概率统计章节练习题(1-3章)

第一章练习题

1. 选择题

(1) 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）

（A ） 36

1； （B ）181； （C ） 121； （D ） 61 (2) 设,A B ? 则下列正确的为（ ）

)(1)()(A P AB P A -= )()()()(A P B P A B P B -=-

)()()(B P A B P C = )()()(A P B A P D =

(3) 设事件A 与B 互斥，且1)(0<

)()()()()(AB P B A P B P B A P A =- )()()()()(A P B A P B P B A P B =+

)()()()()(A P B A P B P B A P C =- )()()()()(A P B A P B P B A P D =-

(4) 设0)(>A P ，则下列结论正确的是（ ）

)()()()()(B P A P A P A B P A -≥ )()()()()(B P A P A P A B P B +≥

)()()()()(B P A P A P A B P C -≥+ )()()()()(B P A P A P A B P D +≥

2. 填空题

(1) 若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。

(2) 某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的

概率为 。

(3) 设B A ,为两相互独立的事件，4.0)(,6.0)(==A P B A P ，则=)(B P 。

(4) 已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 。

(5) 将数字5,4,3,2,1写在5张卡片，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率

=)(A P 。

(6) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不

是三等品，则取到的是一等品的概率为 。

(7) 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试用A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发

生________________；②A 、B 发生，C 不发生_____________；③三个事件中至

少有一个 发生________________________。

（8）设()4.0=A P ，()7.0=+B A P ，若B A ,互不相容，则()=B P __________；若

B A , 相互独立，则()=B P ___________。

（9）设B A ,为二事件，且()4.0=A P ，()6.0=A B P ，则()=AB P ____________。

(10) 已知()4.0=A P ，()3.0=B P ，A 与B 相互独立，则()B A P +=_______。

(11) 10件产品中有5件次品，从中随机抽取2件，一次一件，已知第一件是次品，则

第二件也是次品的概率为________________。

(12)已知()()4/1==B P A P ，()8/1=AB P ，则()=B A P ___________。

3. 计算题

(1) 设有n 个房间，分给n 个人，每个人都以n

1的概率进入每一房间，而且每间房间里的人数没有限制，试求不出现空房的概率。

(2) 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年龄

为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？

(3) 在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进

行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率

(4) 一台机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的

概率是0.3，加工零件B 时停机的概率是0.4。

① 求这台机床停机的概率。

② 若发现停机了，问他在加工零件B 的概率为多少？

(5) 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率（设后面四个数

中的每一个数都是等可能地取自0，1，2……，9）。

(6) 甲，乙，丙三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，

1/4，问：①密码被译出的概率；②甲、乙译出而丙译不出的概率。

(7) 设甲袋中装有6只白球、4只红球；乙袋中装有2只白球、3只红球，今从甲袋中

任意取一只白球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问：

①取到白球的概率是多少？

②若取到白球，则从甲袋取到的也是白球的概率是多少？

(8) 从装有10个白球和6个红球的袋中任取1球，取后不放回，取两次。

求：①两次都取到红球的概率；②第二次才取到红球的概率。

(9) 甲、乙两战士同时独立地向一目标射击，已知甲命中率为0.7，乙命中率为0.6。 求：①甲、乙都击中的概率；②目标被击中的概率。

第二章练习题

1. 选择题

(1) 设离散型随机变量X 的分布律为：

X 0 1 2

P 0.3 0.5 0.2

其分布函数为F(x)，则F(3)=( )

A. 0

B. 0.3

C. 0.8

D. 1

(2) 随机变量X 的分布函数F （x ）的概率意义是( )

A. X 取值落入(),+∞∞-的概率。

B. X 取值落入(],x ∞-的概率。

C. X 取值落入(),x ∞-的概率。

D. X 取值落入],[x x -的概率。

(3) 下述说法中正确的是( )

A.如A 为一事件，且P(A)=0，则A=φ；

B.如B 为一事件，且P(B)=1，则B=S ；

C.如C=S ，则P(C)=1；

D.如A ，B 相互独立，则)()()(B P A P B A P +=?。

(4) 设随机变量X 服从正态分布，则随σ的增大，概率)|(|σμ<-X P ( )

A. 单调增大

B. 单调减小

C. 保持不变

D. 增减不定

(5) 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，则下列选项正确的是

( )

A.1)(0≤≤x f

B.)()(x F x X P ==

C. )()(x F x X P <=

D. )()(x f x X P ==

(6) 随机变量X 的密度函数为??

