线段、角典型例题
八上 线段、角的轴对称性 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
两点，EC=4,ABC∆的周长为的垂直平分线分别交AC，AD，的对称点，线段MN分⊥，延长AE，BE，BE AE8.如图，D是ABC∆的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF 与AB的延长线交于点F，点O在AD上，AO COBC EF.=，//求证：（1）AB AC= ;（2）点O是ABC∆三边垂直平分线的交点.【知识点4】最值问题1.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ+PQ 的最小值是 ．5.如图，已知等边△ABC ，点D 为AC 的中点，BD=4，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为角平分线的性质知识点1 角平分线的性质1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论:①CD ED =;②AC BE AB +=;③BDE BAC ∠=∠; ④DA 平分CDE ∠.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若△ABC 的周长为41 cm ，边BC ＝17 cm ．AB<AC ，角平分线AD 将△ABC 的面积分成3：5的两部分，则AB ＝______cm ．3.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A.32B. 2C. 3D.不能确定的平分线BE，CD，平分BAC=;∠;③AP PC2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺的一边与射线OB重合，另一把直尺的一边与射线OA重合并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是BOA∠的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图，已知点P到,,AE AD BC的距离相等，下列说法:①点P在BAC∠的平分线上;②点P 在CBE∠，BCD∠，CBE∠的平分∠的平分线上;④点P是BAC∠的平分线上;③点P在BCD线的交点.其中所有正确的序号是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55.如图，已知射线OC上的任意一点到AOBD E F分别在边∠的两边的距离相等，点,,OC OA OB上，如果想要证明OE OF,,=，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能条件的序号 .①ODE ODF⊥.∠=∠;②OED OFD∠=∠; ③ED FD=;④EF OC6.如图，已知CE AB=.⊥，垂足分别为点,E F，BF交CE于点D，BD CD⊥，BF AC（1）求证：点D在BAC∠的平分线上;（2）若将条件“BD CD∠的平分线上”互换，成立吗?试说明=”与结论“点D在BAC理由.知识点3 角平分线的性质在生活中的应用1.如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．3. 如图，直线123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到4. 三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处3.如图，两条公路OA 和OB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有两个工厂C ，D ，现要在AOB ∠内部修建一个货站P ，使货站P 到两条公路的距离相等，且到两个工厂C ，D 的距离也相等，用尺规作出货站尸的位置.(要求:保留作图痕迹，不写作法)4.如图，三家公司A 、B 、C 准备共建一个污水处理站M ，使得该站到B 、C 两公司的距离相等，且使A 公司到污水处理站M 的管线最短，试确定污水处理站M 的位置．5.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。
7年级数学微专题-----线段与角中的动态问题
七上期末专题线段与角中的动态问题一、专题介绍本专题主要包括线段与角的动态变化问题，主要包括线段上点的动态问题，角的边的动态变化问题，时钟问题等.这类问题的综合较强，涉及到的数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、方程思想.二、例题探究类型一：线段上的动态问题例1.如图1，已知线AB = 24 ，点C 为线段AB 上的一点，点D 、E 分别是AC和BC 的中点．（1）若AC = 8 ，则DE 的长为；（2）若BC =a ，求DE 的长；（3）动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，相向而行，点P 以每秒3 个单位长度沿线段AB 向右匀速运动，Q 点以P 点速度的两倍，沿线段AB 向左匀速运动，设运动时间为t 秒，问当t 为多少秒时P ，Q 之间的距离为6？变式1：如图，数轴上A、B两点分别位于原点两侧（点A在原点左侧，点B在原点右侧），AO=2BO，点A 在数轴上对应的数是-800.