近三年高考全国卷理科立体几何真题

新课标卷近三年高考题

1、（20XX 年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠= ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE - F 都是60 ．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥

∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥

AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()

()000020E B a ，，，， ()3022022a C a A a a ??

? ???

，，，，

()020EB a = ，，，3222a BC a a ??

=- ? ???

，，，()200AB a =- ，， 设面BEC 法向量为()m x y z =

，，.

00m EB m BC ??=?

??=?? ，即1111203

2022

a y a x ay a z ?=????-+?=?? 111301x y z ===-，，

(

)

301m =

- ，，

设面ABC 法向量为()222n x y z =

，，

=0

0n BC n AB ?????=??

.即22223202220a x ay az ax ?-+=???=? 222034x y z ===，， ()

034n =

，，

设二面角E BC A --的大小为θ.

4219

cos 1931316m n m n

θ?-===-+?+? ∴二面角E BC A --的余弦值为219

19

-

2、（20XX 年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

【解析】⑴证明：∵54

AE CF ==，∴

AE CF

AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，

∴1AE

OH OD AO

=

?=，∴3DH D H '==， ∴2

2

2

'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由11

00n AB n AD ??=??'?=?? 得430330x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?，

∴()1345n =-u r

，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，，

∴1212

9575

cos 255210n n n n θ?+==

=?u r u u r

u r u u r ， ∴295

sin 25

θ=．

3、（20XX 年全国III 高考）如图，四棱锥P ABC -中，

PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，

2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN 平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦

值

.

设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即???

??=-+=-022

5042z y x z x ，可取

)1,2,0(=n ， 于是255

8|

||||||,cos |=?=>

4、【2015高考新课标2，理19】

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在

11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

45

15

．

【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

D

D 1

C 1

A 1 E

F

A B

C

B 1

A 1

A

B 1B

D 1D

C 1

C

F

E H

G

M

【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相

关点，先求出面α的法向量，利用sin cos ,n AF θ=<>

求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

5、【2015高考新课标1，理18

】

如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

3

又∵AE ⊥EC ，∴EG =3，EG ⊥AC ， 在Rt △EBG 中，可得BE =2，故DF =22

. 在Rt △FDG 中，可得FG =

62

. 在直角梯形BDFE 中，由BD =2，BE =2，DF =22可得EF =322

， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||

GB

为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，－3，0），E (1,0,

2)，F （－1,0，22），C （0，3，0），∴AE =（1，3，2），CF =（-1，

-3，

2

2

）.…10分

故3

cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ?<>==-

.

所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

3

3

. ……12分 【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角. 6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．

图1-3

解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .

(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．

如图，以A 为坐标原点，AB

→，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，

|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ()0，3，0，E ?

????0，32，12，AE

→＝? ????0，32，12.

设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．

设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，

则?????n 1·AC

→＝0，n 1·AE →＝0，即???mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，

可取n 1＝? ??

??

3m ，－1，3.

又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，

由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝1

2，即

33＋4m 2＝12

，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为1

2.三棱锥E -ACD 的体积V

＝13×12×3×32×12＝38.

7、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .

图1-5

(1)证明：AC ＝AB 1；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1 -C 1的余弦值．

解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．

又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO .

由于AO ?平面ABO ，故B 1C ⊥AO .

又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.

(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .

又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示

的空间直角坐标系O - xyz .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ? ????0，0，33，B (1，0，0)，B 1? ????0，33，0，C ? ??

??0，－33，0.

AB 1

→＝? ??

??0，33，－33， A 1B 1

→＝AB ＝?

????1，0，－33， B 1C →1＝BC ＝? ??

??－1，－33，0. 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则

?????n ·

AB 1＝0，n ·A 1B 1→＝0，即?????33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．

设m 是平面A 1B 1C 1的法向量， 则?????m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0，

同理可取m ＝(1，－3，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.

所以结合图形知二面角A -A 1B 1 - C 1的余弦值为1

7.