初中数学竞赛模拟试卷2
初中数学奥林匹克模拟试卷1-10套
数学奥林匹克模拟试卷〔一〕一、选择题：1、311=-=-b ba a ，且3>+b a ，则33a b b a -的值是〔 〕。
〔A 〕521〔B 〕1321〔C 〕533〔D 〕13332、如果二次函数()522++++=k x k x y 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k 值应为〔 〕〔A 〕4>k 或5.-<k 〔B 〕45-<<-k 〔C 〕4.-≥k 或5-≤k 〔D 〕45-≤≤-k3、如图，∆ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC 于F ，则ABCAEF S S ∆∆:的值为〔 〕〔A 〕A sin 〔B 〕A cos 〔C 〕A 2sin 〔D 〕A 2cos4、方程1997111=+y x 的正整数解的组数为〔 〕 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕大于等于45、P 为∆ABC 内一点，PA 、PB 、PC 把∆ABC 的面积分成三等分，则P 点是∆ABC 的〔 〕〔A 〕内心〔B 〕外心〔C 〕垂心〔D 〕重心6、抛物线122++=bx x y 与直线ab ax y 22+=的图象至多有一个交点，则的最大值是〔 〕〔A 〕1〔B 〕23〔C 〕22〔D 〕0 二、填空题：1、四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000，则此四数的和是_________。
2、如果c yz b xz a xy ===,,，而且它们都不等于0，则222z y x ++=_________。
3、假设抛物线()242+++=a x ax y 全在x 轴的上方，a 的范围是_________。
4、如图，在图形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，E 为BC 重点，GE ⊥BC 于，交DA 延长线于G ，DC=17cm ，AB=25cm ，BC=10cm ，则CE=_________。
三、解答题：1、∠ACE=∠CDE=900，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过点A 、C 、D 三点的圆交AB 于F ，求证：F 是∆CDE 的内心。
七年级数学竞赛模拟试题(二).doc
七年级数学竞赛试题（二）一.选择题（每小题4分，共32分） 1. 兀是任意有理数，则2出+兀的值（）. A.大于零 B.不大于零 C.小于零D.不小于零2. 在一0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是（）A. 1B. 4C. 2D. 83. 如图，在数轴上1,血的对应点4、B, A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数是（）A.平移、对称、旋转B.平移、旋转、对称C.平移、旋转、旋转D.旋转、对称、旋转 4）（i-4）---（i ——等于（32 42 200721; 4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，具边长分别为2, 2, 1； 6根火柴棒只能 搭成一种三角形，其边长分别为2, 2, 2； 7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3, 3, 1和3, 2, 2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ）A. 15B. 16C. 18D. 19二.填空题（每题4分，共28分）9. _____________________________________ 定义 a*b=ab+a+b,若 3*x=31,则 x 的值是 。
A. 2-V2B. V2-2C. 5/2 — 1D. 1 —CAB1110 14. 桌上放着4张扑克牌，全部正而朝下，其中恰有1张是老K 。
两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌 并把它们翻开，若2张牌中没冇老K,则红方胜，否则蓝方胜。
则赢的机会大的一方是（A.红方B.蓝方C.两方机会一样D.不知道5. 如果在八边形破纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影部分），那么图②，图③，图④中的阴影部 分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到. 次进行的变换不可行的是（）要得到图②，图③，图④中的阴影部分，依 6.计算: (1-A. 2006 D. ---------20071004 1003 2008------B. --------C. -------------------------20072007 2007三个天平的托盘中相同的物体质量相等。
初中数学竞赛八年级数学竞赛赛前集训题二(含答案)
初二数学竞赛赛前集训题二一、填空题（每小题8分，共40分）1．若（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 2+a 4=______．2．在△ABC 中，M 是边AC 的中点，P 为AM 上一点，过P 作PK ∥AB 交BM 于X ，交BC 于K ，•若PX=2，XK=3，则AB=_______．3．a 、b 、c 是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m=3a+b-7c ，记x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy=_______．4．在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，，则∠ABC=________． 5．已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16，则12xy z ++12yz x ++12zx y+=__________．二、（15分）若正数a 、b 、c 满足a+c=2b三、（15分）一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，试确定这个直角三角形三边的长．四、（15分）如右图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE•、•CAFG•、•BCHK．连结EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边所以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．五、（15分）13位运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号，问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．答案: 一、填空题1．令x=0，得a=-1．