湘教版高中数学必修五模块测试
【湘教版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)(1)
一、选择题1．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A．1B ．2C ．3D ．42．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,33．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-4．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）A ．10 mB ．30 mC ．3mD ．6m6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．47．设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6a =，8b =，12c =，若D为AB 边的中点，则CD 的值为（ ） A ．7B ．10CD．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A．B．2C ．32D9．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>10．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．18911．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a12．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．14．实数,x y 满足约束条件20,10,0,x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为______15．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4c =，1cos 4C =-且3sin 2sin A B =，则a =________.16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积2228a b c S +-=，D为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________．17．ABC 中，a ，b ，c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，2224ABCa b c S+-=，则C =_________.18．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.19．已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________ 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____. 三、解答题21．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.22．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小；（3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.23．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 2sin .a B b A = （1）若3,7a b ==，求c ； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD 和仰角α的正切值．25．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn n a b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围.26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得max min 21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）.故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.2．C解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.3．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.4．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.5．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC10622==3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 32=AC 32=3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．6．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：223sin a bc A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得2223sin 2cos b c bc A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c+23sin 2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】 由已知可得：113sin 22bc A a a =⨯， 所以223sin a bc A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos 23sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+所以2223sin 2cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c+的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.7．C解析：C 【分析】由已知可求6AD BD ==，在ABC 中，由余弦定理可求cos B 的值，在BCD 中，利用余弦定理即可求得||CD 的值． 【详解】 解：6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，6AD BD ∴==，∴在ABC 中，222222612829cos 2261236a cb B ac +-+-===⨯⨯，∴在BCD 中，可得222229||2cos 662661436CD BD BC BD CB B =+-=+-⨯⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 62222ABCSac B =≤⨯⨯=， ∴△ABC的面积的最大值为2． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.9．A解析：A 【分析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得n a ，进而可得211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法即可求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅所以2141214()()[]2a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+解得11a =，所以*12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，所以211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=11111111(1)()432123342123n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以111()042123n n +>++，即13n T <， 所以13λ≥. 故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.11．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+,34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =-70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.12．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥ 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，2a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时取等号，32ab ab ∴-≥，230ab ab ∴--≥，即()()310ab ab -+≥解得：3ab ≥或1ab ≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已知条件转换成关于ab 的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．2【分析】作出不等式对应的平面区域利用z 的几何意义确定取得最大值的条件然后利用基本不等式进行求可得的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域由得则目标函数对应直线的斜率平移直线由图象可知当直线经过点A解析：2 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab 的最大值. 【详解】作出不等式对应的平面区域,由(0,0)z ax by a b =+>>得a z y x b b=-+， 则目标函数对应直线的斜率0a b -<，平移直线ay x b=-， 由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大.由2010x y x y -=⎧⎨--=⎩解得(2,1)A此时z 的最大值为2422z a b ab =+=，当且仅当2,1b a ==时取等号.24ab ∴解2ab 故答案为: 2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.15．【分析】根据正弦定理得到之间的关系再根据角对应的余弦定理结合已知条件即可求解出的值【详解】因为所以所以又因为所以解得故答案为：【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形其中涉及利用正弦定理完成角化边主要 解析：2【分析】根据正弦定理得到,a b 之间的关系，再根据角C 对应的余弦定理结合已知条件即可求解出a 的值.【详解】因为3sin 2sin A B =，所以32a b =，所以32b a =， 又因为4c =，1cos 4C =-，所以22316123422a a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2a =， 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，其中涉及利用正弦定理完成角化边，主要考查学生对公式的熟练运用，难度一般.16．【分析】由及三角形面积公式余弦定理可得又利用两角差的正切公式展开计算即可【详解】因为所以由三角形面积公式及余弦定理得所以又为等边三角形所以故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用涉及到 解析：8-+【分析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=, 所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形，所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++．故答案为：853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.17．