动点P、Q 同时从原点出发分别向左、向右运动，速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，同时，动点R 也从点A 出发向右运动，速度为 2 个单位长度/秒.设运动时间为t 秒.（1）填空：①点B 在数轴上对应的数是②点P 在数轴上对应的数是；点Q 在数轴上对应的数是；点R 在数轴上对应的数是（用含t 的代数式表示）.（2）当t 为何值时，动点R 与动点P 之间距离为 200 个单位长度？（3）若点M、N 分别为线段PQ、RP 的中点，当t≤100 秒时，2MN-MB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值.类型二：时钟问题例 2：同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟的问题．（1）九点整时，时针与分针所夹的角是度．（2）1 点20 分，时针与分针所夹的角是度．（3）从1 点15 分到 1 点35 分，时针的分针与时针各转了多大角度？变式 2：在3点和4点之间（包括3点和4点），何时时针和分针成90°？类型三：角的动态问题例 3 如图，已知∠AOB＝120°，OC 是∠AOB 内一条射线．（1）如图①，若OD 平分∠AOB，∠BOC：∠COD＝5：1，求∠AOC 的度数；（2）如图②，如果射线OC 从射线OA 的位置开始以每秒5°的速度绕点O 顺时针旋转，到与OB 重合时停止旋转，那么当射线OC 旋转多少秒时，图中出现直角？（3）如图③，射线OP、OQ 分别从射线OA、OC 位置开始，同时在∠AOC、∠COB 的内部以每秒1°和每秒 3°的速度绕点O 顺时针旋转，当OP 平分∠AOC 时，∠COP＝∠BOQ，求∠AOC 的度数．变式 3：如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO 、BO 在线段MN 上，∠COD =∠AOB = 90︒．（1）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿顺时针方向旋转到如图2 所示的位置，若∠AOC = 35︒，则∠BOD =；猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系；（2）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转一周，三角板AOB 不动，请问几秒后OD 所在的直线平分∠AOB ？（3）将图1 中的三角板COD 绕着点O 沿逆时针方向按每秒15︒的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5︒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠A ON ．。
小三奥数--线段和角的计数问题
第一讲 线段与角的计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义在直线上任意取出两点之间的部分叫做线段，所取出的两点叫做该线段的端点。
由一点引出两条射线就组成了角。
角有一个顶点，这两条射线都称做角的边，一个角有两条边。
二、线段与角的计数方法仔细观察，寻找规律。
有条理、有次序地计数，才能做到不重复、不遗漏。
1、线段的计数方法：线段总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本线段数） 基本线段就是指内部不含有其他线段的线段。
2、角的计算公式：角总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本角数） 基本角就是指内部不含有其他角的角。
【例题精讲】★例1：数一数，下图中有多少条线段？A B C D E F★例2：下图中有多少条线段？★例3：下图中有几个锐角？★★例4：5个同学打乒乓球，如果每2个人打一盘，一共要打多少盘？★★例5：乘火车从北京到上海，共经过9个火车站（包括北京站和上海站），那么有几种不同的票价（不同的车站之间的票价都互不相同）？有几种不同的火车票？★★★例6：上海开往杭州的列车，除了起点和终点外，还要停靠4个站，问：要准备几种不同的车票？A BCD EFG O AB C D【为了掌握】★1、右图中共有（ ）条线段。
★2、右图中有（ ）条线段。
★3、某班有21名同学，每两人握一次手，一共要握多少次手？★4、右图中有几条线段？★5、放暑假了，三年级（2）班的王老师要求小朋友互相用电话联系，如果每两个小朋友要通一次电话，那么全班24个小朋友一共要通（ ）次电话。
老师也加入进来的话，要通（ ）次电话。
（写出过程）【为了优秀】★★1、右图中有几个角？★★2、图中一共有多少条线段？★★3、右图中有多少条线段？B★★4、数一数图中共有多条线段？【为了竞赛】★★★1、右图中有几条线段？【温馨提示】下节课我们将学习图形计数问题，请作好预习。
例1：下图中有几个三角形？例2：图中分别有几个三角形？BEB E B E。
三角形有关的线段典型例题
三角形有关的线段典型例题1．如图，图中共有多少个三角形？解析：依照三角形的看法，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，要点在于依照某种顺序去找。
解：能够边为序次找：BC 为边的共 4 个，分别是：△△BCF, △BCE; AC 为边的 2 个（其中重复一个）ABC，△BCD，,分别是：△ ACF,△ ACB （与前面重复）；同理可得 AB 为边 1 个，是△ ABD;CD 为边 1 个，为：△ CDE; 以 BF 为边 1 个，为△BEF ；AD 、AF 为边已计。