令x=1，得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1； 令x=-1，得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243．后面两式相加，得a 4+a 2+a 0=-121，因此，a 2+a 4=-120．2．如图，以BC 为对角线作ABDC ，延长PK 交BD 于Q ，过M 作AB 的平行线交BC 于O ，•交BD 于N ，则AB=PQ=MN ．易知CO=BO ，点O 是ABDC 的中心．因此，MO=ON ．于是，KQ=XK=•3，•所以，AB=PX+XK+KQ=2+3+3=8．3．由3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，得325,213.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩∴325,4226.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩所以，a=7c-3，b=7-11c ．由a 、b 、c 是非负实数，得730,7110,0.c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩∴37≤c ≤711．又m=3a+b-7c=3c-2，故-57≤m ≤-111．于是，x=-57，y=-111，因此，xy=577．4．如图，延长BA 到E ，使得连结CE ，则CE ∥AD ，且 在△ACE 中，有AE 2+CE 2=2+24=26=AC 2． 故∠AEC=90°．在Rt △BCE 中，，故∠ABC=60°．5．因为x+y+z=2，两边平方得x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=4． 已知x 2+y 2+z 2=16，所以xy+yz+zx=-6． 又z=2-x-y ，所以12xy z +=1422xy x y +--=1(2)(2)x y --，同理，12yz x + =1(2)(2)y z --，12zx y +=1(2)(2)z x --．故12xy z ++12yz x ++12zx y+=1(2)(2)x y --+1(2)(2)y z --+1(2)(2)z x --=(2)(2)(2)(2)(2)(2)z x y x y z -+-+----=62()4()8x y z xyz xy yz zx x y z ++--+++++-=2641128813-=-++-．二、由已知易知a-b=b-c ．．．三、设a 、b 分别为两条直角边长，则斜边长由于a 、b 、c 均为正整数，所以，a ≠b ．不妨设a>b ，依题意有2ab． 两边平方并整数，得224a b -a 2b-ab 2+2ab=0，即ab-4a-4b+8=0．从而，（a-4）（b-4）=8=1×8=2×4． 由于a 、b 为正整数，a>b ，则 48,41;a b -=⎧⎨-=⎩ 或 44,42;a b -=⎧⎨-=⎩解得a=1，b=5，c=13；a=8，b=6，c=10．所以，这个直角三角形三边的长为（12，5，13）或（8，6，10）． 四、如图，过D 作DP // KH ，则四边形DPHK 是平行四边形．所以，PH //DK．因为DP//BC，则四边形DPCB也是平行四边形．因此，PC//DB．又EA //DB，所以，EA//PC，•则四边形EACP也是平行四边形．所以，EP//AC，从而EP// FG．因此，四边形EFGP•也是平行四边形，故PG//EF．由此可见，对于△PHG，PH=DK，PG=EF，GH=GH，这表明以EF、GH、KD•为边可以构成一个三角形．由此知，在△PCG与△EAF中，PC=EA，CG=AF，PG=EF，所以，△PCG≌△EAF．同理，△PCH≌△DBK．因此，S△PHG=S△PCH+S△PCG +S△CGH =S△DBK +S△EAF +S△CGH．过A作AM⊥BC于M，延长KB交DP于N，则BN⊥DP，易知∠1=∠2．在Rt△BND与Rt△BMA中，因为BD=BA，∠1=∠2，所以，Rt△BND≌Rt•△BMA，•因此，DN=AM．故S△DBK =12KB×DN=12BC×AM=S△ABC．同理，S△EAF =S△ABC，S△CGH =S△ABC．因此，S△PHG =S△DBK +S△EAF +S△CGH =3S△ABC．五、不能办到．理由如下：假设能够排成一个圆圈，使得号码满足题设要求．我们将号码数分为A、B两组：A={1，2，3，11，12，13}，B={4，5，6，7，8，9，10}．显然，A组中的任两个数的差要么小于3，要么大于5，所以，在排成的圆圈中A组中的任两个数都不能相邻．也就是说，A组中的任两个数之间至少都要插放一个B组中的数．但A组中有6个间隔，B组中有7个数，所以，排好后有且只有一个间隔插放了B•组中的两个数．我们将B组中每个数能与A组中的数之差的绝对值不小于3，且不大于5•的配成可相邻放置的一对，则有（4，1）；（5，1），（5，2）；（6，1），（6，2），（6，3），（6，11）；（7，2），（7，3），（7，11），（7，12）；（8，3），（8，11），（8，12），（8，13）；（9，12），（9，13）；（10，13）．可见，B组中的数5，6，7，8，9都能与A组中的两个不同的数相邻放置，4只与1配对，10只与13配对，因此，排成圆圈后，4和10都不能单独插在A组中的两个不同数之间，•即4和10只能作为相邻的两个数插在A组中的两个不同数之间．也就是4与10相邻，此时10-4=6>5，与题设条件矛盾．因此，题设要求的排法不能办到．。
2022年全国初中数学竞赛模拟试卷及答案解析
2022年全国初中数学竞赛模拟试卷一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）1．（2分）已知m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，那么m4+n4＝．2．（2分）如图，以AB为直径画一个大半圆，BC＝2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于．3．（2分）加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN 的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于米．4．（4分）如图，有个正方形，有个三角形．5．（2分）在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第象限．6．（4分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元．7．（2分）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△P AB＝5，S△P AD＝2，则阴影部分的面积为．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）8．（2分）如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672B．688C．720D．750三、解答题（共9小题，满分100分）9．（8分）已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b ﹣22c的值是否一定能被13整除，为什么？