北师大版数学高二-《学案导学》选修2-3练习2.2超几何分布
高中数学 北师大选修2-3 2.2超几何分布
X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
那么变量
X
的分布列应为： P(X
k)
C5K
C5k 5
C150
⑴某人获得精美小礼品的概率是：
P(X 2) 1 P(x 2) 113 126
⑵他能获得一套丛书的概率是：
P( X
5)
C55C50 C1501Fra bibliotek25213
【范例讲解】
例 4.一袋子中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜
P( X
数，那么：
k)
C C k nk M NM CNn
，其中 k 为非负整数。
如果随机变量 X 的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N, M , n 的超几何分布。
9
【新课讲解】
超几何分布
2.超几何分布的分布列：
X
0
1
k
P
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。 则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知： X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
12
【范例讲解】
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。
则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知：
1
【复习】
离散型随机变量
离散型随机变量的定义：如果对于随机变量的所有取值可 以一一列出的的随机变量称之为“离散型随机变量”。 判断一个随机变量是否是离散型随机变量，主要看变量的 取值能否按一定的顺序逐一列举出来。
2
【复习】
离散型随机变量的分布列
高中高中数学北师大版选修2-3练习课件2.2 超几何分布精选ppt课件
答案：59
知识点二
超几何分布的分布列
5. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取
出2个球，设其中有X个白球，求X的分布列．
解：X 的可能取值为 0,1,2. P(X＝0)＝CC2325＝130＝0.3， P(X＝1)＝CC12·C52 13＝160＝0.6， P(X＝2)＝CC2225＝110＝0.1.
选修2-3 §2 超几何分布
课时作业40 超几何分布
[目标导航] 1． 通过实例，理解超几何分布及其导出过 程． 2． 运用超几何分布解决一些简单的问题．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
超几何分布问题
1． 一个小组有 6 人，任选 2 名代表，其中甲当选的
概率是( )
A．12
则正好取到 1 件次品的概率是( )
A．2485
B．1465
C．4115
D．1475
解析：由题意 10 件产品中有 2 件次品，故所求概率为
P＝B
4． 从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡 片中任取2张，则所取卡片上数字之和是奇数的概 率是________．
故 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
课后提升训练
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再见
B．13
C．14 解析：P＝CC1526＝13.
答案：B
D．15
2． 盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则
取出 1 个白球和 2 个红球的概率是( )
2.2超几何分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§2 超几何分布●三维目标1．知识与技能(1)理解超几何分布及其推导过程．(2)能用超几何分布解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：利用超几何分布求概率．难点：超几何分布的综合应用．教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点.(教师用书独具)●教学建议教学时通过例题让学生归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布．⇒通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布的分布列的求法⇒通过例2及变式训练掌握利用超几何模型．求相应事件的概率．⇒通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列．【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为。
高中数学 2.2 超几何分布(二)教案 北师大选修2-3
2.2超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子 例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列 课堂练习： 课后作业：。
高中数学北师大版高二选修2-3同步导学案：2.2_超几何分布)
§2 超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．( )(2)在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M.( )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( )(4)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同值m 时的概率P(X ＝m)．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( ) A.C 380C 610C 10100 B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100【解析】 设X 表示任取10个球中红球的个数，则X 服从参数为N ＝100，M ＝80，n ＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X ＝6，P(X ＝6)＝C 680C 420C 10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X 表示任选4个球中红球的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( ) A ．N ＝9，M ＝4，n ＝4 B ．N ＝9，M ＝5，n ＝5 C ．N ＝13，M ＝4，n ＝4D ．N ＝14，M ＝5，n ＝5(2)若用随机变量Y 表示任选3个球中红球的个数，则Y 的可能取值为________． (3)若用随机变量Z 表示任选5个球中白球的个数，则P(Z ＝2)＝________.【精彩点拨】 着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式． 【自主解答】 (1)根据超几何分布的定义知，N ＝9，M ＝4，n ＝4. (2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2,3. (3)由古典概型概率计算公式知，P(Z ＝2)＝C 22C 37C 59＝518.【答案】 (1)A (2)0,1,2, 3 (3)518对于超几何分布要注意以下两点： 1超几何分布是不放回抽样； 2公式PX ＝k ＝C kM ·C n －kN －MC nN中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n ＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】9 5 4袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】先写出X所有可能的取值，求出每一个X所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】X＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球， P(X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P(X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P(X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P(X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－28＝28.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X ＝k)＝C k M C n －kN －MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列． 【解】 设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P(ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P(ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为探究1 袋中有4分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图221所示：图221(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列． 