2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案(最新整理)

0 专题二十 几何概型1. 长度类几何概型例 1：已知函数 f ( x ) = x 2 - x - 2 ， x ∈[-5, 5] ，在定义域内任取一点 x ，使 f ( x ) ≤ 0 的概率是（ ）A.110 【答案】CB.2 3C.310D.45【解析】先解出 f ( x 0 ) ≤ 0 时x 0 的取值范围： x 2 - x - 2 ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ，从而在数轴上[-1, 2] 区间长度占[-5, 5] 区间长度的比例即为事件发生的概率，∴P = 3，故选 C ． 102. 面积类几何概型（1） 图形类几何概型例 2-1：如图所示，在矩形 ABCD 中， AB = 2a ， AD = a ，图中阴影部分是以 AB 为直径的半圆，现在向矩形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是 （ ）A ．1000B ．2000C ．3000D ．4000【答案】C【解析】在矩形 ABCD 中， AB = 2a ， AD = a ，面积为2a 2 ，半圆的面积为1 a 2π ，2π故由几何概型可知，半圆所占比例为 4 ，随机撒 4000 粒豆子，⎩⎨⎩落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C ．（2） 线性规划类几何概型例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达， 试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率 （ ）A.14【答案】DB.1 3C.34D.716【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为 y ，Ω⎧0 ≤ x ≤ 24则所有基本事件构成的区域 满足⎨0 ≤ y ≤ 24 ，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A 满足⎧0 ≤ x ≤ 24 ⎪0 ≤ y ≤ 24 ⎪ x - y ≤ 6，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为P ( A ) = S 阴= 1 - 18 ⨯18 = 7 ，故选S Ω24 ⨯ 24 16D ．（3） 利用积分求面积例 2-3：如图，圆O : x 2 + y 2 = π2 内的正弦曲线 y = sin x 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点 A 落在区域M 内的概率是（ ）D．C ． π34A ． π24 22π3π2π3【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3 ， 正弦曲线 y = sin x 与x 轴围成的区域记为M ，π⎰根据图形的对称性得：面积为S = 2 sin x dx = -2 cos x π= 4 ， 0由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域M 内的概率P = 4 ，故选 B ．3. 体积类几何概型例 3：一个多面体的直观图和三视图所示， M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF - BCE 内自由飞翔，由它飞入几何体F - AMCD 内的概率为（）A.34【答案】DB.23C.13D.12B ．【解析】所求概率为棱锥F -AMCD 的体积与棱柱ADF -BCE 体积的比值．由三视图可得AD =DF =CD =a ，且AD ，DF ，CD 两两垂直，可得V ADF -BCE =S ADF ⋅DC =1AD ⋅DF ⋅DC =1a3，2 2棱锥体积V F -AMCD =1DF ⋅S3 ADMC，而S ADCM =1AD ⋅(AM +CD)=3 a2，2 4∴V =1 a2 ．从而P =V F -AMCD=1．故选 D．F -AMCD 4V ADF -BCE 2一、单选题1.如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它2落在阴影区域内的概率为．则阴影区域的面积约为（）3A.23【答案】CB.43C.83D.无法计算【解析】设阴影区域的面积为s ，s =2 ，∴ s =8 ．故选 C．4 3 32.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（）A.110【答案】BB.16C.15D.562π 4 3【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10分钟， ∴概率P=10 = 1．故选 B ． 60 63. 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为（）A. 1 -3 πB ． 3C ．3π D ．1 6464【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形 ABC 的面积S 三角形 =3 ⨯16 =4 4满足到正三角形 ABC 的顶点 A ， B ， C 的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，则S 阴 = 2π ，则使取到的点到三个顶点 A ， B ， C 的距离都大于 2 的概率为：P = 1 -= 1 -3 π ．故选 A ．64. 在区间[0,1] 上随机取两个数 x ， y ， 记 P 为事件" x + y ≤ 2" 的概率， 则 P =3（ ）A.23B.12C.49D.29【答案】D3π【解析】如图所示， 0 ≤ x ≤ 1， 0 ≤ y≤ 1 表示的平面区域为 ABCD ，平面区域内满足x + y ≤ 2 的部分为阴影部分的区域 APQ ，其中P ⎛ 2 ,0 ⎫ ， Q ⎛ 0, 2 ⎫， 33⎪ 3⎪⎝ ⎭⎝ ⎭1 ⨯2 ⨯ 2 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 p =2 3 3 = 2 ，故选 D ． 