10．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S1，S2和S3，求S2S1+S3=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）11．（9分）已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．12．（10分）某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍．问这家原来的电话号码是多少？13．（10分）如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数．请写出这个9位数，简单说明理由．14．（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）15．（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，岁，岁？16．（15分）请回答：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由．17．（15分）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？2022年全国初中数学竞赛模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）1．（2分）已知m ﹣n ＝﹣5，m 2+n 2＝13，那么m 4+n 4＝ 97 ．解：∵m ﹣n ＝﹣5，m 2+n 2＝13，∴（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ，∴mn ＝﹣6，又∵（m 2+n 2）2＝m 4+n 4+2m 2n 2，故m 4+n 4＝132﹣2×36＝97．故答案为：97．2．（2分）如图，以AB 为直径画一个大半圆，BC ＝2AC ，分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 49 ．解：设AC ＝2x ，∵BC ＝2AC ，∴BC ＝4x ，AB ＝6x ，∴S 阴影部分=12π（3x ）2−12π（2x ）2−12πx 2＝2πx 2∴阴影部分的面积与大半圆面积的比为：2πx 2：12π（3x ）2＝4：9， 故答案为：49． 3．（2分）加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧（如图），A 到MN 的距离大于B 到MN的距离，AB ＝7米，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于 7 米．解：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、B、P在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：7．4．（4分）如图，有95个正方形，有155个三角形．解：（1）一类是有一组对边为水平方向的正方形个数，这类正方形的个数为6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1＝91．另外还有4个正方形．所以正方形的个数为91+4＝95；（2）①直角边长为1的三角形的个数为6×6×2＝72个．②直角边长为2的三角形8+6+2+8+6＝30个．③直角边长为3的直角三角形4+2+4＝10个④直角边长为4的直角三角形有2个．⑤斜边长为2的三角形12+3+1+4＝20个．⑥斜边长为4的三角形1+2+1＝4个．⑦1～6列依次还有3+3+3+2+3+3＝17个．所以三角形的个数为72+30+10+2+20+4+17＝155个．故答案为：95；155．5．（2分）在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第二象限．解：（1）当m（m+1）＞0时，有{m＞0m+1＞0或{m＜0m+1＜0，所以m＞0或m＜﹣1，因此m﹣1＞﹣1或m﹣1＜﹣2，即P[m（m+1），m﹣1]可能经过第一或四象限．（2）当m（m+1）＜0时，有{m＞0m+1＜0或{m＜0m+1＞0，所以﹣1＜m＜0，因此﹣2＜m﹣1＜﹣1，即P[m（m+1），m﹣1]经过第三象限．综合得，P[m（m+1），m﹣1]不经过第二象限．6．（4分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为270；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金1400元．解：设该校去参加春游的人数为a人，则有a45=a+3060+1，解得：a＝270设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x+1）辆，由题意若单独租45座客车需要270÷45＝6辆，租金250×6＝1500元，若单独租60座客车需要（270+30）÷60＝5辆，租金300×5＝1500元，则有：{250x+300(x+1)＜150045x+60(x+1)≥270，解得：2≤x＜2411∵x为正整数∴x＝2即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3＝1400（元）．故答案为270，1400．7．（2分）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△P AB＝5，S△P AD＝2，则阴影部分的面积为3．解：∵S△P AB+S△PCD=12S▱ABCD＝S△ACD，∴S△ACD﹣S△PCD＝S△P AB，则S△P AC＝S△ACD﹣S△PCD﹣S△P AD，＝S△P AB﹣S△P AD，＝5﹣2，＝3．故答案为：3．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）8．（2分）如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672B．688C．720D．750解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242 ④，④﹣①得：bc＝90，④﹣②得：ca＝80，④﹣③得：ab＝72，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．三、解答题（共9小题，满分100分）9．（8分）已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b ﹣22c的值是否一定能被13整除，为什么？解：设x，y，z，t是整数，并且假设5a+7b﹣22c＝x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）比较上式a，b，c的系数，应当有7x+13y＝52x+13z＝7（2）3x+13t＝﹣22，取x＝﹣3，可以得到y＝2，z＝1，t＝﹣1，则有13（2a+b﹣c）﹣3（7a+2b+3c）＝5a+7b﹣22c（3）既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b﹣c）都能被13整除，5a+7b﹣22c就能被13整除．