《步步高》2014届高考数学大一轮复习课件(人教A版)压轴题目突破练——函数与导数(共45张PPT)
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 2.8函数与方程课件 理 新人教A版
思维启迪 解析 探究提高
【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2＋ 2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根， 其中一根在区
设出二次方程对应的函数，可画出
间(－1,0)内，另一根在区间(1,2) 相应的示意图， 然后用函数性质加 内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内， 求 m 的范围．
3． 利用图象交点的 个数判断函数的 零点：画出两个 函数的图象，看 其交点的个数， 其中交点的横坐 标有几个不同的 值，就有几个不 同的零点．
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2
答案
1 1 －2，－3
解析
3
C
3
4
C
题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 判断下列函数在给定区间上 是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
数学
川（理）
§2.8 函数与方程
第二章 函数与基本初等函数 I
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x) (x∈D)， 把使 f(x)＝0 成立 的实数 x 叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象 与 x轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连 f(b)<0 ，那 续不断的一条曲线， 并且有 f(a)· 么函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即 存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也 就是 f(x)＝0 的根．
【浙江专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】常考题型强化练——函数
常考题型强化练——函数一、选择题1． (2011·江西)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.2． (2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x 答案 A解析 利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解．对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调 性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数． B 、C 均为减函数．对于D 选项，y ＝x ＋1x在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．3． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)等于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12答案 A解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (－52)＝f (－52＋2)＝f (－12)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.4． (2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． 二、填空题5． (2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3) ＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.6． (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 先求出函数g (x )＝|x －a |的单调区间，再结合复合函数单调性判断． g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)．∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.7． (2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 先利用奇函数条件求出f (x )与f (－x )的关系． ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0. ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 三、解答题8． (2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 9． (2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．B 组 专项能力提升一、选择题1． (2011·四川)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是 ( )答案 A解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象．2． (2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时， f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5.x 7＝6也是f (x )＝0的根． 故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7.3． (2012·福建)函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 答案 D解析 通过构造某些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明③正确，再两次应 用定义式证明④正确．令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P ， 因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确； 对于选项③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，故上式矛盾． 即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故选项③正确． 对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422 ≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，即选项④正确． 二、填空题4． (2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 由f (x )的周期为2，得f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12是关键．因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.5． (2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.答案 32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不 成立，∴a ≠1. (2)当a <1时，∵x >0，∴(a －1)x －1<0，不等式可化为： x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.6． (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2解析 将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解； ②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 若g (x )＝2x －2<0，则x <1. 又∵∀x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集． 又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知， m 不可能大于或等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0. 当2m ＝－m －3，即m ＝－1时， f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足条件． 当2m >－m －3，即－1<m <0时， f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}． 依题意2m <1，即m <12，∴－1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时， f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}． 依题意－m －3<1，即m >－4，∴－4<m <－1. 因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0. ②中，∵当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>0， 即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3，即－m－3<－4，∴m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，∴m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.三、解答题7．(2012·福建)已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解(1)由于f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝e x－e x.此时f′(x)＝e x－e.由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x>x0时，g′(x)>0，则当x>x0时，g(x)>g(x0)＝0；当x<x0时，g′(x)<0，则当x<x0时，g(x)>g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．②若a<0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)<0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)>0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．a ．若x 0＝x *，当x ∈(－∞，x *)时， g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0；当x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0.所以g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *. b ．若x 0>x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增， 且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )<h (x 0)＝0， g (x )>g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)>0. 又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)<e x 1＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋ x 0f ′(x 0) ＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－(e ＋f ′(x 0))，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a <0，则必存在x 2<x 1，使得ax 22＋bx 2＋c <0.所以g (x 2)<0，故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点， 即g (x )在R 上至少有两个零点． c ．若x 0<x *，仿b 并利用e x>x 36，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点．综上所述，当a <0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))， 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .。
【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.6 对数与对数函数配套课件 理 新人教A版
3 5
＝
5
5 125>
32＝2>log49，
A．c<a<b
B．c<b<a
又 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函
C．b<c<a
数，且在(－∞，0]上是增函数，故 f(x)
D．a<b<c
在[0，＋∞)上是单调递减的，
∴f(0.2－0.6)<f(log1 3)<f(log47)，即 c<b<a.
