概率论期末复习知识点

本章重点：随机事件的概率计算.

**事件的关系及运算

A).

对立事件：A .

差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作A B（或AB）.

德g摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有

古典概型:

几何概率占八、、

第一章随机事件与概率

和事件:

n L A n (简记为yA).

积事件：AB A A2 L

I A

A n (简记为AAL A n或i 1 ).

互不相容:若事件A和B不能同时发生，即AB

2 . ** 古典概率的定义

B A B, A B A B.

P(A) A 中所含样本点的个数

中所含样本点的个数

n A

P(A)

A的长度（或面积、体积）

样本空间的的长度（或面积、体积）

**概率的性质

有限可加性）设n 个事件A'A'L ,几两两互不相容，则有

P(A) 1 P(A).

若事件A , B 满足A B ，则有

P(A) 1.

加法公式）对于任意两个事件A , B ,有

对于任意n 个事件A I ,A 2,L ,人，有

P(AA j A k ) L ( 1)n 9(A 1L A n )

j k n

4 . **条件概率与乘法公式

P(AIB) Pt .

乘法公式:

5. *随机事件的相互独立性

P(A B)

P(A) P(B) P (AB).

P(AB) P(A)P(B I A) P(B)P(A|B).

(1) P( ) 0.

P(A i A L

A n )

P(A i )

i 1

P(B A)

P(B) P(A),

P(A) P(B).

P(A)

P (AA j )

i 1

1 i j n

事件A与B相互独立的充分必要条件一:

P(AB) P(A)P(B),

事件A与B相互独立的充分必要条件二:

P(A|B) P(A).

对于任意n个事件A'^'L 'A n相互独立性定义如下：对任意一个k 2,L ,n，任意的1i1 L i k n，若事件A1'A2'L 'A n总满足

P(A i L A k) P(A i)L P(A k),

则称事件A1'A2'L 'A n相互独立.这里实际上包含了2n

6.*贝努里概型与二项概率

立试验中.，事件A恰发生k次的概率为n 1个等式.

设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A) p(0 P 1)，则在n次重复独

n(k) k

P k(1 P)n k,k 0,1,L ,n

7 . **全概率公式与贝叶斯公式

贝叶斯公式:

如果事件A1,A2,L 'A n两两互不相容, n

且U A ，P(A) 0，i 1,2,L , n，则

P(A k | B) P(A

)P (B|

A k)

n ,k 1,2,L ,n P(A i) P(B|A)

i 1

第二章一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算

(4 )** 泊松分布P()，它的概率函数为

P(X i) —e

．4．*二维离散型随机变量及联合概率

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布. 1 . **离散型随机变量及其分布律分布律也可用下列表格形式表示

2. *概率函数的性质 (1)

P i

, i 1,2,L ,n,L ;

⑵ i 1 pi 1

3. *常用离散型随机变量的分布

(1)

0— 1 分布 B(1,

P), 它的概率函数为 P(X i) P i (1 p)1i

其中，i 0 或 1, 0 P 1 .

二项分布B(n,p), 它的概率函数为

n i n i

P(X i) . p i (1 p)ni

其中，i 0,1,2,L ,n , 0 p

其中，i 0,1,2,L ,n,L ，0.

二维离散型随机变量(X,Y)的分布可用下列联合概率函数来表示：

0, i,j 1,2,L , i j P ij 1

其中，P ij

5 ．* 二维离散型随机变量的边缘概率

设(X,Y)为二维离散型随机变量，

ij 为其联合概率( i, j 1,2,L )，称概率P(X a i)(i 1,2,L )为随机变量X的边缘分布律，记为P ig并有

P i. P(X a i) P ij,i 1,2,L

称概率P(丫b j)(j 1,2，L )为随机变量Y的边缘分布率，记为P.j，并有

P(Y b j) P ij, j 1,2,L

j=i

6．随机变量的相互独立性

设(X ,丫)为二维离散型随机变量，X与丫相互独立的充分必要条件为多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有

与二维相应的结论．

7．*随机变量函数的分布

设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，丫 g(x)是随机变量X的函数,

它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量丫的分布.

设离散型随机变量X 的概率函数为

但要注意，若g(a i )的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率P i 相加.

第三章连续型随机变量及其分布

本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算，边缘分布和独立性计算. 1 . *分布函数

随机变量的分布可以用其分布函数来表示,

F(x) P(X x)

2 .分布函数F(x)的性质

⑵ l imF(x)

°，

lim F(x)1

X 的分布函数F(x)，可算得X 落在任意区间(a’b］内的概率

P(a X b) F(b) F(a)

3 .联合分布函数

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数

F(x,y) P(X x,Y x)

(1)

0 F(x)

1；

由已知随机变量则随机变量函数

4．联合分布函数的性质

(1)0 F(x,y) 1

；

lim F(x,y) 0, lim F(x,y) 0

(2)x y

l x im F (x, y)0, lim F(x,y)

(3)P(x1 X x2,y1 Y y2) F(x2,y2) F(x2,y1) F(x1,y2) F(x1,y1)

5. ** 连续型随机变量及其概率密度

设随机变量X 的分布函数为 F ( x) ，如果存在一个非负函数 f (x) ，使得对于任

实数x ，有

成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度.