10．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S1，S2和S3，求S2S1+S3=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）解：如图a所示：连接AE、EN和NC，设四边形AECN的面积为S，∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，∴S△AEM＝S△MEN，S△CNF＝S△EFN，上面两个式子相加得S△AEM+S△CNF＝S2并且四边形AECN的面积S＝2S2，即：S2=12S，S△AEM+S△CNF=12S．连接AC，如图b所示：∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，∴CE＝2BE，NA＝2DN，∴S△ABE=12S△AEC，S△CDN=12S△CNA，上面两个式子相加得S△ABE+S△CDN=12×四边形AECN的面积=12S，所以，S△AEM+S△CNF+S△ABE+S△CDN=12S+12S＝S，因此S1+S3＝S，S2S1+S3=12SS=12．答：S2S1+S3=12．11．（9分）已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．解：如果2n+1＝k2，3n+1＝m2，则5n+3＝4（2n+1）﹣（3n+1）＝4k2﹣m2＝（2k+m）（2k﹣m）．因为5n+3＞（3n+1）+2＝m2+2＞2m+1，所以2k﹣m≠1（否则5n+3＝2k+m＝2m+1）．从而5n+3＝（2k+m）（2k﹣m）是合数．12．（10分）某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍．问这家原来的电话号码是多少？解：设原电话号码为abcdef，则升位后为2a3bcdef，令bcdef＝x由题意得33ax＝2a3x，即33（100000a+x）＝20300000+1000000a+x，化简得32x＝20300000﹣2300000a（1≤a≤9，0≤x＜100000的整数），故0≤x＝3125（203﹣23a）＜100000，解得171＜23a≤203，所以a＝8．于是x＝3125（203﹣23×8）＝59375．故所求的电话号码为859375．13．（10分）如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数．请写出这个9位数，简单说明理由．解：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格．第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图．九位数是：495186273．14．（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）解：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点， 有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上， 所以，这样选出的三个点可以作出1个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则作出的三角形相同， 三个点相同的取法有3×2×1＝6种， 所以，以这6个点为顶点可以构造6×5×43×2×1=20个不同的三角形；（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形； （3）用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点， 假设可以选出两两没有公共边的5个三角形， 它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母． 这里不同的英文大写字母仅有6形两两没有公共边， 即除去公共顶点A 之外，其余6个顶点互不相同， 即表示这6个顶点的字母不相同．但是，除A 之外，我们仅有5个不同的字母． 所以不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边．又显然△ABC ，△ADE ，△BDF 和△CEF 这4个三角形两两没有公共边． 所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边．15．（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答： 王雪 是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是 5 岁， 3 岁， 4 岁？ 解：设刘芳的年龄为x 岁． ①刘芳和路路的年龄和是36岁， 是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数， 而路路和妈妈的年龄的差是奇数， 因此路路的妈妈不是刘芳． 注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳， 所以，壮壮的妈妈是刘芳．②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x ﹣27）路路（36﹣x ）岁，他的妈妈应当是（36﹣x +27）岁，和为（99﹣2x ） 菲菲（x ﹣29）岁，她的妈妈应当是（x ﹣29+27）岁，和为（2x ﹣31） 由于6个人共105岁，所以，（2x ﹣27）+（99﹣2x ）+（2x ﹣31）＝105． ③解出x ＝32，菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁； 路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁； 路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁． 答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁． 故填：王雪，5，3，4．16．（15分）请回答：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． 解：（1）由于12+13+16=1，故有18=18×(12+13+16)=116+124+148．所以，18能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）． （2）不妨设a ＜b ＜c ，现在的问题就是寻找整数a ，b ，c ， 满足18=1a 2+1b 2+1c 2由a ＜b ＜c ，则有， 从而18=1a 2+1b 2+1c2＜3a 2，所以a 2＜24．又有18＞1a 2，所以a 2＞8，故a 2＝9或16． 若a 2＝9，则有1b 2+1c 2=18−19=172， 由于172＞1b2，并且2b2＞1b 2+1c 2=172，所以b 2＞72，72＜b 2＜144．故b 2＝81，100或121．