【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P(X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P(X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X ＝2)＝C 210C 110C 320＝1538；P(X ＝3)＝C 310C 010C 320＝219.所以X 的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5， 且P(ξ＝1)＝C 11C 15＝15，P(ξ＝2)＝C 14C 11C 15C 14＝15，P(ξ＝3)＝C 14C 13C 11C 15C 14C 13＝15，P(ξ＝4)＝C 14C 13C 12C 11C 15C 14C 13C 12＝15，P(ξ＝5)＝C 14C 13C 12C 11C 11C 15C 14C 13C 12C 11＝15.因此ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P1515151515由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝5＋5＋5＝5.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021D.1721【解析】 根据题意知，该问题为古典概型，∴P ＝C 14C 25C 39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P(X ＝3)＝( ) 【导学号：62690031】A.421B.921C.621D.521【解析】 P(X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X ＝1)＝________.【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35. 【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X ＝k)＝C k 5C 4－k10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P(X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布， 所以P(X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P(X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P(X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )A.C34C248 C552B.C348C24 C552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】 从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的结果数是C 34C 248＋C 44C 148，故所求概率为C 34C 248＋C 44C 148C 552. 【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P(X≤1)等于( )A.C 122C 14＋C 222C 226 B.C 112C 14＋C 24C 226 C.C 110C 14＋C 222C 226D.C 110C 14＋C 24C 226【解析】 由已知得，X 的可能取值为0,1,2. P(X ＝0)＝C 222C 226；P(X ＝1)＝C 122C 14C 226；P(X ＝2)＝C 24C 226，∴P(X≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226. 【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有两只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ＝3)C ．P(ξ≤2)D ．P(ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C ξ5·C 6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C 35C 37，故P(ξ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P(X ＝k)＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P(X>0)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P(A)＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145. 【答案】281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P(X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－135＝3435.【答案】3435三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列． 【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P(X ＝3)＝C 38C 310＝715，P(X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为10.老师要从10篇课文中随机抽2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P(X ＝k)＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)．P(X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P(X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P(X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P(X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝2＋6＝3.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B. 【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P(X ＝k)＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×7－m 6－m 21＋m7－m 21＝57. ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】 设摸出标有数字1的球的个数为X ，则所求的概率为： 1－P(X ＝2)－P(X ＝3)＝1－C 25C 35C 510－C 35C 25C 510＝1－5063＝1363.【答案】13634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P(ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为。
北师大版数学【选修2-3】练习：2.2 超几何分布(含答案)
第二章 §2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[答案] D[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710故选D. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.C 116C 24C 320 B.C 216C 24C 320C.C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[答案] D[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A.15B.35 C.310 D.110[答案] B[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案] 0.7[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是________． [答案] 0.001 8[解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8. 三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．N ＝20，M ＝4，n ＝3.利用P (ξ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N求出概率值，则分布列可得．[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320.∴ξ的分布列为[点评] P (ξ＝m )＝C m M C n －mN －M C n N的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8[答案] B[解析] 设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[答案] B[解析] 由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)[答案] C[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415 D ．