2
题型分类·深度剖析
lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg lg 0.3·lg 1.2
1 000；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
思维启迪
解析
探究提高
解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
2 5lg 3·6lg
32＝54.
题型分类·深度剖析
题型一
对数式的运算
【例 1】 计算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)
lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg lg 0.3·lg 1.2
1 000；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
C．b<c<a
数，且在(－∞，0]上是增函数，故 f(x)
D．a<b<c
在[0，＋∞)上是单调递减的，
∴f(0.2－0.6)<f(log1 3)<f(log47)，即 c<b<a.
《步步高》2014届高考数学大一轮复习(人教A版)专题训练专题三三角函数与平面向量的综合应用(共80张PPT)
探究提高
三角函数图象的确定，可以利用 图象的周期性、最值、已知点的 坐标列方程来解决．
(2)若点 R 的坐标为(1,0)，∠PRQ＝ 23π，求 A 的值．
题型分类·深度剖析
题型二
三角函数的图象与性质
【 例 2 】 (2011·浙 江 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 思维启迪
解析
探究提高
解Asin(1()π3由x＋题φ意)，得xT∈＝R2ππ，＝A6>. 0,0<φ<π2，y 因 所 又＝ 分 P(1为 以 因的)别f求(为Psx坐为i)(nf1的0(标(该，<π3xφ＋部)为A图的<φ)π分2在 (象最)，1＝，图的y小所1＝A象.最以 正)A．如s高周3φin＝图点期(π3π6x所和及.＋示最φφ)低，的的点图P值、象，；点Q上，
变式训练 2 已知函数 f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω 是常数， ω>0)的最小正周期为 2，并且当 x＝13时，f(x)max＝2. (1)求 f(x)的解析式； (2)在闭区间241，243上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其 对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型三
三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
【 例 3 】 已 知 向 量 m ＝ 思维启迪 ∴2si3nsiAncox4s，B1＝，snin＝(Bc＋osC)x4．，cos2x4. ∵ ∴((Ac12o＋))s若记BB＝＋mf(12·Cxn，)＝＝＝∵π1m，，0·求<n∴B，c<soi在πns，(△B23∴π＋A－BBCx＝)C＝的π3中s.∴值in，0；A<≠A<02.3π. ∴角π6<AA2＋，π6B<，π2，C s的in对A2边 ＋π6分∈别是12，a1，. b， 又c求∵，函f(且x数)满＝f足s(iAn()2的x2a＋－取π6c值 ＋)c范o12s.围B＝．bcos C， ∴f(A)＝sinA2 ＋π6＋12. 故函数 f(A)的取值范围是1，32.
【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.7 函数的图象试题(含解析)新人教A版
2.7 函数的图象一、选择题1．当a ≠0时，y ＝ax ＋b 与y ＝(b a )x的图象大致是( )．解析 (筛选法)A 中，a ＞0，b ＝1，b a ＝1，很容易排除；B 中，a ＞0，b ＞1，故b a＞1，函数y ＝(b a )x 单调递增，也可排除；C 、D 中，a ＜0，0＜b ＜1，故b a＞1，排除D.故选C. 答案 C【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数给定特殊值域特殊位置，确定它们图象与函数式是否吻合.2．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个解析 (数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观. 3．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B正确． 答案B 4.函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）答案 D5．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D6.函数21log 1xy x+=-的图象（ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称解析 设21()log 1x f x x +=-，则21()log 1x f x x --=+=()f x -，所以函数21log 1xy x+=-是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.答案 A7．函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )．解析 从f (x )、g (x )的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除B 项．又g (x )在x ＝0处无意义，故f (x )·g (x )在x ＝0处无意义，排除C 、D 两项． 答案 A 二、填空题8．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)． 解析 由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确，由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的． 答案 ②③9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根．解析：由图可知f(x)＝0有三个根，设为x1，x2，x3，－2<x1<－1，x2＝0,1<x3<2. 令g(x)＝x1，由g(x)图象可知方程g(x)＝x1有两个根，令g(x)＝0得两个根，令g(x)＝x3得两个根，∴f[g(x)]＝0有6个根，同理可看出f[f(x)]＝0有5个根．答案：6 510．如下图所示，向高为h的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________；(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的( d)，则水瓶的形状是________．答案(1)A (2)D (3)B (4)C11.已知函数211xyx-=-的图像与函数y kx=的图像恰有两个交点，则实数k的取值X围是 .12．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析 ①f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋cx ≥0－x 2＋c x <0，如图①，曲线与x 轴只有一个交点，所以方程f (x )＝0只有一个实数根，正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，显然是奇函数． ③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bxx ≥0－x 2＋bx x <0.如图②，方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 答案 ①② 三、解答题13.若方程2a ＝|a x－1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，某某数a 的取值X 围．解：当a >1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图②所示， 要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1， 即0<a <12.综上所述，实数a 的取值X 围为(0，12)．14．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．15．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值X 围． 解析 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式 (x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2.∴a 的取值X 围是(1,2]16．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．思路分析 分别作出函数y ＝|1－x |与y ＝kx 的图象，结合图象讨论其交点个数． 解析 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由上边图象可知：当－1≤k＜0时，方程没有实数根；当k＝0或k＜－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0＜k＜1时，方程有两个不相等的实数根．【点评】数形结合思想是高考必考内容，它对于解答选择、填空题即形象、又快捷，对于解答题，图象有利于分析、解决问题，但适当的解题步骤还是必须的.。
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.9函数的应用教案 理 新人教A版