将b 2＝81、100和121分别代入c 2=72b2b 2−72，没有一个是完全平方数，说明当a 2＝9时，18=1a 2+1b 2+1c 2无解．若a 2＝16，则1b 2+1c 2=18−116=116．类似地，可得：16＜b 2＜32，即b 2＝25， 此时，c 2=16b2b 2−16=16×259不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和．评分参考：①正确回答第一问给（5分）（答案不唯一）； ②能得到a 2＝9或16，给（6分）；③能分别对a 2＝9和16讨论18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给（2分），共（4分）；④对代数式合理和正确的推导适当给分．特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考．17．（15分）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？ 解：设一开始时甲的速度是a ，于是乙的速度便是23a ．再设跑道长是L ，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为35L ．甲跑完第一圈，乙跑了23L ，乙再跑余下的13L ，甲已折返，且以a （1+13）=43a 的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23L ，这时，乙折返并以23a （1十15）=45a 的速度跑着．从这时起，甲、乙速度之比是43a ÷45a =53，即5：3．所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的L3的58，而乙跑了它的38，即第二次相遇时距出发点38×L 3=L8．可见两次相遇点间的距离是(35−18)L ＝190（米），即1940L ＝190（米），L ＝400（米）答：跑道长为400米．。
初中数学竞赛模拟试题(2)
初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ）（A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－22．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4， △BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）264．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切．（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）65．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为 ．7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ．9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222004b a +的值是 ． 10．抛物线5422--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长．（第11题）12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出）， 以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1．（1）求p q 42-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．C 4．D 5．C二、填空题6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．319 9．2008 10．3822+-=x x y 三、解答题11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋21∠C 。
[数学]-专项52 全国初中数学竞赛模拟卷(二)-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛
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3．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF ，则 （ ）
A．3B． C．5D．
4．若函数 ，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374B．390C．765D．578
5．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是，B部分的数是．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
（3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q
的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问 是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由．
轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（ ，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x， x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
八年级数学竞赛模拟测试卷(二)(含答案)
八年级数学竞赛模拟测试卷(二)一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列名人中：①比尔·盖茨；②高斯；③袁隆平；④诺贝尔；⑤陈景润；⑥华罗庚；⑦高尔基；⑧爱因斯坦，其中是数学家的是 ( ) (A)①④⑦ (B)③④⑧ (C)②⑥⑧ (D)②⑤⑥2．已知2a y+5b 3x 与b 2－4y a 2x是同类项，那么x 、y 的值是 ( )(A)12x y =-⎧⎨=⎩ (B)21x y =⎧⎨=-⎩ (C)00.6x y =⎧⎨=-⎩ (D)30x y =⎧⎨=⎩3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a+b+c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab+bc+ca ；③a 2b+b 2c+c 2a ．其中是完全对称式的是 ( )(A)①② (B)①③ (C )②③ (D)①②③ 4．反比例函数k y x=的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是下列哪个正比例函数的图象 ( ) (A)y k x = (B)y=－kx (C)y=kx (D)y=x5．There is a piece of work ．It takes Mr ．