1[答案] C[解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率 [答案] B[解析] A 中“恰有1个是坏的概率”为P 1＝C 13C 37C 410＝105210＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为P 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为P 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为P 4＝P 1＋P 2＋P 3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案] 37[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245. 即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析] (1)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2.所以X 的分布列为(2)P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解析] (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为[点评] 值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y ＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3) 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.。
2016-2017学年高二数学北师大版选修2-3学案：2.2 超几何分布 Word版含解析
§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C 680C420C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.【精彩点拨】着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式．【自主解答】(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z＝2)＝C22C37C59＝518.【答案】(1)A(2)0,1,2,3(3)5 18对于超几何分布要注意以下两点：(1)超几何分布是不放回抽样；(2)公式P(X＝k)＝C k M·C n－kN－MC n N中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】95 43个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－528＝2328.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．【解】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为探究12分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．【提示】从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图2-2-1所示：图2-2-1(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列．【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X＝2)＝C210C110C320＝1538；P(X＝3)＝C310C010C320＝219.所以X的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝C 11 C15＝15，P(ξ＝2)＝C14C11C15C14＝15，P(ξ＝3)＝C14C13C11C15C14C13＝15，P(ξ＝4)＝C14C13C12C11C15C14C13C12＝15，P(ξ＝5)＝C14C13C12C11C11C15C14C13C12C11＝1 5.因此ξ的分布列为由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742 B.1742C.1021 D.1721【解析】根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝C14C25C39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝() 【导学号：62690031】A.421 B.921C.621 D.521【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.【解析】X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝C 13C12 C25＝3 5.【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P (X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P (X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P (X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C34C248 C552B.C348C24 C552C．1－C148C44 C552D.C34C248＋C44C148C552【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的结果数是C34C248＋C44C148，故所求概率为C34C248＋C44C148C552.【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P(X≤1)等于()A.C122C14＋C222C226 B.C112C14＋C24C226C.C110C14＋C222C226 D.C110C14＋C24C226【解析】由已知得，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C222C226；P(X＝1)＝C122C14C226；P(X＝2)＝C24C226，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C122C14＋C222C226.【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A．恰有1只是坏的的概率B．恰有两只是好的的概率C．4只全是好的的概率D．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为P＝C23C27C410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C35C37C612的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)【解析】6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为Cξ5·C6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C35C37，故P(ξ＝3)＝C 35C37C612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】 472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】 281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】34 35三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为10.老师要从10规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝C k6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为() 【导学号：62690033】A．2 B．3C．4 D．5【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝C k m C2－k7－mC27(k＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C0m C27－mC27＋C1m C17－mC27＝1 2×(7－m)(6－m)21＋m(7－m)21＝57.∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】设摸出标有数字1的球的个数为X，则所求的概率为：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－C25C35C510－C35C25C510＝1－5063＝1363.【答案】13 634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．【解】(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36 C39＝5 21，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ的分布列为。
高中数学选修2-3学案：2 1 2第2课时两点分布与超几何分布