【分析】由结合余弦定理得到求解【详解】因为所以即：因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：4π【分析】由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理得到tan 1C =求解.【详解】因为2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以222sin cos 2a b c C C ab+-==，即：tan 1C =，因为()0,C π∈， 所以4Cπ，故答案为：4π 【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可. 【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩． 目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为12． 故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题.19．【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n 解析：12n -【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4，∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .20．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列 解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯， 当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯， 当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯， 以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明： 当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立. 所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕） 所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.三、解答题21．（1）3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4；（3）0.65 【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544kx x ++≥=+4544k x x +=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦，故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+， 所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2）12x x >；（3）答案见解析 【分析】（1）取yy x x=⋅，代入已知等式即可证得结果； （2）由()()12f x f x <，结合（1）中等式()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再根据当且仅当1x >时，()0f x <成立得到121x x >，从而得到12x x >； （3）在已知等式中取特值1x y ==求出()10f =，由（2）可知函数f （x ）在定义域()0,∞+上是减函数，在不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦中，用()1f 替换0后利用函数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求. 【详解】（1）证明：∵()()()f xy f x f y =+，∴()()y f f x f y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）解：∵()()12f x f x <，∴()()120f x f x -<， 又()()11220x f f x f x x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∵当且仅当1x >时，()0f x <成立，∴当()0f x <时，1x >，∴121x x >，12x x >； （3）解：1x y ==代入()()()f xy f x f y =+得()()()111f f f =+，即()10f =，∴()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦可得()()2111f x a x a f ⎡⎤-+++>⎣⎦，由（2）可知函数()f x 在定义域()0,∞+上是减函数，∴()20111x a x a <-+++<，当13a -<<时，()()22141230a a a a ∆=+-+=--<，所以()2110x a x a -+++>恒成立；故只需满足()2111x a x a -+++<即()210x a x a -++<成立即可；即()()10x a x --<.当11a -<<时，1<<a x ；当1a =时，x ∈∅； 当13a <<时，1x a <<；综上可得：当11a -<<时，(),1x a ∈；当1a =时，x ∈∅；当13a <<时，()1,x a ∈ 【点睛】本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式. 23．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin 2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===-⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 23A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键. 24．1． 【分析】设山的高度CD =x ，在ABC 中，利用正弦定理求得CB ，AC ，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CBRt ACD 中，由tan CDACα=求解. 【详解】设山的高度CD =x 米，由题可得∠CAB =45°，∠ABC =105°，AB =300米，∠CBD =45°． 在ABC 中，得：∠ACB =180°-45°-105°=30°， 利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105AB CB AC==， 所以()300sin 45300sin1053002,15062sin30sin30CB AC ⨯⨯====+，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α=== 25．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）易知23n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）易得2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为16-，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】（1）因为()23f x x x =-，()n S f n =， 所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为16-， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦， 因为[]2,4x ∈，()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以()[]2,4f x ∈-， 当0m >时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得112m >； 当0m <时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即146m ->，解得124m <-， 0m =时，106->，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。
【湘教版】高中数学必修五期末模拟试卷(带答案)(3)
一、选择题1．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．32．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．9-C ．92D ．92-3．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b tN a t+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关5．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，51BC AC -=．根据这些信息，可得sin54︒=（ ）．A 15+ B 35+ C 45+ D 125-6．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知4cos 5C =，sin 5sin b C c A =，则ca=（ ） A ．5BC．D8．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB边上的一点，CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A．B．C．D．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 10．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6412．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.16．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，12DC =，则AC =_________． 17．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．18．已知点(3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.19．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.20．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 三、解答题21．已知函数2()31f x ax x =+-；（1）若()0f x <的解集为(1,)b -，求()f x 的零点， （2）若()f x 在(1,1)-内恰有1个零点，求a 的取值范围． 22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =， ①0a >，0b >，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 23．将函数()sin 3cos f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sincos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,236c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC 的面积. 24．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由. 25．已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 和为1128,22,10n S a b a a ==+=，___________.在①112n n S b =-，②2n a n b λ=这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b +的最小值. 