A alone 20 days to finish ，and Mr ．B 30 alone days tofinish ．It takes them( )days to work together to finish the work ．(A)10 (B)12 (C)15 (D)50 6．如图，将点数为2，3，4的三张牌按从左到右的方式排 列，并且按从左到有的牌面数字记录排列结果为234．现在做一个抽放牌游戏：从上述左、中、有的三张 牌中随机抽取一张，然后把它放在其余两张牌的中间，并且重新记录排列结果．例如，若第1次抽取的是左边的一张，点数是2，那么第1次抽放后的排列结果是324；第2次抽取的是中间的 一张，点数仍然是2，则第2次抽放后的排列结果仍是324．照此游戏规则，两次抽放 后，这三张牌的排列结果仍然是234的概率为 ( ) (A)12(B)13(C)23(D)147．如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上的中线且AB=4cm ，AC=3cm ，则AD 的取值范围是 ( ) (A)3＜AD ＜4 (B)1＜AD ＜7 (C)1722A D <<(D)1733A D <<8．设已知a ，b(b ＞a )是两个任意质数，那么下列四个分数：①a b ab+；②b a b a-+；③2222b a b a-+；④22ab a b+中，总是最简分数的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 9．在函数21a y x+=-(a 为常数)的图象上有三点：(－1，y 1)、214y ⎛⎫-⎪⎝⎭，、312y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( ) (A)y 1＜y 2＜y 3 (B)y 3＜y 2＜y 1(C)y 3＜y 1＜y 2 (D)y 2＜y 1＜y 310．已知M=p 4(p 2q+1)，其中p 、q 为质数，且满足q －p=29，则M= ( ) (A)2009 (B)2005 (C)2003 (D)2000 二、A 组填空题(每小题4分，共40分)11．在一次捐款活动中，八年级(3)班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的．如图所示的统计图反映了不同捐款数的人的比例，那么该班同学 平均每人捐款_______元．12．已知y=ax 3+bx+2，当x=－时，y=2009，则当x=1时，y=________．13．已知关于x 的不等式mx －2≤0的负整数解只有－1，－2，则m 的取值范围是_________．14．在平面上，等边三角形和正方形是一类完美图形．给定一个边长为1分米的正方形，能内接于它的最小等边三角形(内接指三角形的各顶点在正方形的边上)的边长是_______分米．15．当52x -=时，代数式x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的值为________．16．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A 、B 、C ，甲车从A 出发匀速开往C ，乙车从B 出发匀速开往A ．若两车同时出 发，当甲车到达B 时，乙车离A 还有40km ；当乙车到达A 时， 甲车正好到达C ．已知BC=50km ，则A 、B 两镇相距________km ．17．设直线()1nx n y ++=≥1的自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n (n=1，2，…，2008)，则S 1+S 2+…+S 2009的值为_________． 18．Figure ，In a acute triangle ABC ，AD is perpendicular to BC ，and CE is perpendicular to AB ．If ∠AOE=62°，then ∠BAC+∠BCA=_________．19．李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后(点A与B重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第一次操作后，原线段AB上的14，34均变成12，12变成1，等)．那么在线段AB上(除A，B)的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是_________．20．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+900b+8c=________．三、B组填空题(每小题8分，共40分)21．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则：①22．许多年青人都喜好极限运动，如小轮车比赛．如图是小轮车比赛场地的一部分赛道，赛道AB部分为πm，赛道BC部分是半径为3m的14圆弧，赛道CD部分为πm，设车轮半径为25cm，则车轮从B到C公转__________圈，从A到D公转_________圈．23．若b c c a a bka b c+++===，则一次函数y=2010kx－2010k的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为________或________．24．在数学活动课上，王刚做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，则该梯形纸模板的面积为________或_______或_______或_______cm2．25．已知等腰△ABC的三边长满足方程x2－11x+30=0，在△ABC所在平面内找一点P，使得点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小，则这个最小值是________或________或_________或_________．参考答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 二、A 组填空题11．31．2． 12．－2005 13．213m -≤<- 14．1 15．－15 16．200km ．17．2009201018．118° 19．1． 20．2008三、B 组填空题 21．10，10i+j=10．22．小轮车的周长为50πcm ，赛道BC 的长为150πcm ，从A →B →C →D 的赛道总长为350πcm ，150π÷50π=3．350π÷50π=7，故车轮从B 到C 公转3圈，从A 到D 公转7圈．23．显然a 、b 、c 均不为0．当a+b+c ≠0时，由b c c a a b k aac+++===得：2222a b c k a b c++==++，此时直线y=4020x －4020与两坐标轴围成的三角形的面积为2010；当a+b+c=0时，b+c=－a ，从1b c a k aa+-===-，此时直线y=－x+l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1005． 24．如图1、图2、图3、图4中，底边AD=40cm ，腰AB=10cm ，腰CD=17cm ，高AE=DF=8cm ，则另一底BC=61cm 或49cm 或31cm 或19cm ，故S 梯形ABCD =404cm 2或356cm 2或284cm 2或236cm 2．25．由方程x 2－11x+30=0解得：x=5或x=6，则等腰△ABC 的三边有如下三种情况：5，5，5或6，6，6或5，5，6或5，6，6．再根据“在△ABC 所在平面内，到三个顶点A 、B 、C 的距离之和最小的点P 是该△ABC 的费马点”，求出这个最小值分别是或4+。