第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列第2课时 两点分布与超几何分布[学习目标] 1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用（重点）；2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题（重点、难点）．课前⋅自主学习 研读提炼⋅思考尝试【知识提炼⋅梳理】 1. 两个特殊分布（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：则称离散型随机变量X 服从 两点分布 ，称(1)p P X ==为 成功概率 ．（2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()k n kM N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为 超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 超几何分布 .温馨提示：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. 【思考尝试⋅夯基】1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量X 只取两个值的分布是两点分布. （ ）（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.（ ） （3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布. （ ）[解析] （1）错，只有随机变量取0或1的分布才是二项分布. （2）对，根据两点分布的概念知，该说法正确.超几何分布.[答案] （1）×（2）√（3）√2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）A .150B .125C .1825D .14 950 [解析]依题意2421001825C P C ==.[答案] C3．若随机变量X 服从两点分布，且(0)0.8P X ==，(1)0.2P X ==.令32Y X =-，则(2)P Y =-= （ ）A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1 [解析]因为32Y X =-，所以1(2)3X Y =+，当2Y =-时，0X =，所以(2)P Y =-= (0)0.8P X ==.[答案] A4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则(1)P X == ( )[解析]设失败率为p ，则成功率为2p ， 由p ＋2p ＝1，得p ＝13，所以223p =.[答案]235．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )[解析] 出现次品的概率为245250454447115049245C P C ⨯=-=-=⨯. [答案]47245课堂⋅师生互动 典例解惑⋅探究突破类型1 两点分布（自主研析）【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X=⎩⎪⎨⎪⎧0 (两球全红)，1 (两球非全红)，求X 的分布列．[自主解答]因为X 服从两点分布，所以则24291(0)6C P X C ===，15(1)166P X ==-=.所以X 的分布列为【归纳升华】（1点分布，如随机变量ξ的分布列如下表它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)1(3)Y ξξ=⎧=⎨=⎩，则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎪⎨⎪⎧1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4. 显然η只取0，1两个值． 且31(1)62P η===，故η的分布列为类型2 超几何分布【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．[解] （1）设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则364310()(0,1,2,3)r r C C P X r r C -===． 所以03643101(0)30C C P X C ===，12643103(1)30C C P X C ===， 21643101(2)2C C P X C ===，30643101(3)6C C P X C ===.所以X 的概率分布为【可直接运用相关公式或结论求解．（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． [变式训练] 设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解] ξ的可能取值为0，1，2，3.这有0537510211(0)25212C C P C ξ====， 14375101055(1)25212C C P C ξ====，23375101055(2)25212C C P C ξ====，3237510211(3)25212C C P C ξ====.所以ξ的分布列为类型3 分布列的实际应用【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列．[解]（1）方法一 0246210121133C C P C =-=-=. 方法二 11204646210302453C C C C P C +===. 即该顾客中奖的概率为23. （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ===；11362102(10)5C C P X C ===； 232101(20)15C P X C ===；11162102(50)15C C P X C ===；11132101(60)15C C P X C ===.故X 的分布列为【归纳升华】此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．[变式训练] 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．[解] 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则2ξ=，6，10.2821028(2)45C P C ξ===，118221016(6)45C C P C ξ===，222101(10)45C P C ξ===. 故ξ的分布列为[课堂小结]1. 两点分布的几个特点：（1）两点分布的变量X 只取0和1；（2）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（3）由对立事件概率的求法可知，已知(0)P X =与(1)P X =中的一个即可求出另一个.2．解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；（2）超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =，从而求出X 的分布列.课后⋅演练提升A 级 基础巩固 一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为 （ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5[解析] 可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7. [答案]B2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X =⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X [解析]选项A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布. [答案]A3．设随机变量ξ的概率分布为()1cP k k ξ==+，0k =、1、2、3，则c = （ ） A ．1425 B ．1325 C ．1225 D ．1125 [解析]依题意1234c c c c +++=，所以1225c =.[答案]C4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ）A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品[解析]设取到一等品的件数是ξ，则0ξ=，1，2，(0)P ξ==023225110C C C =，(1)P ξ== 113225610C C C =，(2)P ξ==203225310C C C =，因为7(0)(1)10P P ξξ=+==，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”． [答案] D5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C ⋅的是 ( ) A ．(2)P ξ= B ．(2)P ξ≤ C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤[解析]因为28781015(2)C C P C ξ==，(2)(0)(1)(2)P P P P ξξξξ≠==+=+=≠28781015C C C ， 46781015(4)C CP C ξ==，(4)(2)(3)(4)(4)P P P P P ξξξξξ≤==+=+=>=，所以选项C正确. [答案]C二、填空题6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则(1)P X ==________.[解析]设不命中的概率为p ，则命中的概率为3p ，有31p p +=，即14p =.(1)P X =是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率． [答案]347．