§2.9函数的应用2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型2. 解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．答案78℃解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．3．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( )A．5太贝克 B．75ln 2太贝克C．150ln 2太贝克 D．150太贝克答案 D解析∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是 ( ) A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定答案 B解析设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，∴x＝20%.5．(2012·东莞一模)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处答案 A解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ， 即x ＝5时取等号，故选A.题型一 二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值． 解 (1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最 值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时， 一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最 值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间 的端点处取得．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销 售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 答案 C解析 设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000 (0<x <240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把资金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型． 解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)·6.24%＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型三 分段函数模型例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量 的关系也是分段函数关系．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144.12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理 的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值．(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 ( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 3.函数建模问题 典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖 店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定 从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后， 逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元． (1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法． 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 14≤P ≤20，－32P ＋40 20<P ≤26，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50P －14×100－5 600 14≤P ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －14×100－5 600 20<P ≤26，[4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分] (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．[12分]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知 识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解， 必须验证这个数学解对实际问题的合理性．温馨提醒 (1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q 与P 的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧(1)认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；(2)实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、 基本不等式等来得到最值． 失误与防范1． 函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型． 2． 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3． 注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1.有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )A ．1 000 m 2B ．2 000 m 2C ．2 500 m 2D ．3 000 m 2答案 C解析 设围成的场地宽为x m ，面积为y m 2， 则y ＝3x (200－4x )×13＝－4x 2＋200x (0<x <50)．当x ＝25时，y max ＝25×100＝2 500. ∴围成的矩形场地的最大面积为2 500 m 2.2． (2011·湖北改编)里氏震级M 的计算公式：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍． ( )A ．6 1 000B ．4 1 000C ．6 10 000D ．4 10 000 答案 C解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.∴A 1A 2＝104＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( ) A ．10元 B ．20元 C ．30元 D.403元答案 A解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x＝－x －25x＋12，∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的平均利润最大． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都 空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为____________． 答案 30 cm 、20 cm解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600， 则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2) ＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486， 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.6． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤38＋2.15x －3＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8由y ＝22.6，解得x ＝9.7． (2012·绍兴模拟)2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1) 答案 2037解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 008>20，x －2 008>lg107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，则x >2 036.7，即x ＝2 037. 三、解答题(共25分) 8． (12分)如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a >b )．在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积．解 设四边形EFGH 的面积为S ， 由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DHG ＝12(a －x )·(b －x )．由此得S ＝ab －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋12a －x b －x＝－2x 2＋(a ＋b )x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b 28.函数的定义域为{x |0<x ≤b }， 因为a >b >0，所以0<b <a ＋b2.若a ＋b 4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b4时面积S 取得最大值a ＋b 28；若a ＋b4>b ，即a >3b 时，函数S ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b 28在(0，b ]上是增函数，因此，当x ＝b 时，面积S 取得最大值ab －b 2.