初二数学竞赛模拟试题
初二数学竞赛模拟试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. πC. 0.333...D. √22. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是4，这个数是：A. 16B. -16C. 4D. -44. 如果一个点位于第三象限，那么它的坐标特征是：A. (+,+)B. (-,-)C. (+,-)D. (-,+)5. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，它的体积是：A. 24B. 12C. 36D. 487. 一个等差数列的前三项分别是2、5、8，求第10项的值。
A. 27B. 29C. 21D. 238. 一个二次方程x² - 4x + 4 = 0的根是：A. x = 2B. x = -2C. x = 4D. 无实数根9. 一个数的立方根是2，这个数是：A. 8B. -8C. 2D. -210. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值。
A. 486B. 162C. 54D. 18二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
2. 一个数的绝对值是其本身，这个数是______或______。
3. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
4. 一个圆的直径是10，那么它的周长是______π。
5. 一个长方体的表面积是54平方厘米，如果长、宽、高分别是3厘米、4厘米、1厘米，那么体积是______立方厘米。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，求它的对角线长度。
2. 一个等差数列的前三项分别是a、a+d、a+2d，如果这个数列的前n项和是S_n，求S_n的表达式。
四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是锐角三角形。
初三数学竞赛模拟试题及答案
初三数学竞赛模拟试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 如果一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为整数，且f(1) = 1，f(2) = 4，f(3) = 9，那么a的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为r，圆心到圆上一点的距离为d，如果d = r，那么点在圆的什么位置？A. 圆内B. 圆上C. 圆外D. 不能确定4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 32B. 35C. 41D. 475. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，如果长方体的体积是120，且a=2b，c=2a，那么b的值是多少？A. 2√5B. 2√6C. 2√10D. 2√15二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的平方根是它本身，这个数是________。
7. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长为________。
8. 一个数的立方根是2，这个数是________。
9. 一个等比数列的首项为1，公比为2，求第5项的值是________。
10. 如果一个二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，它的判别式Δ的值是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5，求f(2)的值。
12. 解不等式：2x + 5 > 3x - 2。
13. 一个圆的周长是44cm，求这个圆的半径。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
15. 证明：如果一个三角形的两边和它们之间的夹角的和等于另一个三角形的两边和它们之间的夹角的和，那么这两个三角形是相似的。
五、附加题（每题20分，共20分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求这个圆的半径。
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初中数学竞赛模拟试卷2
一、选择题(每小题7分，共42分)
1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ).
(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／18
2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ).
(A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9
3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ).
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
4.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ).
(A)365 (B)245 (C)210 (D)175
5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )
(A)2332+π (B) 3
3265-π (C) 365-π (D) 33
2-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于
8.则k 的最大值为( ).
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
二、填空题(每小题7分，共28分)
7.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .
8.当x =2
329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 9.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数 有 个.
10.已知△ABC 的三边长分别为
AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的
