【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2

教学资料范本【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2编辑：__________________时间：__________________1.2.1 平面的基本性质1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1平面的概念及表示阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．1．概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．图1－2－12．表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．(2)字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．3．点、线、面位置关系的符号表示位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C 不在直线AB 上 C ∉AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1∉平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ⊂平面AC 直线AA 1不在平面AC 内AA 1⊄平面AC如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎬⎫A∈αB∈α⇒AB ⊂α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎬⎫P∈αP∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．图1－2－2【解析】由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.【答案】α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A2．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】④[小组合作型]三种语言的转换(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．①②图1－2－3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面A DC交于AC”，并画出图形．【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图1－2－4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合【自主解答】如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：412920xx】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[探究共研型]共线，共点问题探究1把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．探究2如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？图1－2－5【提示】交于一点．证明：连结EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．如图1－2－6所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．图1－2－6【精彩点拨】先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.【自主解答】∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC，GE＝12 AC.又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，FH＝25 AC.∴FH∥GE，FH≠GE.∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF，GH，BD交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．[再练一题]3．如图1－2－7，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，C C1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．图1－2－7【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫QR ⊂平面BC1，O∈RQ ⇒O∈平面BC1⎭⎬⎫DP ⊂平面AC，O∈DP ⇒O∈平面AC⇒ O 为平面BC 1与平面AC 的公共点 又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ， ∴O ∈BC ，即O ，B ，C 三点共线．1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述不正确的有________． ①A ∈a ，a ⊄α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α； ③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α. 【解析】①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．【答案】 ①②③④2．如图1－2－8所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．图1－2－8【解析】因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．【答案】无数3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为_ _______个．【答案】 34．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是_____ ___.①②③④图1－2－9【答案】④5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．【解】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．。