综上可知，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b4时，四边形EFGH 的面积取得最大值a ＋b 28；若a >3b ，当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2.9． (13分)某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(k －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应 量约为2万件． (1)试确定k ，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1＝21－0.75k 5－b 22＝21－0.75k 7－b 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－0.75k 5－b 2＝01－0.75k 7－b 2＝1.解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x， ∴(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋xx －52＝1＋1x ＋25x－10而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元 答案 B解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30 (x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)． 2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为 ( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 3． (2012·江西)如图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )， 则函数y ＝V (x )的图象大致为( )答案 A解析 “分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象． 当0<x <12时，截面为五边形，如图所示．由SC ⊥面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22， 取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S －AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2，此时V (x )＝V S －ABCD －V S －AMN －V S －EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24.当12<x <1时，S 截面24＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 122⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B. 方法二二、填空题(每小题4分，共12分)4． 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 答案 20 解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.5． 某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为______________． 答案 y ＝a4x (x ∈N *)解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N *)．6． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个． 答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求． 三、解答题(13分)7． (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13200－x ， 20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x 200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．。
【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.2 函数的单调性与最值配套课件 理 新人教A版
数 a 的取值范围．
数，依据函数的图象或单调性定
义，确定函数的单调区间，与已
知单调区间比较求参．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在 (－∞，－1)上是减函数，求实
思维启迪 解析 探究提高
(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解析 探究提高
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
思维启迪 解析 探究提高
可利用定义或导数法讨论函 数的单调性．
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
思维启迪
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1
—下结论．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ax (x>0)，证明函数 f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0，
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在
思维启迪 解析 探究提高
(－∞，－1)上是减函数，求实
数 a 的取值范围．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
2014届步步高大一轮复习讲义二.2.7
§2.7 函数的图像2014高考会这样考 1.考查基本初等函数的图像；2.考查图像的性质及变换；3.考查图像的应用．复习备考要这样做 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像；2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图像变换；3.利用图像解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，巩固数形结合思想．1． 描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像． 2． 图像变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )y ＝f (ax )．②y ＝f (x )y ＝af (x )． [难点正本 疑点清源]1． 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图像首先要明确函数图像的形状和位置．2． 图像的每次变换都针对自变量而言，如从f (－2x )的图像到f (－2x ＋1)的图像是向右平移12个单位．其中的x 变成x －12.3． 要理解一个函数的图像自身的对称性和两个不同函数图像对称关系的不同．1． 函数y ＝1－1x －1的图像是( )答案 B解析 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2． 已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0f (x )，x <0.3． 函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )答案 A解析 由于2x －x 2＝0在x <0时有一解；在x >0时有两解，分别为x ＝2和x ＝4.因此函数y ＝2x －x 2有三个零点，故应排除B 、C.又当x →－∞时，2x →0，而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2→－∞，因此排除D.故选A.4． (2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )答案 B解析 当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A 、C. 当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，故选B.5． 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A.[]－1，1＋22B.[]1－22，1＋22C.[]1－22，3D.[]1－2，3答案 C解析 由y ＝3－4x －x 2， 得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示． 当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b |2＝2. ∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.题型一 作函数图像例1 分别画出下列函数的图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1.思维启迪：根据一些常见函数的图像，通过平移、对称等变换可以作出函数图像．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0<x <1)图像如图①.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x <0).图像如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图④.探究提高 (1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x 的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图像： (1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝10|lg x |. 解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(如图)． (2)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝10lg 1x ＝1x.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出(如图)． 题型二 识图、辨图例2 函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )思维启迪：在同一坐标系中判断两个函数的图像，可利用两个函数的单调性、对称性或特征点来判断． 