极点与系统稳定性

极点对系统性能影响
一．控制系统与极点
自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。

通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。

连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。

系统的数学模型一般由系统传递函数表达。

传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。

记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

特征方程的根称为极点。

如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 ……Qi ……即为系统的极点。

二．极点对系统的影响
极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。

下面对连续系统与离散系统分别进行分析：
⑴连续系统
理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式
设系统函数为：
将H(S)进行部分分式展开：
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。

每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。

稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为
……
由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。

只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。

因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。

通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。

如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。

若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。

F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多项式，其零点是Ø(s)的极点。

取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。

且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。

s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数
1212()n s t s t s t
n y t C e C e C e =+++ 0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→⎧⎪
===⎨⎪>→∞⎩→∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121
()0cos()00j t j t t
s j y t C e C e C e t t αωαωααωαωϕαα+-=±=+<⎧⎪=+==⎨⎪>⎩
→∞
（2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
因此：
反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+－N-
其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。

其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。

正穿越：随着ω的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(-∞ , -1) 。

半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(-∞ , -1) 。

负穿越：随着ω的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(-∞ , -1) 。

半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(-∞ , -1) 。

若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在ω=0＋时，幅值无穷大，而相角为。

判断稳定性要求ω=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为的虚线圆弧。

在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。

波的图判据等原理相同。

都是由特征方程推出S根没有复实部。

总结：
1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。

2.如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。

3.若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。

4.系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。

⑵离散系统
)
(t r )(z C )(z R 离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。

因此引入Z 变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n) 的Z 变换定义为X(z)＝Σx(n)z-n ，常用序列的Z 变换中z ＝e ，σ为实变数，ω为实变量，j ＝，所以z 是一个幅度为e б，相位为ω的复变量。

x(n)和X(z)构成一个Z 变换时 。

理想的单位脉冲序列：
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为：
则：
Z 变换为：
定义：
则： 由以上定义得知Z 变换，则如何从S 平面映射到
Z 平面： ∑
∞
-∞=-=k T kT t t )
()(δδ∑
∞
-∞=-==k T kT t t x t t x t x )
()()()()(*
δδ∑
∑
∞=+∞
=-=+-++-+-+=-=00*
)
()()()()2()2()()()()0()
()()(k k kT t kT x kT t kT x T t T x T t T x t x kT t t x t x δδδδδδ )
()()()()(00*
KT t kT x KT t t x t x k k -=-=∑
∑∞
=∞=δδ∑
∞
=-==0
*
*)()]([)(k kTs
e kT x t x L s X sT
e z =∑
∞
=-====01
*ln 1*)()ln ()()(k k
T z T
s z kT x z X s X z X
+++====--∞
=-∑
2100*
)2()()0()()()]([)]([z T x z T x z x z kT x z X t x Z t x Z k k
当σ< 0，则对应在s 左半平面，系统稳定映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆内，脉冲系统稳定；
当σ > 0，则对应在s 右半平面，系统不稳定，映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆外，脉冲系统不稳定；
当σ＝0，则对应在s 平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。

将Z 进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。

总结：
稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内）。

即稳定系统的系统函数，其极点不应分布在单位圆上！
1.若H(Z)的全部极点落在单位圆内，则系统稳定。

Ts e
z =ω
σj s +=T j T T j e
e e
z ωσωσ==+)(σ
T e
z =T
z ω=∠1<z 1>z 1=z
2.若H(Z)有极点落在单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统部稳定。

3.若H(Z)在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定。