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为[解析] 0232251(0)10C C P C ξ===，322563(1)105C C P C ξ====，2032253(2)10C C P C ξ===. [答案]110 35 3108．已知离散型随机变量X 的分布列()15kP X k ==，1k =、2、3、4、5，令22Y X =-，则(0)P Y >=________.[解析]由已知Y 取值为0、2、4、6、8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.[答案]1415三、解答题9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解] （1）因为摸出红球的概率为14174(1)7C P X C ===，所以X 的分布列为（2）因为23271(0)7C P X C ===，所以X 的分布列为10. 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？[解]以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即(1)P X ≤0514248248555050243245C C C C C C =+=. 答：该批产品被接收的概率是243245． B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[解析]设10件产品中有x 件次品，则1110210(10)16(1)4545x xC C x x P C ξ--====，解得2x = 或8.因为次品率不超过40%，所以2x =，所以次品率为220%10=. [答案]B2. 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[解析]将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中50N =，15M =，2n =.依题意所求概率为1211550152503(1)7C C P X C --===.[答案]3 73．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布．[解]（1）记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则311152223102()3C C C CP AC==.（2）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，211222223101(2)30C C C CPCξ+===，211242423102(3)15C C C CPCξ+===，211262623103(4)10C C C CPCξ+===，211282823108(5)15C C C CPCξ+===.所以随机变量ξ的分布列为：。
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§2 超几何分布
一、基础过关
1． 在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )
A.1
50 B.125 C.1
825
D.14 950
2． 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )
A.C 34C 2
48C 552
B.C 348C 2
4C 552
C ．1－C 148C 44
C 552
D.C 34C 248＋C 44C 148C 5
52
3． 一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白
球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 2
22
C 226
的是
( )
A ．P (0<X ≤2)
B ．P (X ≤1)
C ．P (X ＝1)
D ．P (X ＝2)
4． 在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为
( )
A.1
5
B.16
C.1
15
D.13
5． 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以7
10
为概率的事件是
( )
A ．都不是一等品
B ．恰有一件一等品
C ．至少有一件一等品
D ．至多有一件一等品
6． 在含有5件次品的20件产品中，任取4件，则取到的次品数X 的分布列为P (X ＝r )＝
________. 二、能力提升
7． 从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的
次数，则P (X ＝3)等于
( )
A.3
10
B.7
10
C.21
40 D.740
8． 有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级
品不多于1台的概率为______________________________________．(用式子表示) 9． 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某
同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．
10．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1
分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．
11．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数
字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率． 三、探究与拓展
12．为振兴旅游业，某省2011年面向国内发行了总量为2 000万张的优惠卡，其中向省外
人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有1
3持金卡，在
省内游客中有2
3
持银卡．
(1)在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率； (2)在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列．
答案
1．C 2.D 3.B 4.A 5.D
6.C r 5C 4－
r 15
C 420(r ＝0,1,2,3,4) 7．
D 8.C 13C 397＋C 497
C 4100
9． 解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，
则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k
4
C 310(k ＝0,1,2,3)．
P (X ＝0)＝C 06C 34
C 310＝130，
P (X ＝1)＝C 16C 24
C 310＝310，
P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝1
2，
P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝1
6
.
所以X 的分布列为
(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝2
3.
10．解 由题意得X 取3,4,5,6，
且P (X ＝3)＝C 35C 04
C 39＝542，
P (X ＝4)＝C 25C 14C 39＝10
21，
P (X ＝5)＝C 15C 24
C 39＝514
，
P (X ＝6)＝C 34
C 39＝121，
所以X 的分布列为
11.解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12
C 310
＝23.
(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.
P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 2
2C 310＝1
30；
P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝2
15；
P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝3
10；
P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310
＝8
15.
所以随机变量X 的分布列为
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C ， 则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝
215＋310＝1330
. 12．解 (1)由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人
持有银卡．
记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡”， 记事件A 1为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”， 记事件A 2为“采访该团3人中，2人持金卡，1人持银卡”，
则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 19C 16C 121C 3
36＋C 29C 16
C 336＝45238
. 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为45
238.
(2)X 的可能取值为0,1,2,3. 因为P (X ＝0)＝C 318
C 327＝272975
，
P (X ＝1)＝C 19C 218
C 327＝153325，
P (X ＝2)＝C 29C 118
C 327＝72325
，
P (X ＝3)＝C 39
C 327＝28975.
所以X 的分布列为。