共8 个。
2．如图，在△ABC 中， AB ＝AC，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 的两部分，求三角形各边的长。
解析：因为中线BD 中的点 D 为 AC 边的中点，所以AD ＝ DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC 边与 AB 、 AC 边的不等，故应分类谈论。
解：如图，设AB ＝ x，则 AD ＝ DC ＝x（1）若 AB ＋AD ＝ 12，即x＝ 12，得 x＝ 8即 AB ＝AC ＝8则 DC ＝4，故 BC ＝ 15－ 4＝ 11此时 AB ＋ AC ＞ BC，可组成三角形；（2）若 AB ＋AD ＝ 15，x＝ 15，∴ x＝ 10即 AB ＝AC ＝ 10，则 DC ＝ 5，故 BC ＝ 12－5＝ 7显然此时可组成三角形综上，三角形的各边长为：8,8,11 或 10,10,73．（1）已知三角形的两边分别为 5cm 和 6cm，求第三边 c 的取值范围及三角形周长的取值范围；（ 2）已知三角形的三边分别为14， 4 x 和 3 x，求 x 的取值范围；（3）已知三角形的三边分别为a， a－1 和 a＋ 1，求 a 的取值范围。
解析：依照三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差＜第三边＜两边之和，所以较简单确定第三边的取值范围解：（ 1）（ 6－ 5） cm＜c＜（ 6＋ 5） cm∴1cm＜ c＜11cm设周长为pcm又因另两边分别为5cm 和 6cm∴[（ 5＋6）＋ 1] cm ＜ p＜[11 ＋（ 5＋ 6） ] cm即 12cm＜ p＜ 22cm（2）依照三角形的三边关系：4x－ 3x＜ 14＜4x＋3x ∴ 2＜x＜ 14（3）∵ a－ 1＜ a＜ a＋ 1又∵三角形的三边长为正∴a－ 1＞ 0即 a＞1又∵ a＋ 1＜ a＋（ a－ 1）∴a＞ 2∴a＞ 24．如图，在小河的同侧有 A ， B ，C 三条农村，图中的线段表示道路，某邮递员从 A 村送信到 B 村，总是走经过 C 村的道路，不走经过 D 村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。
数角、数线段课外练习
数学思维训练练习卷（1）---数图形数学思维训练班姓名:晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。
小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。
”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。
小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。
典型例题例【1】下图中有多少条线段？A B C D E分析我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE 2条；由4条基本线段构成的线段有AE 1条。
另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；以C为左端点的线段有CD、CE 2条；以D为左端点的线段有DE 1条。
解4＋3＋2＋1＝10（条）所以图中有10条线段。
例【2】下面图形中有几个角？O DCBA分析我们把图中的AOB、BOC、COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB、BOC、COD 3个；由2个基本角构成的角有AOC、BOD 2个；由3个基本角构成的角有AOD 1个。
我们也可以从角的两条边出发来数：以OA为一边的角有AOB、AOC、AOD 3个；以OB为一边的角有BOC、BOD 2个；以OC为一边的角有COD 1个。
解3＋2＋1＝6（个）所以图中有6个角。
例【3】下图中共有多少个三角形？AB C D E分析我们把图中ACD ADE看作基本三角形，那么：由1个基本三角形构成的三角形有、ACD、ADE；由2个基本三角形构成的三角形有、ACE；由3个基本三角形构成的三角形有。
解3＋2＋1＝6（个）所以图中有6个三角形。
3 第1课时 线段、直线、射线和角(例题精练)
心得 1.直线、射线和线段都是直的，只有( 线段)可以 量出长度。 2．根据(端点)的个数可以区分直线、线段和射线。 3．为了表述方便，线段、直线、射线可以用字 母表示。
1．填一填。 (1)像手电筒、汽车灯和太阳等射出来的光线，都可以 近似地看成( 射线 )。 (2)通过一点能画( 无数 )条直线，通过两点能画( 一 ) 条直线。 (3)从一点引出两条( 射线 )所组成的图形叫作角。
例题精练
3 角的度量
第1课时 线段、直线、射线和角
例题： 从下面的图形中找出线段、直线、射线和角， 并说说它们各自的特征。
解答： ⑤可以向( 两 )端无限延长，(没有)端点。 ④可以向( 一 )端无限延长，有( 1 )个端点。 ①、⑥有( 2 )个端点，可以量出( 长度 )。 ⑦、⑧有( 1 )个顶点，( 2 )条边。 _____⑤__________是直线；_____④__________是射线； ____①__⑥_________是线段；___②__⑧__________是角。
2．按要求做题。 (1)在下面的射线上画出一个点，使这个点和端点的距 离是 3 厘米。
(2)量出下面 A、B 两点间的距离。
同学们可以实际测量一下。