1⨯1 95. 在区间[0,2] 上随机取一个数， sin π x 2 1的值介于 0 到 2之间的概率为（ ）A.13【答案】A B.2 C.12D.23【解析】由0 ≤ sinπ x ≤ 1 ，得0 ≤ π x ≤ π ，或5π ≤ π x ≤ π ，∴ 0 ≤ x ≤ 1 或5≤ x ≤ 2 ， 记A = sin πx2 2 2 6 6 23 312的值介于 0 到 2 之间，则构成事件 A 的区域长度为1 - 0 + 2 - 5 = 2；全部结果的区域[0,2] 长度为 2； 3 3 3 2∴ P ( A ) = 3 = 1 ，故选 A ．2 36. 点P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的概率为（）A. 14【答案】CB. 12C.π4D.π【解析】满足条件的正方形 ABCD ，如图所示：x 21 - 4x 2 1 - 4其中满足动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积S = 1，阴影部分的面积S = 1π ．正阴4故动点P 到定点 A 的距离 PA < 1 的概率P = S 阴 = π ．故选 C ． x 2 +2S 正 47. 如图所示，在椭圆 4 y = 1 内任取一个点P ，则P 恰好取自椭圆的两个端点连 线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A ． 1 - 1B ． 1 -1 C ． 1D ． 1 -1 4 2π【答案】A4 4π18x 2 + 28 8π【解析】先求椭圆面积的 4 ，由 4 y = 1 知 y = ，S21 2∴ 椭 圆 = ⎰dx = ⎰ 4 - x 2 dx ， 40 2 021而⎰ 4 - x 2 dx 表示 y = 0与x = 0 ， x = 2 围成的面积，即圆x 2+ y 2= 4 面积的 ，42S1 2 π ∴ ⎰4 - x 2 dx = π ，∴ 椭圆 = ⎰ 4 - x 2 dx = ，∴ S 椭圆 = 2π ，π - 14 - x 24 20 2∴概率P =2 =1 -1，故选 A．2π 4 2π2π ππ π8. 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．1 - 2【答案】AB ． 22C ． π21 -2 π2【解析】S= π⨯1 = π ，又π sin dx = -cos x π = -(cos π - cos 0) = 2 ，∴ S = π - 2 ，矩形⎰0 阴影∴豆子落在图中阴影部分的概率为π - 2 = 1 - 2．故选 A ． 9. 把不超过实数x 的最大整数记为[x ] ，则函数 f ( x ) = [x ] 称作取整函数，又叫高斯函数，在[1,4]上任取x ，则[x ] = ⎡ 2x ⎤ 的概率为（）A.14【答案】DB.13⎣ ⎦C.12D.23【解析】当x ∈[1,2) 时，则⎡2x ⎤ = 1 ，满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ；当x ∈[2, 3) 时，[x ] = 2 ， ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2x ∈ ⎡2, 6 ) ，则⎡ 2x ⎤ = 2 ，满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ； ⎣⎣⎦⎣⎦当x ∈[3, 4) 时，[x ] = 3 ， 2x ∈ ⎡ 6,2 2 ) ，则⎡2x ⎤ = 2 不满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ；当x = 4 时，[x ] = 4 ， ⎣= 2，则⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦2x ⎤ = 2 ，不满足[x ] = ⎡ 2x ⎤ ．综上，满足[x ] = ⎡ ⎣ ⎦ 2x ⎤ 的x ∈[1, 3) ，则[x ] = ⎡ ⎣ ⎦2x ⎤ 的概率为 3 - 1＝ 2，⎣ ⎦故选 D ．⎣⎦4 - 1 310. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验2xD ．32π -2 3⎩ ⎩ 和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个x ， y 都小于 1 的正实数对( x , y ) ，再统计其中x ，y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x , y ) 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π 的值．如果统计结果是m = 34 ，那么可以估计π 的值为（ ） A.22 7【答案】BB.47 15C.51 161( x , y )D.53 17⎧0 < x < 1【解析】 由题意，120 对都小于 的正实数，满足⎨0 < y < 1 ，面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对( x , y ) ，x 2 + y 2 < 1⎧0 < x < 1 π -1满足且⎨0 < y < 1，面积为 4 2 ，∵统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对( x , y ) 的个数为m = 34 ，34π 1 47则120 = 4 - 2 ，∴ π = 15 ，故选 B ． 11. 为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图 1 所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图 2 所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形 ABC 内的概率为（ ）A ．