答案 C解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像由函数f (x )＝log 2x 的图像向上平移一个单位而得到，所以函数图像经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图像经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D.故选C.探究提高 函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．(1)函数y ＝x ＋cos x 的大致图像是( )(2)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 ( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0答案 (1)B (2)C解析 (1)∵y ′＝1－sin x ≥0， ∴函数y ＝x ＋cos x 为增函数，排除C. 又当x ＝0时，y ＝1，排除A ，当x ＝π2时，y ＝π2，排除D.∴选B.(2)f (x )在(－2,0)上为减函数，可逐个验证． 题型三 函数图像的应用 例3 已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．思维启迪：利用函数的图像可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图像交点的问题．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1， x ∈(1，3) 作出函数图像如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)． 由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．探究提高 (1)利用图像，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． (2)利用函数图像可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．(1)(2011·课标全国)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 答案 (1)A (2)1<a <54解析 (1)观察图像可知，共有10个交点．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0，作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.高考中的函数图像及应用问题1. 已知函数解析式确定函数图像典例：(5分) (2012·课标全国)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )考点分析 本题考查识图能力，考查对函数性质的灵活应用． 求解策略 策略一 (函数性质法)函数f (x )满足x ＋1>0，ln(x ＋1)－x ≠0，即x >－1且ln(x ＋1)－x ≠0，设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.由于x ＋1>0，显然当－1<x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0，故函数g (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，故g (x )≤g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图像，只有选项B 中的图像符合要求． 策略二 (特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图像，当x ＝1e －1时，f ⎝⎛⎭⎫1e －1＝1ln ⎝⎛⎭⎫1e －1＋1－⎝⎛⎭⎫1e －1＝－e<0，排除选项A 、C 中的图像，故只能是选项B 中的图像．(注：这里选取特殊值x ＝⎝⎛⎭⎫1e －1∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特值的技巧在解题中很有用处) 答案 B解后反思 (1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想． (2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除． 2. 函数图像的变换问题 典例：(5分)若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为()考点分析本题考查图像的变换问题，函数图像的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图像变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言．求解策略要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x 轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确．答案 C解后反思对图像的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．三、图像应用典例：(10分)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．考点分析本题考查绝对值的意义，考查分类讨论思想和数形结合思想．求解策略可以利用函数图像确定方程实数根的个数．规范解答解设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图像与y＝kx的图像交点的个数．[3分]由右边图像可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；[6分]当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；[8分]当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．[10分]解后反思利用函数图像确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想；解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．方法与技巧1． 列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通 过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y ＝1－x 2的图像． 2． 合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系． (2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况． 失误与防范1．作图要准确、要抓住关键点．2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 为了得到函数y ＝12log 2(x －2)的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移2个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移2个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度答案 A解析 由y ＝log 2x ，y ＝12log 2x ，y ＝12log 2(x －2)可知，需将y ＝log 2x 图像上的点的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝12log 2(x －2)的图像．2． 把函数y ＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1 答案 C解析 函数y ＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，将其中的x 换为x ＋1，得到函数y ＝(x －1)2＋2的图像；再向上平移1个单位，变成y ＝(x －1)2＋3的图像．3． 若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )答案 B解析 由f (x )＝log a (x ＋b )的图像知0<a <1,0<b <1，则g (x )＝a x ＋b 为减函数且g (x )的图像是在y ＝a x 图像的基础上上移b 个单位，只有B 适合．4．(2011·陕西)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________． 答案 ④②①③解析 按图像逐个分析，注意x 、y 的取值范围．6．(理)如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图像大致是________．答案 ③解析 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN . 则BN ＝AE ＝x ，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，即y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1，y ≥1)，图像应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分． 7． (2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图像如图所示，结合图像可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝x1＋x.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图像是由反比例函数y ＝－1x 的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．9． (12分)已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )答案 B解析 将f (x )的图像向左平移一个单位即得到y ＝f (x ＋1)的图像． 2． 