6. **概率密度f(x)及连续型随机变量的性质

(1) f(x) 0；

(2) f(x)dx 1

；

(3) F (x) f(x)；

4)设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P(X c) 0；

(5) 设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有

a f(x)dx

7.** 常用的连续型随机变量的分布

(1) 均匀分布R （a ,b ），它的概率密度为

0 .

其中,

指数分布E （），它的概率密度为

其中,

正态分布N （

)

，

它的概率密度为

f(x)

其中, 0, 1时，称 N （0,1）为标准正态分布，它的概率

密

度为 f(x) 标准正态分布的分布函数记作 (x)， (x

)

当出x 0时, （x ）可查表得到;

x 0时，（X ）可由下面性质得到

x) 1

(x).

设 X ~N(

）

，则有

F(x)

P(a X

（旦

8. **二维连续型随机变量及联合概率密度

对于二维随机变量(X ,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在一个二元非负函数 f(x,y),

使得对于任意一对实数(x, y )有

(X'Y)为二维连续型随机变量， f

(x, y)为二维连续型随机变量的联合概率密度.

**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质

f(x,y)dxdy 1.,

在f(x, y)的连续点处有

设

f(x,y )

为二维连续型随机变量的联合概率密度，则

X 的边缘概率密度为

丫的边缘概率密度为

11 .常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布

成立，则

(1)

f (x, y) 0,

F(X , y) x y

f(x,y)

设(X,Y)为二维连续型随机变量, 则对平面上任一区域

P((X,Y) D)

f (x, y) dxdy

0, **二维连续型随机变量(X ,Y)的边缘概率密度

f x (x)

f(x,y)dy .

f Y (y)

f (x,y)dx

如果（X,Y ）的联合概率密度

（X,Y ）服从二维正态分布，并记为

(X,Y)~ N(

布的边缘分布还是正态分布.

12 . **随机变量的相互独立性

那么，称随机变量X 与丫相互独立.

设（X,Y ）为二维连续型随机变量，则 X 与丫相互独立的充分必要条件为

第四章随机变量的数字特征

本章重点：随机变量的期望。方差的计算 1. **数学期望

设X 是离散型的随机变量，其概率函数为则定义X 的数学期望为

如果（X ，丫）在二维平面上某个区

域

G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为

（2）二维正态分布N （

2, 1 ,

f(x,y) ------- \

2 1 2J 1 1 = exp ------ n- 2 2(1 2

)

(x 1)2

1 (X

)(y

) (x

2 1

则称

如果（X,Y ）~N （

2 2

2, 1 , 2,

)，则 X ~N(

)，

Y~ N( 2 2

）

，即二维正态分

F(x,y) F x (x)F Y (y),对一切

x,y

如果（X"）~N （

2 2

2, 1 , 2,

）

.那么，X 与丫相互独立的充分必要条件是

4．

2．*随机变量函数的数学期望

设 X 为离散型随机变量，其概率函数则X 的函数g(X)的数学期望为

设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，其联合概率函数则(X'Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(X,Y)]

g(a i ,b j )p ij

E(kX b) kE(X) b ( k,b 为常数)；

如果 X 与相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y).

** 方差与标准差

随机变量 X 的方差定义为 E(X)

a i p i

设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则定义X 的数学期望为

E(X)

xf ( x)dx

(3) E(X Y) E(X) E(Y)；

3． ** 数学期望的性质 (1)

E(c) c ( 其中 c 为常数 ) ； (2)

(4)

D(X) E[X E(X)]2．计算方差常用下列公式：

4．

D(X) E(X 2) [E(X)]2 '

当X 为离散型随机变量，其概率函数为则X 的方差为

D(X) (x E(x))2

f(x)dx

随机变量X 的标准差定义为方差D(X)的算术平方根 eW.

D(kX) k 2D(X) ( k 为常数)；

如果X 与丫独立，则D(X Y) D(X) D(Y).

原点矩与中心矩

随机变量X 的k 阶原点矩定义为E(X k

)；随机变量X 的k 阶中心矩定义为E[(X E(X))k

]]； 7 . **常用分布的数字特征 (1)当X 服从二项分布B(n,p)时,

E(X) np, D(X) np(1 p).

(2)当X 服从泊松分布p()时,

D(X) 佝

E(X))2

P i

当X 为连续型随机变量，其概率密度为

f(x)，则X 的方差为

5. **方差的性质 (1)

D(c) 0 (c 是常数);

E(X) , D(X)

(3)当X 服从区间(a,b) 上均匀分布

时，

(4)当X 服从参数为的指数分布时，

(5)2

当X 服从正态分布N( , ) 时

E(X) ,D(X)

(6) 当(X,Y) 服从二维正态分布N( 2

1, 2, 1

E(X) 2

1, D(X) 12

E(Y) 2, D(Y) 22