常用傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对
1.正弦函数：正弦函数是一种周期性的函数，其傅里叶变换是两个单独的脉冲，分别位于正负频率轴上。
2. 方形波：方形波是一种周期函数，其傅里叶变换包含了无限个频率成分，每个成分都是一个单独的脉冲，频率随着成分的增加而增加。
3. 三角波：三角波是一种周期函数，其傅里叶变换包含了无限个频率成分，每个成分都是一个单独的脉冲，频率随着成分的增加而增加，但比方形波少一半。
4. 高斯波包：高斯波包是一种非周期函数，其傅里叶变换也是一个高斯波包，但是频率上限是无限的。
5. 指数衰减波：指数衰减波是一种非周期函数，其傅里叶变换是一个复数，其幅度随着频率的增加而减小。
6. delta函数：delta函数是一种非常特殊的函数，其傅里叶变换是常数1，因此它是傅里叶变换中最简单的一种。
- 1 -。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的信号处理方法，可以将一个信号表示为频域上的复合波。
在实际应用中，我们常常需要用到一些常用的傅里叶变换表来简化计算过程。
下面是常用的傅里叶变换表。
1. 频域采样点数与时间域采样点数的对应关系：当时间域采样点数为 N 时，对应的频域采样点数为 N/2+1。
采样点数越多，则频域分辨率越高，对于高频信号的分析会更准确。
2. 傅里叶变换对称性：傅里叶变换具有一定的对称性，包括对称性、共轭对称性和反对称性。
利用这些对称性，我们可以简化计算过程。
- 偶函数的频谱是实数，在频域中左右对称；- 奇函数的频谱是虚数，具有共轭对称；- 复合偶函数和复合奇函数的频谱会具有反对称性。
3. 常用信号的傅里叶变换表：以下是一些常见的信号的傅里叶变换表：- 矩形脉冲信号（Rectangular Pulse）的傅里叶变换：矩形脉冲信号在时域上是一个宽度有限且幅度为常数的信号。
其傅里叶变换在频域上是一个 sinc 函数，表达式为：F(w) = wwww(ww/2) / (ww/2)其中，w是信号的宽度，w是频率。
- 高斯函数（Gaussian Function）的傅里叶变换：高斯函数在时域上是一个钟形曲线，其傅里叶变换仍然是一个高斯函数。
傅里叶变换的表达式如下：F(w) = ww^(−w^2w^2/4w^2)其中，w是高斯函数的标准差，w是时间尺度。
- 正弦函数（Sine Function）的傅里叶变换：正弦函数在时域上是一个连续的周期函数。
其傅里叶变换也是一个周期函数，表达式为：F(w) = 0.5j (w(w−w)−w(w+w))其中，w是正弦函数的频率。
4. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质在信号处理中起到了重要的作用，可以简化傅里叶变换的计算过程。
- 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶变换等于各个函数的傅里叶变换之和。
常用信号的傅里叶变换
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
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若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
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8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
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9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
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4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
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8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
常用傅里叶变换
时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移，变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8 表示和的卷积—这就是卷积定理9 变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数傅里叶变换傅里叶变换10 矩形脉冲和归一化的sinc函数11 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12 tri?是三角形函数13 变换12的频域对应14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 光学领域应用较多161718 a>019 变换本身就是一个公式20 J0(t)?是0阶第一类贝塞尔函数。
21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是第一类切比雪夫多项式。
22 U n?(t)是第二类切比雪夫多项式。
[编辑]分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2.27 由变换1和25得到28 这里,?n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33 u(t)是单位阶跃函数，且a?> 0.34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数三元函数。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。
一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。
它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。
DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。
二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。
FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。
FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。
三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。
CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。
四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。
DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。
五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。
它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。
信号与系统傅里叶变换对总结
| z | 1
| z | 1
[r cos 0 n]u[n]
n
| z | r
[r sin 0 n]u[ n]
n
| z | r
te at u(t ), Re{a} 0
t n 1 e at u (t ), Re{a} 0 (n 1)!
减幅余弦
e at cos(0t )u (t )
减幅正弦
e at sin(0t )u (t )
0 (a j ) 2 +0 2
1 a t2
2
a
e
a
j
)
[n]
u[n]
单位阶跃序列
单边指数序列
nu[n], | | 1
1 1 e j
复指数序列
e
j0 n
l
2 (
0
2 l )
2 l ) ( 0 2 l )
余弦序列
cos 0 n
sin 0 n
l
sin(0t )
1
2 ( )
jk0t
周期波
k
ce
k
2
k
c ( k )
k 0
周期矩形脉冲
t T1 / 2 A, 0, T1 / 2 t T1 / 2
2 A sin(k0T1 / T0 ) ( k0 ) k k
1
单位冲激 延迟冲激
(t )
(t t0 )
sgn(t )
e jt0
2 j
正负号函数
单位阶跃
u(t )
1 ( ) j
j ( ) 1