?=其它0)(sin )(x x f A.2

0π≤≤x B.ππ≤≤x 2 C.π≤≤x 0 D.23ππ≤≤x (7) 设随机变量X 与Y 均服从正态分布：X ～)4,(2μN ，Y ～)5,(2μN 。而

1p =)4(-≤μX P ，2p =)5(+≥μY P ，则对任意实数μ，下列选项成立的有

( )

A. 1p =2p

B. 1p <2p

C. 1p >2p

D.不能比较大小

(8) 设)(1x F 和)(2x F 分别是随机变量1X 与2X 的分布函数，为使

)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，

在下列给定的各组数据中应取( )

A. 5

2,53-==b a B. 32,32==b a C. 23,21=-=b a D. 2

3,21-==b a (9) 设X ～N(0,1)，,)(x ?为X 的密度函数，则)0(? =( ) A.0 B.π21 C.1 D.2

1 (10)设随机变量X 的密度函数为??

?∈=其它0],0[2)(A x x x f ，则常数A=( ) A.41 B.2

1 C.1 D.

2 (11)在相同的条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为0.6，

则击中目标的次数X 的概率分布为( )

A.二项分布)6.0,5(B

B.泊松分布)2(π

C.均匀分布)3,6.0(U

D. 正态分布)5,3(2N

(12)设X ～),(2σμN ，且概率密度为),(61)(6)2(2+∞-∞=

-x e x f π，则正确的是( ) A.2,3==σμ B. 3,2==σμ C. 3,2==σμ D. 3,2==σμ

(13)设F(x)是随机变量X 的分布函数，则对( )随机变量X ，有

)()()(1221x F x F x X x P -=<<

A.任意

B. 连续型

C.离散型

D. 个别离散型

(14)设X ～)4,0(N ，则)1(

2110221-?π B.?-10441dx e x C.2121-e π D.?∞--2121

2

21dx e x π (15)对于随机变量X ，函数)()(x X P x F ≤=称为X 的（ ）

A.概率分布

B.概率

C.概率密度

D.分布函数

2. 填空题

(1) 已知离散型随机变量X 只能取四个值，相应的概率分别为

c

c c c 167,85,43,21，则c=_______________

(2) 设X 服从两点分布，且)0()1(===X aP X P ，其中a>0为一常数，则

==)1(X P _______________

(3) 随机变量X 的分布函数为 ?????????≥<≤-+-<≤<=2

12122110200)(22

x x x x x x x x F 如果)5.1(≤

(4) 设X 服从参数为λ的泊松分布，且)4()2(===X P X P ，则λ=_______________

(5) 设),()(122+∞-∞=-+-x x

ke x f 是一密度函数，则k=_______________ (6) 随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1,15

)(===k k k X P 。则)21(==X X P 或=_______________

(7) 当X 服从参数为n 和p 的二项分布时，)(k X P ==_______________

(8) 设X ～]5,1[U ，则当5121<<

(9) 设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 重独立重复独立试验中，事件A 至

少发生一次的概率为_______________

(10)当X 为连续型随机变量时，必有)()(b X a P b X a P <<=≤≤，因为此时必有

_______________

3. 计算题

(1) 随机变量X 的密度函数为

???≤>=-0

00)(x x axe x f x

求 ①常数a ；②X 的分布函数；③ )1(≤X P 。

(2) 在某产品的自动生产线上，一旦发现次品，就立即进行调整。已知在每次调整后出

现次品的概率为p ，求在两次相邻调整之间生产出来的正品数X 的概率分布。

(3) 有10只二极管,寿命为1万小时的1只， 寿命为2万小时的2只， 寿命为3万小

时的5只， 寿命为4万小时的2只。从这10只二极管中任取一只，其寿命为X 万小时，求X 的分布律与分布函数。

(4) 轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方的铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以