面积为 .
三、解答题（本题共3小题，第11、12题每题16分，第13题18分，满分60分）
11.解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=
2
55.
12.如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点.证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.
13.矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示). 试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.
说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.
答案
1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2
yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组
x +y +z =3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.
解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.
2.B .注意到f (1)=2a +1,f (3)=12a +1,f (f (1))=a (2a +1)2+a (2a +1)+1.由f (f (1))=f (3),得 (2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5.
3.C .
因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.
4.D .
由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175.
5.C .
记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形
AEDF =5π／6－3 .
6.B .
将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图
5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,
可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),
因此,k 的最大值为6.
7.－2.
因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2.
8. 32297-. x =
2
329-是方程x 2+3x －5=0的根, 9.73.
记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.
而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.
(1)若a－b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.
(2)若a－b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值.
其他情况下所得的x值均属于以上情形.
若a－b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2－b2≥a+b≥3,归入(1).
若a－b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a－b)(a+b)为4的倍数,且a－b≥2,a+b≥4,故x≥8,归入(2).
因此,这种x共有49+24=73个.
10.168.
注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a－7)2+242.
如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.
在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a－7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.
因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a－7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a－7),则S△ABC=S△ABD－S△CBD－S△ACD=168.
11.将原方程变形得(12x+5)2(12x－2)(12x+12)=660.
令12x+5=t,则t2(t－7)(t+7)=660,即t4－49t2=660.解得t2=60或t2=－11(舍去).
由此得t=±2 15,即有12x+5=±215.因此,原方程的根为x1,2=
1215
2
5-
.
12.如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.
如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD 于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.
因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.
13.设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,……,k边形a k个(a3,a4,…,a k为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3×π+a4×2π+…+a k(k－2)π.
另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×2π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在
此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S角=20π+16π+2π=38π.
于是,a3+2a4+…+(k－2)a k=38.①
记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+…+ka k.
另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=2×45+20=110.
于是,3a3+4a4+…+ka k=110.②②－①得2(a3+a4+…+a k)=72.
故a3+a4+…+a k=36.③①－③得a4+2a5+3a6+…+(k－3)a k=2.
因所有a i∈N,故a6=a7=…=a k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.
综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形。