3．数一数，下图中各有几个角？
( 3 )个角
( 5 )个角
线段、角典型例题
线段、角典型例题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB ，延长线段AB 到C ，使BC=23 AB ，反向延长线段AB至D ，使AD=12AB ，P 为线段CD 的中点，已知BP=15cm ，求线段AB 、CD 的长。
例2、如图，C ，D ，E 将线段AB 分成2:3:4:5四部分，M ，P ，Q ，N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，且MN=21，求线段PQ 的长度．例3、已知线段AB=14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．例4、如图所示，∠AOB=90°, ∠BOC=30°,OE 平分∠AOC ，OD 平分∠BOC,求∠DOE 的度数。
(1)若∠AOB=α，其他条件不变，∠DOE 等于多少？(2)若∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少(3)若∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少？例5、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOC=80°，OE 平分∠BOC ．OF 为OE 的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF 是否为∠AOD 的平分线．例6、如图，由点O 引出六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，且∠AOB=90°，OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD 。
若∠EOF=170°，求∠COD 的度数。
练习：1．下列说法中，错误的是（）A ．经过一点可以作无数条直线B ．经过两点只能作一条直线C ．一条直线只能用一个字母表示D ．线段CD 和线段DC 是同一条线段 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线 B ．延长射线MN 到CC ．延长线段MN 到P 使NP ＝2MND ．连结两点的线段叫做两点间的距离3.平面上的三条直线最多可将平面分成（ ）部分。
新版沪教版六年级数学下册第七章线段与角教案及习题(2020新教材)
第七章线段与角知识归纳一、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
1、线段的表示：可以用表示短点的两个字母A、B表示，记作线段AB或可以用一个小写的英文字母，如a，表示，记作线段a2、线段的特点：1）有线长度，可以测量2）有两个端点3、线段的性质：1) 两点之间线段最短。
2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离,可以记作d 。
3）★直线没有距离。
射线也没有距离。
因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。
而线段不可以延长。
4、线段大小的比较：1）度量法2）叠合法3）观察法★“两点之间线段最短”5、画线段的和、差、倍将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点线段中点的表示：1）观察法2）折叠法3）度量法线段的中点是一个重要的概念，要使学生会用语言描述并掌握以下两点：(1)如图1∵C为AB中点(2)如图1∴C为AB中点．二、角：角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边或可以这样说：角是有一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
角的始边转动到角的终边所经过的平面部分叫做角的内部，简称角内部OBADC OBA1、 角的表示：1）角一般用三个大写英文字母表示，如下图记作∠AOB ，也可以记作∠O如果以点O 为顶点的角有多个，那么其中任何一个角必须用三个大写英文字母表示，而不能简单记作∠O2）也可以在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α（读alpha ）、β（读beta ）、γ（读gamma ）……，或者标上一个数字，如1、2、3……2、角的大小的比较 1）度量法 2）叠合法3、余角、补角（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3） 补角、余角的性质★ 同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等. 4、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角α的取值范围为0900≤≤α 即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”,★ “北偏东45度”为东北方向、“北偏西045度”西北方向、“南偏东045度”为东南方向、“南偏西045度”为西南方向. 5.画角的和、差、倍讲角平分线时既要会用文字表述又要掌握以下两点： (1)如图2∵ OC 平分∠AOB ．(2)如图2∴OC 平分∠AOB典型例题【例1】 如右图所示，是线段的中点，则，．