使铁路交通遭到破坏。已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离X 的概率密度为：

?????????≤<-≤<-+=其它

100010000

100010010000100)(x x x x x f 如果三颗炸弹全部使用，问敌方铁路交通被破坏的概率是多少？

(5) 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信

号。求：

①进行5次独立试验，指示灯发出信号的概率；

②进行7次独立试验，指示灯发出信号的概率。

(6) 设X ～N(3,22)，试求常数C ，使得)()(C X P C X P ≤=>。

(7) 设随机变量X 在区间[a,b](0

∞)=0.50，求：①X 的概率密度；②P(1

(8) 设随机变量X ～B(2,p)，且9

5)1(=

≥X P ，求成功率为p 的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率。

(9) 设某产品的某项指标X ～),160(2σN 。问2σ不能超过多少时，才能确保%80)200120(≥≤≤X P ？

(10)设一大型设备在任何长为t 的时候内发生故障的次数N(t)服从参数为t λ的泊松分

布。①求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；②求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。

(11)设离散型随机变量X 的分布律为：

X –2 –1 0 1 2 3

P 0.1 0.2 0.25

0.2 0.15 0.1 求：①Y=–2X 的分布律；②Z=2X 的分布律。

(12)设X ～)3,60(2N ，求分点21,x x ，使X 分别落入),(),,(),,(2211+∞-∞x x x x 的概率

比为5:4:3。

(13)已知X 的密度函数)(x f X ，求X 的函数)(X f Y =的密度函数)(y f Y

①13,0

101)(+=???≤≤=X Y x x f X 其它； ②X Y x x x x f X ln ,000)1(2)(2=??

???<≥+=π。

(14)设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布。已知)2()1(===X P X P ，求

)4(=X P 。

(15)设随机变量X 的绝对值不大于1；81)1(=-=X P ，4

1)1(==X P ；在事件}11{<<-X 出现的条件下，X 在)1,1(-内的任一子区间上取值的条件概率与该区间长度成正比。求①X 的分布函数)(x F ；②X 取负值的概率。

4. 证明题

(1) 设随机变量X 分布函数是)()(x F x X P X =≤，试证明X 的函数)(X F Y X =服从

均匀分布U(0,1)。

(2) 设X 的概率密度)(x f 是偶函数,实数0>a ,证明X 的分布函数)(x F 满足：

①)0(F =0.5 ； ②)(1)(a F a F -=-； ③)](1[2)|(|a F a X P -=>。

(3) 设)(1x F 、)(2x F 都是分布函数，又0,0>>b a 是两个常数，且1=+b a ，证明

)()()(21x bF x aF x F +=是分布函数。

设X 是连续型随机变量，令X Y -=，证明Y 与X 有相同的密度函数。

第三章练习题

1. 填空题

(1) 设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为： X

0 1 P 12 12 则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为：_______________。

(2) 设X 和Y 为两个随机变量，且3{0,0}7P X Y ≥≥=

，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥=_________。

(3) 设平面区域D 由曲线1y x

=及直线0y =，1x =，2x e =所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为__________。