【详解】由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，由韦达定理可得22a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．4．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<，又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.5．A解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得1cos364︒=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒== 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 3611sin sin 722sin 36cos362cos362BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠，∴cos36︒== 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．7．C解析：C 【分析】先根据正弦定理对sin 5sin b C c A =边角互化得5b a =，再结合余弦定理整理得ca=. 【详解】解：因为sin 5sin b C c A =，所以5bc ac =，即5b a =． 所以由余弦定理得：222242525185c a a a a a =+-⋅⋅=，整理化简得：ca= 故选：C. 【点睛】本题考查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础题.8．C解析：C【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022AC ADACD ACD ∠=∠=，可得sinACD ∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin ACBC B A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．9．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.11．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
【湘教版】高中数学必修五期末模拟试题及答案
一、选择题1．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．92．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．3．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225494．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（ ）A．BC．4D．27．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A．B．2C ．32D9．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ． (1)4n n -C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 11．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或12．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．14．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 18．太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.19．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=，则数列{}n b 的前100项和为________．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？22．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.23．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b是方程220x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.24．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值 25．在①2n an n b a =⋅，②10n n b a =-，③21n n n b a a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，22a =，且11a +、4a 、8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记_____________，求数列{}n b 的前n 项和n S .26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150xx y=⎧⎨+-=⎩，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y﹣1为y1 222x z=-++，由图可知，当直线y1222x z=-++过A时，z有最大值为8．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）()()a b a c++2，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =．∵212cos sin sin (2cos )sin 222A ABC A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin 2A =，所以11sin 22222ABCSbc A ==⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.7．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,即1sin cos A A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D本题考查正弦定理的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 62222ABCSac B =≤⨯⨯=，∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ．关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．10．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果. 【详解】 由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n aaa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.11．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=，14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】 由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小， 此时z 最大，由2222x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）． 代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24xx +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+ 得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos (642A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根， 故(),0k ∈-∞， 故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=， 因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确.对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈， 故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确.故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18．【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量设利用正弦定理公式可得影子长为是不变量且确定只需要最大计算即可得出结果【详解】光线照于地面与地面成角调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度则长度为如图所示：设 解析：sin dα【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d AC αθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC , 根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．19．92【分析】设的公差为d 由解得则然后由分和三种情况求解【详解】设的公差为d 所以解得∴记的前n 项和为则当时当时当即时∴故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用还解析：92 【分析】设{}n a 的公差为d ，由11a =，621S =，解得1d =，则n a n =，然后由[]lg n n b a =，分0lg 1n a ≤<， 1lg 2n a ≤<和 lg 2n a =三种情况求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，()6166212s a a =+=， 所以167a a +=， 解得1d =， ∴n a n =，记{}n b 的前n 项和为n T ，则[][][]1001210012100lg lg lg T b b b a a a =++⋯+=++⋯+， 当0lg 1n a ≤<时，1,2,9n =⋅⋅⋅，0n b =， 当1lg 2n a ≤<时，10,11,99n =⋅⋅⋅，1n b =， 当lg 2n a =，即100n a =时，2n b = ∴10009190292T =⨯+⨯+=．故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：9 4【分析】分别求出{}n a、{}n b的通项，再构建新数列212n nnc-=，求出{}n c最大项后可得实数λ的最小值.【详解】()*1n=∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n=+-⨯=，2*()na n n N∴=∈．当2n≥时，111(2)(2)2n n nn n nb S S m m---=-=---=，{}nb是等比数列，112b S m∴==-也适合12nnb-=，故21m-=即1m=，1*2()nnb n N-∴=∈．又n nb aλ≥恒成立等价于212nnλ-≥恒成立，2max max1()()2nnna nbλ-∴≥=，令212n nnc-=，则()2221121142222n n n n nnn n nc c--------=-=，当23n≤≤时，1-->n nc c，当4n≥时，10n nc c--<，故max39()4nc c==，94λ∴≥．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.三、解答题21．（1）400吨；（2）不获利，补40000元.