CD BD ⊥，连结1B C ，取1B C 的中点O ，连结DO ，则//DO AC ，∵AC ⊥平面1CB ，∴DO ⊥平面1CB ，∴CO 是CD 在 平面1B C 内的射影。
在1BB C ∆中，1tan BB C ∠=在1BB M ∆中，1tan BMB ∠=11BB C BMB ∠=∠∴1B C BM ⊥，∴,CD BM BM BD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM9. 如图所示，四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。
PA ＝AD ＝AB ＝1。
（1）证明：PAD EB 平面； （2）证明：BE PDC ⊥平面；（3）求三棱锥B-PDC 的体积V 。
9. 证明：（1）取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12QE CD AB== QE CD CD AB QE AB QE AB ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭ABEQ DE AQ ⇒⇒四边形是平行四边形DE AQBE PAD AQ PAD ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面（2）PA ABCD CD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面AQ PCD BE PCD BE AQ ⇒⊥⎫⇒⊥⎬⎭平面平面 （3）BDC 11SAD DC 12122⨯⨯＝＝＝, B PDC P BDCBDC11V V PA S 33--＝＝＝16. 如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.16. （Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥, ∴ （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =, ∴F 是EC 中点在AEC ∆中，AE FG //, ∴BFD AE 平面//（Ⅲ）解： BFD AE 平面// ∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且121==AE FG CD PACD AD AD PA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭＝CD PAD AQ CD AQ PAD PA AD AQ PD Q PD CD PD D ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎫⎪⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎭平面平面＝为的中点 ＝ BCACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥ ∴BCE Rt ∆中，221===CE CF BF ∴12221=⋅⋅=∆CFB S ∴3131=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG C8. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形， 且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 上一点，且PB ∥平面EAC . (I) 求证：E 是PD 的中点； (II) 求证：AE ⊥平面PCD .8. 解：(Ⅰ)证：设AC 与BD 交于点O ，连结EO . ∴EO 是平面PBD 与平面EAC 的交线.∵PB ∥平面EAC ， ∴PB ∥EO . 又O 为AC 中点，∴E 为PD 中点. (Ⅱ)证：由(Ⅰ)知E 为PD 中点，且△P AD 为正三角形，∴AE ⊥PD ①.又平面P AD ⊥平面 ABCD 且CD ⊂ 平面ABCD ，CD ⊥AD .∴CD ⊥平面P AD . 又AE ⊂ 平面P AD ，∴CD ⊥AE ②.由①、②知AE ⊥平面PCD .14.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．E ABCDPABDC1A 1B1C1DEF114. （Ⅰ）证明：⊥BC 侧面11C CDD ，⊂DE 侧面11C CDD ，BC DE ⊥∴， 在CDE ∆中，a DE CE a CD 2,2===，则有222DE CE CD +=，︒=∠∴90DEC ，EC DE ⊥∴， 又C EC BC = ⊥∴DE 平面BDE ．（Ⅱ）证明：连EF 、11C A ，连AC 交BD 于O ， 1121//C A EF ，1121//C A AO ， ∴四边形AOEF 是平行四边形， OE AF //∴又⊂OE 平面BDE ，⊄AF 平面BDE ， //AF ∴平面BDE ．12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为AC 的中点，AB=2．（I ）求证：1//BD 平面ACM ； （II ）求证：1B O ⊥平面ACM ；（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积．2、基础自测1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。