函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像如图则函数y ＝f (x )·g (x )的图像可能是( )答案 A解析 从f (x )、g (x )的图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除B 项．又g (x )在x ＝0处无意义，故f (x )·g (x )在x ＝0处无意义，排除C 、D 两项． 3． (2011·课标全国)函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图像．由图可知两函数图像在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·课标全国改编)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 易知0<a <1，则由函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图像知，只需满足log a 12>2，解得a >22，∴22<a <1. 5． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图像如图．令x ＋2＝10－ x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.6． 设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为________．答案 －1解析 先根据条件对图像进行判断是解题的关键．因为b >0，所以对称轴不与y 轴重合，排除图像①②；对第三个图像，开口向下，则a <0，对称轴x ＝－b2a >0，符合条件，图像④显然不符合．根据图像可知，函数过原点，故f (0)＝0，即a 2－1＝0，又a <0，故a ＝－1. 三、解答题7． (13分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].。
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导数 f′(1)的取值范围是_[__2_，__2_]_．
解析
∵f′(x)＝sin θ·x2＋ 3cos θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋ 3cos θ＝2sinθ＋π3. ∵θ∈0，152π，∴θ＋3π∈π3，34π，
∴sinθ＋π3∈ 22，1.∴f′(1)∈[ 2，2]．
A组 专项基础训练
1
B．f(x)<g(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
解析
∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当 a<x<b 时 f(x)－g(x)>f(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
与 ∴由直曲x2线线－切yl－的于2斜l点n率Px(＝kx＝00，2得xy00－)y，′x10＝＝2－x－1⇒1x，x0＝12或 x0＝－1(舍去)，
∴P12，14＋ln
2，
所求的最短距离即为点
P12，14＋ln
2到直线
4x＋4y＋1＝0
的距离
d＝|2＋1＋44l2n 2＋1|＝ 22(1＋ln 2)．
解析
A组 专项基础训练
1
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4
5
6
7
8
9
1．与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，且与曲线 f(x)＝x3＋3x2－1 相切的
直线方程是
(A )
A．3x＋y＋2＝0 C．x＋3y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
解析
设切点的坐标为(x0，x30＋3x02－1)， 则由切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，
数学 R A（理）
压轴题目突破练——函数与导数
第三章 导数及其应用
A组 专项基础训练
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1．与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，且与曲线 f(x)＝x3＋3x2－1 相切的
直线方程是
()
A．3x＋y＋2＝0 C．x＋3y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
2
D.12(1＋ln 2)
解析
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4．点 P 是曲线 x2－y－2ln x＝0 上任意一点，则点 P 到直线 4x＋4y
＋1＝0 的最短距离是 A. 22(1－ln 2) B. 22(1＋ln 2)
C.
2212＋ln
2
( B)
D.12(1＋ln 2)
解析
将直线 4x＋4y＋1＝0 平移后得直线 l：4x＋4y＋b＝0，使直线 l
()
A．f(x)>g(x)
B．f(x)<g(x)
C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
解析
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2．设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x)>g′(x)，则当 a<x<b 时，
有
(C )
A．f(x)>g(x)
B．m<1
C．m≤0
D．m≤1
解析
f′(x)＝3mx2－1，依题可得 m<0.
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4．点 P 是曲线 x2－y－2ln x＝0 上任意一点，则点 P 到直线 4x＋4y
＋1＝0 的最短距离是
()
A. 22(1－ln 2) B. 22(1＋ln 2)
C.
2212＋ln
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8．(10 分)已知函数 f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数 a，b∈R)，g(x)＝f(x)
＋f′(x)是奇函数． (1)求 f(x)的表达式； (2)讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解析Βιβλιοθήκη A组 专项基础训练1
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8．(10 分)已知函数 f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数 a，b∈R)，g(x)＝f(x)
解析
由题意知 f(1)＝lg 1＝0， ∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.
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7．把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大 时，该圆柱的底面周长与高的比为________．
解析
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7．把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 m 的取值
范围是
()
A．m<0
B．m<1
C．m≤0
D．m≤1
解析
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 m 的取值
范围是
(A)
A．m<0
＋f′(x)是奇函数． (1)求 f(x)的表达式； (2)讨论 g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解析
解 (1)由题意得 f′(x)＝3ax2＋2x＋b， 因此 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. 因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(－x)＝－g(x)，
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5．设函数 f(x)＝sin3 θx3＋
3cos 2
θ·x2＋tan
θ，其中 θ∈0，51π2，则
导数 f′(1)的取值范围是________．
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5．设函数 f(x)＝sin3 θx3＋
3cos 2
θ·x2＋tan
θ，其中 θ∈0，51π2，则
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6．(2011·陕西)设f(x)＝lxg＋x，ʃ a0x3>t02d，t，x≤0，
若f(f(1))＝1，则a＝________.
解析
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6．(2011·陕西)设f(x)＝lxg＋x，ʃ a0x3>t02d，t，x≤0， 若f(f(1))＝1，则a＝____1____.
可得切线的斜率为－3，
又 f′(x)＝3x2＋6x，故 3x02＋6x0＝－3，
解得 x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
从而得切线的方程为 3x＋y＋2＝0.
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2．设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x)>g′(x)，则当 a<x<b 时，
有
时，该圆柱的底面周长与高的比为___2_∶__1__．
解析
设圆柱高为 x，底面半径为 r，则 r＝62－πx，圆柱体积 V＝ π62－πx2x＝41π(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，
V′＝43π(x－2)(x－6)． 当 x＝2 时，V 最大．此时底面周长为 6－x＝4,4∶2＝2∶1.
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