B ．C ．3 2D ．1 - 3332π + 2 3△ABC 32 【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的， 由几何概型的概率计算公式可知所求概率：1⨯ 22 ⨯ sin 60oP = S △ABC = 2 = S u u u u u u u r ⎛ 1 21 2 o ⎫ 1 2 o△ABC 3 ⨯ ⨯ ⨯ 2 - 2 ⨯ ⨯ 2 ⨯ sin 60 ⎪ + ⨯ 2 ⨯ sin 60 ⎝ 2 3 2 ⎭ 2( S u u u u u u u r为莱洛三角形的面积），故选 A ．12. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ，直角边AB ， AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为 I ，黑色部分记为 II ，其余部分记为 III ．在整个图形中随机取一点，此点取自 I ，II ，III 的概率分别记为p 1 ， p 2 ， p 3 ，则（ ）A.p 1 = p 2B.p 1 = p 3C.p 2 = p 3D.p 1 = p 2 + p 3【答案】A【解析】设 AC = b ， AB = c ， BC = a ，则有b 2 + c 2 = a 2 ，从而可以求得△ABC 的面积为S 1 = 1 bc ， 2 ⎛ c ⎫2⎛ b ⎫2 ⎡ ⎛ a ⎫2 1 ⎤ ⎛ c 2 b 2 a 2 ⎫ 1 黑色部分的面积为S 2 = π ⋅ 2 ⎪ + π ⋅ 2 ⎪ - ⎢π ⋅ 2 ⎪ - 2 bc ⎥ = π 4 + 4 - 4 ⎪ + 2 bc= π ⋅ c 2 + b 2 - a 2 + 1 bc = 1bc ，4 2 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣⎢ ⎝ ⎭ ⎦⎥ ⎝ ⎭ ⎛ a ⎫2其余部分的面积为S = π ⋅ ⎪ ⎝⎭ - 1 bc = 2 πa 2 4 - 1 bc ，∴有S = S ， 2 1 23 2π - 2 32π 1根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 p 1 = p 2 ，故选 A ．二、填空题13. 在区间[0,2] 内任取一个实数a ，则使函数f ( x ) = log (2a -1) x 在(0, + ∞) 上为减函数的概率是 ．【答案】14【解析】∵函数 f ( x ) = log (2a -1) x 在(0, + ∞) 上为减函数，11 - 1∴ 0 < 2a - 1 < 1 ， < a < 1，因此所求概率为 2 = 1 ． 2 - 0 414．记集合 A = {( x , y ) x 2 + y 2 ≤ 16}，集合B = {( x , y ) x + y - 4 ≤ 0,( x , y ) ∈ A } 表示的平面区域分别为Ω1 ， Ω2 ． 若在区域Ω1 内任取一点 P ( x , y ) ， 则点 P 落在区域Ω2 中的概率为．【答案】3π + 2 4【解析】画出 A = {( x , y ) x 2 + y 2≤ 16}表示的区域Ω ，即图中以原点为圆心，半径为 2的圆；集合B = {( x , y ) x + y - 4 ≤ 0, 由题意可得S Ω = 16π ， S( x , y ) ∈ A } 表示的区域Ω2 ，即图中的阴影部分． = 3 ⨯16π + 1⨯ 4 ⨯ 4 = 12π + 8 ， 1Ω24 2ΩS ⎣ ⎝2⎡ ⎛ πx ⎫⎤ ⎛ 2 π ⎫根据几何概型概率公式可得所求概率为P = S Ω2 1= 3π + 2 4π 15. 如图， 曲线 y = sinπx + 3 把边长为 4 的正方形 OABC 分成黑色部分和白色部2分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．【答案】 14【解析】由题意可知，阴影部分的面积S4= ⎰ ⎢4 - sin + 3⎪⎥ dx = x - ⨯ cos x ⎪ 4 = 4 ， 1⎭⎦ ⎝π 2 ⎭正方形的面积： S 2 = 4 ⨯ 4 = 16 ，由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率： p = S 1=4 = 1 ．S 2 16 416. 父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上 6 点到 7 点之间，小明的爸爸晚上 5 点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上 5 点半到 6 点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率 （快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为．．⎩ ⎩ ⎝⎭ ⎩⎭ 【答案】18【解析】设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为 y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：⎧⎪( x , y ) ⎧5.5 ≤ x ≤ 6.5⎫⎪ S = 1 根据题意，所有基本事件构成的平面区域为⎨ ⎪⎩ ⎨6 ≤ y ≤7 ⎬ ，面积 ， ⎪⎭⎧ ⎧5.5 ≤ x ≤ 6.5⎫ ⎪( x , y ) ⎪6 ≤ y ≤ 7 ⎪爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为⎨ ⎨ ⎬ ， ⎪ ⎪x - y ≥ 0 ⎪直线x - y = 0 与直线x = 6.5 和 y = 6 交点坐标分别为(6,6) 和(6.5,6.5) ，1 ⎛ 1 ⎫21S 阴影 = 2 ⨯ 2 ⎪ = 8，由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率： P = S 阴影 = 1． S 81故答案为8 ．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。