【例2】 如图，已知是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，求线段的长. .【例3】 如图，已知线段AB 上依次有三个点把线段AB 分成2:3:4:5四个部分，，求BD 的长度.【例4】 线段上有两点、，，，，求的长．M A B 1______2A M =2_____2_____A B ==,B C A D M A B NC D ,M N a B C b==A D M D,,C D E 56AB =A B P Q 26A B =14AP =11PQ =B Q【例5】 已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD长.【例6】 如图所示，90AOB COD ∠=∠=︒，160AOD ∠=︒，求BOC ∠度数．【例7】 BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．()190AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； ()2AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；()390AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．()4从前三问的结果你发现了什么规律？（5）若BOC ∠为AOC ∠内的一个锐角呢？【例8】 如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒， 求AOD ∠的小．C【例9】 如图10，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠的度数．课堂练习1 1、如图，,,点B 、O 、D 在同一直线上，则的度数为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、如图，已知AOB 是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF ⊥AB ．则（1）∠AOC 的补角是 ； （2） 是∠AOC 的余角； （3）∠DOC 的余角是 ； （4）∠COF 的补角是 ．ND OABC D 图图13、如图，点A 、O、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数4、如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，求BOD ∠ 的度数．5、如图8，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．7、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB /＝700，则∠B /OG ＝______．8、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD ．EA O图 8A CBEFB '9、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB 与∠DOA 的比是2∶11，求∠BOC 的度数．（2）若叠合所成的∠BOC =n°(0<n<90)，则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少？★10 .角的个数的数法按逆时针、按顺时针一点引出n 条射线共形成)1(21-n n 个角. 如图，在图(a)，在角内引一条射线时，图中共有（1+2）个角； 在图(b)中，在角内引两条射线时，图中共有（1+2+3）个角；在图(c)中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有几个角？(a) (b) (c)★11. 钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为003012360=，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为06530=（1）10：00时，时钟的时针与分针所成的角度是_____.（2）时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，由2点到7点半，时针转过的角度为______.（3）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？（4）分针和秒针每隔多长时间重合一次？课堂练习21、如图，点C 在线段AB 上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。
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基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB,延长线段AB 到C,使BC=3 AB ，反向延长线段 AB 至31D,使AD=2 AB ，P 为线段CD 的中点，已知 BP=15cm 求线段AB 、CD 的长。
数。