【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002yxx x=+-，利用基本不等式求得yx的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-. 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k <∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k的取值范围是(-∞， 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．23．2S AB == 【分析】利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得. 【详解】,a b是方程220x -+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b c C ab ab -⨯-+--+-====⨯，解得c =所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯=24．3A π=，sin b Bc =【分析】由已知条件变形，结合余弦定理可求得A ，由2b ac =得=b ac b，结合正弦定理可求得sin b Bc. 【详解】由2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=. 因为2b ac =，所以=b a c b，所以sin sin sin 2b B a B Ac b === 故3A π=，sin b Bc =【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键. 25．（1）n a n =；（2）答案见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）选①，求得2nn b n =⋅，利用错位相减法可求得n S ；选②，求得10,101010,10n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩，分10n ≤和10n >两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得n S ； 选③，可得11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）因为11a +、4a 、8a 成等比数列，所以()24181a a a =+， 设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≥， 则有()()()2111317a d a a d +=++，① 又22a =，所以12a d +=，②联立①②解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a a n d n =+-=；（2）选①，则2nn b n =⋅，231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⋅--，化简得()1122n n S n +=-⋅+；选②，则10,101010,10n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩， 当10n ≤时，10n b n =-，()()9101922n n n n n S +--==； 当10n >时，()()()()2101109101918098101210+222n n n n n S n -+-⨯-+⎡⎤=++++++++-==⎣⎦.综上()219,10219180,102n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩；选③，则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111111111111213243546112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2111113521212412n n n S n n n n +⎛⎫∴=+--=⎪++++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和. 26．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式； （2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥.又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n =-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．。
【湘教版】高中数学必修五期末模拟试题(含答案)(3)
一、选择题1．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ）A ．720+B ．720- C ．720+ D ．720-4．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b5．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c △ABC 的面积Scos A ，则a ＝（ ）A ．1B ．C ．D ．6．设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知4cos 5C =，sin 5sin b C c A =，则ca=（ ）A ．5BC ．D 7．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-8．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 9．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．204810．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A ．33B ．22C ．14 D ．1211．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ） A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为212．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()243cos 220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则ABC 面积的最大值是______．16．在ABC 中，60,12,183ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C____________.17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.19．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．（1）已知3x <，求43x x +-的最大值； （2）已知,x y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值． （3）若实数,x y 满足2228x y +=，求244y x +-的取值范围．22．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能． 23．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．已知函数()2π2sin cos 62f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.2．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．3．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b =，a =720+， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．4．C解析：C【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ， 故选C ．考点：不等式比较大小．5．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cosA ，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A .所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先根据正弦定理对sin 5sin b C c A =边角互化得5b a =，再结合余弦定理整理得ca=. 【详解】解：因为sin 5sin b C c A =，所以5bc ac =，即5b a =． 所以由余弦定理得：222242525185c a a a a a =+-⋅⋅=，整理化简得：ca= 故选：C. 【点睛】本题考查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础题.7．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.9．C解析：C用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q == 故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C 【点睛】结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.10．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 11．A解析：A 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案 解析：56π【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，化简得tan 2θ=即可得解.设不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b为方程()2220x x θ-+=的两个根，1a ，1b为方程()224sin 210x x θ++=的两个根，由韦达定理得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，所以22sin 22θθ=-即tan 2θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈， 所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.14．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边解析：【分析】在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)45212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，)BD m =，135ADB ∠=，由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)AB m =.故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析：12【分析】先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =，2c b =，∴2222644cos b b b A =+-，可得22536cos 4b A b-=，∴sin A ==，由()2223043600b --≥，可得2436b ≤≤，即26b ≤≤，则ABC的面积221sin sin 122S bc A b A b ====≤，当且仅当2360b =时，即b =故答案为：12． 【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.16．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题 解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可. 