2. 选择题

(1) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：1{1}{1}2

P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====

，则下列各式中成立的是（ ）。 （A ）1{}2

P X Y ==；（B ）{}1P X Y ==； （C ）1{0}4P X Y +==；（D ）1{1}4

P XY ==。 (2) 设1()F x 与2()F x 分别是随机变量1X 与2X 的分布函数。为使

12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。

（A ）

32,55a b ==-；（B ）22,33a b ==-；（C ）13,22a b =-=；（D ）13,22

a b ==-。 (3) 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布为 m -1 1

{}P X m = 12 12

m

-1 1 {}P Y m =

12 12 则下列式子正确的是（ ）。 （A ）X Y =；（B ）{}0P X Y ==；（C ）1{}2P X Y ==

；（D ）{}1P X Y ==。 (4) 设随机变量10

1~11142

4i X ??- ? ? ? ???（1,2i =），且满足12{0}1P X X ==，则12{}P X X =等于（ ）

。 （A ）0； （B ）14； （C ）12； （D ）1。

(5) 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为???>>=+-其它

0,0),()

(y x e y x f y x ，则2Y X Z += 的概率密度为（ ）。

（A ）?????>>=+-其它00,021)()(y x e z f y x Z ；（B ）?????>>=+-其它

00,0)(2y x e

z f y x Z ； （C ）???≤>=-0004)(2z z ze z f z

Z ； （D ）?????≤>=-0

0021)(z z e z f z Z 。 3. 计算题

*(1)把一枚均匀硬币连掷3次，以X 表示三次中正面向上的次数，Y 表示三次中正面

向上的次数与反面向上的次数差的绝对值，试求(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律。

(2) 10件产品中有2件一级品，7件二级品，1件次品。从中任取3件，用X 表示其

中的一级品数，用Y 表示其中的二级品数，求(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律。

(3) 设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（0λ>）的泊松分布，每位乘客在中

途下车的概率为p （01p <<），且中途下车与否相互独立。以Y 表示在中途下车的人数，求：

①在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 个人下车的概率；

②二维随机变量(,)X Y 的联合分布律。

(4) 随机变量,X Y 相互独立，其概率密度函数分别为

1,01()0,X x f x ≤≤?=??其他，， ,0,()0,

0,y Y e y f y y -?>=?≤?

求随机变量2Z X Y =+的分布函数。 (5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2,0,0(,)0,

x y e x y f x y -+?>>=??其他，，求随机

变量2Z X Y =+的概率密度函数。

(6) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0(,)0,

y e x y f x y -?<<=??其他，，

①求X 的密度()X f x ；②求概率(1)P X Y +≤。

*(7)设X 与Y 的密度函数为1,||,01(,)0,y x x f x y <<

其他，，求①边缘密度()X f x 和()Y f y ；②条件密度|(|)X Y f x y ，|(|)Y X f y x ；③102P X Y ??>> ???

。

（8）设(,)X Y 的联合密度函数(23),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+?>>=??

其他，， 试求 ①常数A ；②X 的边缘密度函数；③(2)P X Y +<。

(9)一电子仪器有两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），

已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5().1,0,0(,)0,

x y x y e e e x y F x y ---+?--+≥≥=??其他

①问X 和Y 是否独立？ ②求两个部件的寿命都超过100小时的概率α。

（10）甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，

以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数。试求X 和Y 的联合概率分布。

（11）设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，请将其余数值填入表中的空白处。

Y

X 1y

2y 3y ?i p 1x 18

2x 18

j p ? 16

1 （12）设随机变量(,)X Y 的概率密度为(34),0,0(,)0,

x y ce x y f x y -+?>>=??其他，，试求：

①常数c ；②联合分布函数(,)F x y ；③讨论X 与Y 的独立性。

（13）设X 与Y 为两个相互独立的随机变量，他们的分布密度函数分别为

,0,()0,0;x X e x f x x -?>=?≤?,0,()0,

0.y Y e y f y y -?>=?≤?试求：①(,)X Y 的分布密度函数；

②(1|0)P X Y ≤>。 (14)设X 与Y 相互独立，且均在区间[0，1]上服从均匀分布，求Z X Y =+的密度函

数。

(15)设某种商品一周的需求量为随机变量，其密度函数为,0,()0,

0.t te t f t t -?>=?≤?又各周的需求量是相互独立的，试求①两周的需求量的密度函数1()f z ；②三周的需求量的密度函数2()f z 。