⑴ 若/ AOB=a ，其他条件不变，/ DOE 等于多少？ ⑵ 若/ BOC 邛，其他条件不变，/ DOE 等于多少？ ⑶若/ AOB=a ，Z BOC=3，其他条件不变，/ DOE 等于多少?例2、如图，C ，D, E 将线段AB 分成2:345 四部分，M P ，Q, N 分别是AC ，CD ，DE EB 的中点，且MN=21求线段PQ 的长度. ........................例5、如图, 长线•求/AB CD 相交于点 直线 2和/ 3的度数，并说明O,且/ BOC=80 , OE 平分/ BOC OF 为OE 的反向延 OF 是否为/ AOD 勺平分线.例3、已知线段 AB=14cm 在直线AB 上有一点C,且BC=4cn, M 是线段AC 的中点，求线 段AM 的长. 例6、如图， / BOC OE 平分/ AOD 若/ EOF=170，求/ COD 的度数。
由点O 引出六条射线 OA OB OC OD OE OF,且/ AOB=90 , OF 平分例4、如图所示，/ AOB=90 , / BOC=30 , OE 平分/ AOC OD 平分/ BOC 求/ DOE 的度练习： 1.下列说法中，错误的是（8.如上图所示，从 0点岀发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是A. 10 个 B . 9 个 C9.下图中，能用2 AOB 2 Q.8个D . 4个21 三种方法表示同一个角的图形是（Ao.18A.经过一点可以作无数条直线C.—条直线只能用一个字母表示2.下列说法中，正确的是（）A .射线AB和射线BA是同一条射线C.延长线段 MN到P使NP= 2MN3.平面上的三条直线最多可将平面分成（B .经过两点只能作一条直线D .线段CD和线段DC是同一条线段10.已知/ 1=17°.延长射线MN到C.连结两点的线段叫做两点间的距离）部分。
A . 3 B . 6 C . 7 DA . / 1=2211 .如右图，从地有2条水路、4.如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a BC=b, 则线段AD的长是（）A. 2（a-b）B. 2a-bC. a+bD. a-b5.如果点P在AB上，下列表达式中不能表示P是AB中点的是（1A . AP=1 AB B . AB=2BPC . AP=BPD . AP+BP= AB6.下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是-*----- *—A BA17.点P在线段EF 上,其中能表示点P是2B现有四个等式:EF中点的有（)⑵PE=PF;C2.2个D . 1个18',2 2=17B . 21=23A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从2条陆路，从B地达到C地有3条陆路可供选择，走空中从（种2 3=17 . 3°，下列说法正确的是（2 2=23 D .没有相等的角A地到BA地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有A . 20 种B . 8 种C . 5 种D . 1312. 一个人从A点岀发向北偏东60°再从B点岀发向南偏西15 °方向走到A 、75 °13.往返于A、14.（1）如图（2）如图（A C、105°的方向走到B点,C点，那么/ ABC的度数是（）、45 °D 、135 °B两地的客车，中途停靠五个站，则共有_种票价，要准备 ________ 种车票。
（1）的射线上，O为端点，A、B、C为任意三点，则图中有__________ 条射线.2）直线m上有4个点A、B、C、D,则图中共有_________ 条射线.15.已知平面内三个点 A、B C,过其中每两个点画直线，可以画_________________ 几条。
16.如图，AB= 40,点C为AB的中点，点 D为CB上的一点，点 E是BD的中点，且 EB= 5,则CD的长为j___________ i J___jC I> K H17.已知点B在直线AC上，线段AB=8cm AC=18cm p、Q分别是线段 AB、AC的中点，则线段PQ=__________________ .18. 一跳蚤在一直线上从 0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单 位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳 第100次落下时，落点处离 0点的距离是 _______ 个单位.19. _________________________________________________ 已知/ A0B=3/ BOC 若/ BGC=30° ,则/ AOC 等于 ____________________________________ ;已知/ AOB= 60°,/ AOC =50°，/ BOC= ____________ .20. 已知过m 边形的一个顶点有 7条对角线，q 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线， 则（m-p ） q的值为 ________21. 如图，OC 平分/ AOD OE 平分/ BOC 如果/ AOB=135，/ DOE=12，求/ COE 度224、如图已知点 C 为AB 上一点，AC= 12cm, CB = 3 AC ，D E 分别为 AC AB 的中点.求3第20题图点A 发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设时间为（1）写岀数轴上点 B 表示的数 __________ ，点P 表示的数 _______________ （用含t 的代数式 表示）；（2）动点Q 从点B 岀发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、Q同时岀发，问点 P 运动多少秒时追上点Q?23、如图，已知/ COD/ AOB=9)°, OE 为/ BOD 的平分线，/ BOE=17 18 求/ AOC 的度数DE 的长A DEC B22、如图，已知/ COD/ AOB=9）°。