【详解】113sin 1218322ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△6c ∴=由余弦定理可知222cos 144367263a b c bc A =+-=+-=6312sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++∴==⨯=++故答案为：12 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10ak b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b aa b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b aa b a b a b+=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由10y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828 ()()1010218b a b aa ba b a b a b a b+=++=++≥+⨯=．当且仅当2810,0b aa ba ba b⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18.点睛：⑴线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b=+>>的最值时，当0b>时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越大；当0b<时，直线z ax by=+越向上平移，z取值越小；⑵用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m+=为常数，则111111()()(2)b aa ba b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．18．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC的面积为111sin1202sin602sin60222ac a c=⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c=+，∴1112a c+=.∴3(3)a c a c+=+1132242(423)843c aa c a c⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当33843c aa ca c⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233ac⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号.所以，a+3c的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.19．34【分析】当为奇数时可得当为偶数时利用等差数列的通项公式及前项和公式即可得出【详解】当为奇数时当为偶数时则数列是以为首项的等差数列故答案为:34【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式解析：34 【分析】当n 为奇数时，20n na a +-=，可得135792a a a a a =====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得出. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈， ∴ 当n 为奇数时，20n n a a +-= ，135792a a a a a ∴=====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，则数列{}2n a 是以23a =为首项，2的等差数列，()()12913924843253422a a a a a a a a a ⨯⎛⎫∴+++=+++++++=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭34=.故答案为: 34 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）1-；（2）1+；（3）[12,6]-. 【分析】 （1）由于()443333x x x x +=+-+--，再根据基本不等式求解即可； （2）根据题意得()114x y +=，再利用基本不等式“1”的用法求解即可； （3）将2282y x =-代入244y x +-，再配方求解即可得答案.【详解】解：（1）因为3x <，所以30x -<，30x ->， 所以()443333x x x x ⎡⎤+=-+-+⎢⎥--⎣⎦31≤-=-， 当且仅当4323x x=-=-，即1x =时等号成立， 所以43x x +-的最大值为1-. （2）由于,x y 是正实数，且4x y +=，所以()1311313444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14142⎛≥+=+ ⎝当且仅当3y xx y=，即(23y ==时等号成立.故13x y +的最小值为12+. （3）由于实数,x y 满足2228x y +=，故22820,22y x x =-≥∴-≤≤ 所以22448244y x x x +-=-+-()222442166x x x =-++=--+≤，当2x =-时，244y x +-取得最小值为12- 故244y x +-的取值范围为[12,6]-. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，注意自变量的取值范围，考查化归转化思想，运算能力，是中档题. 22．(1)42sin 100090000x x θ=++;(2)视角30达到最佳．【分析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得421sin 21600100090000x x θ=≤=++,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠= (1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-2222222230103010xxxx=⋅-⋅++++42100090000x x =++(2)421sin 21600100090000x x θ=≤=++, 当且仅当2290000x x =,即103x =时,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒ 即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等.23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或 【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==， 因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=±⎭+ 又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin262ABCSπ=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.24．（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,24⎛+ ⎝⎦.【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS ，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B角范围，从而得面积的范围． 【详解】 （1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 262x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=⋅+- ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 22sin 22224423x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，b B =，c C =．所以11πsin sin sin 222224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫==⨯==+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 242B ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以π111sin 2,44424ABCS B ⎛⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等．25．（1）n a n =；（2）()()23412n n n n +++.【分析】（1）由已知求得1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，结合332S a =，8522a a =-，()()111133227242a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得：11a d == 所以11n a n n =+-= （2）()()()()()1211111122112n n n n b a a a n n n n n n n ++⎡⎤===-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦()()()11111111121223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()211132212412n n nT n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++++⎣⎦． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n nn a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+， 即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---，∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N<+∈. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.。
【湘教版】高中数学必修五期末第一次模拟试卷(带答案)(2)