（1）/ AOC 与/ BOD 是什么关系？ ⑵ 若/ BOC=152 ,求/ AOD 的度数附加题：1、如图，已知数轴上点A 表示的数为8,B 是数轴上一点，且 AB=14.动点P 从t (t>0 )I-n⑶ 若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段 MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画岀图形，并求岀线段MN的长；⑷若点D是数轴上一点，点D表示的数是X,请你探索式子|x+6|+|x-8| 是否有最小值? 如果有，直接写岀最小值；如果没有，请说明理由。
由题意得，MN=MC+CD+DE+EN=x+3x+4x+2.5x 即10.5x=21，所以x=2，线段PQ的长度=0.5CD+0.5DE=3.5x=7 .故答案为：7.例2、【分析】（1）因为图中的射线只能向右无限延伸，且射线上有3个点（不包括射线的端点），所以一共有4条射线；（2）因为图中的直线是向两方无限延伸的，且直线 m上有4个点，所以可把各点分别看成向右边无限延伸的射线的端点时数岀4条射线；再把各点看成是向左边无限延伸的射线的端时也可数岀4条射线，即直线 m上共有8条射线.【答案】（1） 4 （2） 8.【点评】当一条射线上有 n个点（包括射线本身的端点）时，共有n条射线，当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.例3、【分析】题目中只说明了 A、B、C三点在同一直线上，无法判定点 C在线段AB 上，还是在线段 AB外（也就是在线段 AB的延长线上）•所以要分两种情况求线段 AM的长.【解】①当点C在线段AB上时，如下图.参考答案：例题、例1、【解析】题目涉及的情况有两种，如图所示:1因为M是线段AC的中点，所以 AM—AC.2又因为 AC— AB— BC, AB— 14cm, BC- 4cm.1所以 AM=—（AB— BC）（14— 4） =5 （cm）.2点C在线段AB的延长线上时，如下图所示.【答案】12厘米或2厘米.例2、设AC=2x 贝U CD=3x DE=4x, EB=5x, 于是有MC=x EN=2.5x，1因为M是线段 AC的中点，所以 AM」AC.又因为 AC=AB+BC AB=14cm BC- 4cm,所21以 AM— (AB+BC =9 (cm).2所以线段AM的长为5cm或9cm.【点评】“在直线AB上有一点C”解题很重要•我们一定分清楚其分类.1 1例5、【解】因为/ BOC=80 , OE平分/ BOC所以/ 1 = 一 / BOC」X 80° =402 2又因为CD是直线，所以/ 2+Z BOC=180 .所以/ 2=180 ° - 80° =100°.同理/ 2+Z AOD=180，/ 1 + Z 2+Z 3=180°.所以/ AOD=80 , Z 3=40 °.1所以Z 3=Z _AOD所以OF是Z AOD的平分线.2【点评】解答本题必须理解角的平分线的下列含义：角平分线满足如下两个条件：①是从角的顶点引岀的射线，即角平分线与该角共顶点，且在角的内部；②把已知角分成两个角，且这两个角相等.【解】••• AB= 40,点C为AB的中点，1 1--CB= AB= X 40 = 20.2 2•••点E为BD的中点，EB= 5，二 BD= 2EB= 10.— CD= CB— BD= 20 — 10= 10.【点评】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开.3、【解析】本题没有给岀图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画岀的图形解题.AC AB【答案】当点 C在点A左侧时，AP= -AC =9，AQ=^B =4，2 2••• PQ=AQ+AP=9+4=13.cmAB 1当点 C在点 B右侧时，AP=——=4cm, BC=AC-AB=10cm AQ—，AC=9,2 2• PQ=AQAP=9-4=5cm .故答案为 13cm 或 5cm.【小结】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性•在今后解决类似的问题时，要防止漏解.练习：1、【解析】①.应为每一段往返时票价相同，所以有多少条线段就是有多少种票价.②车票数是以这 5个点分别为一个端点的线段数. 附加题：解：(1)点B表示的数是-6，点P表示的数是8-5t【答案丨①4+3+2+1=10 ;(2)设点P运动x秒时，在C处追上点Q (如图)②10 -」一工.则 AC=5x, BC=3x,••• AC -BC=AB••• 5x -3x=14，解得 x=7(3) 没有变化，分两种情况： ①当P 在点A 、B 之间运动时:②当P 点运动到点 B 的左侧时：111 1MN=MP-NP=AP- - BP=— (AP-BP)= - AB=72 2 2 2综上所述，线段 AB 的长度不发生变化，其值为 7.(4)式子 |x+6|+|x-8|=|x- (-6) |+|x-8| 有最小值，最小值为 14BI 显 A■ • ■ £p y 2X!0MN=MP+Np=AP+2BP =2(AP +BP )=12 AB=7。