一、选择题1．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1212．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤D ．c 9>3．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D16．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A．12+B．C．D．6+7．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A．4B．2C ．34D ．328．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．129．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2410．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a11．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1011B ．910C ．89 D ．212．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.14．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.15．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 16．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.17．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.18．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______.三、解答题21．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．22．已知集合(){}2log 421xA xy ==-+∣，1,11B yy x a x x ⎧⎫==++>-⎨⎬+⎩⎭∣. （1）求集合A 和集合B ； （2）若“Rx B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)cos cos a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．24．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求cb；（2）若cos 2c A b =，且ABC a . 25．已知等差数列{}n a ，且55a =，515S =，首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n b 前n 项和n T .26．从条件①()21n n S n a =+，(2)n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___________． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=， 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．2．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c-+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．3．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b+-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈， 所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 32sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，ABC的周长是6a b c ++=+故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）. ∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．10．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解.33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+-(7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈得3C π=故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.15．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．16．【分析】根据结合余弦定理可得再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式再根据锐角求得的取值范围结合三角函数的性质求解值域即可【详解】因为故所以又锐角故由正弦定理所以又锐角故解得即故故答案为：【点睛】解析：(【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可. 【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112sin cos 2cos 2sin 22226A A A A A A π⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.17．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：22⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】由题意可知sincos666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=，由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得a b ≤+≤故答案为22⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．8【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】①②②①得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n 项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥，当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.22．（1）(,2)A =-∞，[1,)B a =++∞；（2）1a >． 【分析】（1）由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域，即集合A ，利用基本不等式求函数的值域可得集合B ；（2）根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定a 的范围． 【详解】（1）4202x x ->⇒<，所以(,2)A =-∞，因为1x >-，所以10x +>，所以11(1)11111y x a x a a a x x =++=+++-≥-=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时等号成立． 所以[1,)B a =++∞． （2）由（1）(,1)RB a =-∞+，因为“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A 是B R的真子集，所以12a +>，所以1a >． 【点睛】本题考查求函数的定义域和值域，考查充分必要条件与集合包含之间的关系，考查对数函数、指数函数性质，考查基本不等式求最值，考查由集合包含关系求参数取值范围．知识点较多，但内容较基础．属于中档题． 23．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可. 【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴cos C =． ∵()0,πC ∈，∴π4C =． （2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--= 化简，得222a b =．又∵a =∴1b =．∴ABC 的面积111sin 12222ABC ab C S ==⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．24．（1）3；（2） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =.（2）由（1）知cos A =，则sin A =，又ABC 的面积为21sin 244bc A c ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 2792327a b c bc A =+-=+-⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键. 25．（1）n a n =，(1)2n n n S +=；（2）1242n n n T -+=-. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，结合55a =，515S =列出关于首项与公差的方程组，求出首项和公差，可得数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； （2）先求得()11112n n b b n n n +=⋅≥+，得到n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是111b =为首项，12为公比的等比数列，可得数列{}n b 的通项公式：12n n nb -=，再用错位相减法可得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）依题意，设数列{}n a 的公差为d 因为53515S a ==，所以33a =，故35153a a d -==-． 故()33n a a n d n =+-=，(1)2n n n S +=（2）依题意，112n n n n b a b a ++=，()11112n n b bn n n +=⋅≥+所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是111b =为首项，12为公比的等比数列，112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=01221123122222n n n n n T ---=+++⋅⋅⋅++ 123111*********n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅ 12111112122121222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=-- 所以1242n n n T -+=-. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是等差数列通项公式与求和公式、等比数列前n 项和公式、错位相减求和，综合性强，难度中档．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：（1）掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列）；（2）相减时注意最后一项的符号； （3）求和时注意项数别出错；（4）最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 26．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】选①时，先写()1122n n S n a ++=+，作差得到n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即求得n a n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选②时，代入1n n n a S S -=-，化简得到是等差数列，求得2n S n =，再计算n a 即可，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选③时，先写21112n n n a a S ++++=，作差得到数列{}n a 是等差数列，即求得na n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可. 【详解】解：若选①，()21n n S n a =+，则()1122n n S n a ++=+， 两式作差得()()11221n n n a n a n a ++-=++，即101n n a a n n，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项是111a =，公差是0，故1n a n =，所以n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =， 结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.若选②(2)n a n =≥，11a =，故0n S >1n n n a S S -=-=，=1=，2n ≥，故1=，公差是1n =，故2n S n =.2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，且11a =也适合该式，故数列{}n a 的通项公式21n a n =-；11a =，21k a k =-，()222k S k +=+，结合题意知，()()222112k k -=⋅+，即23830k k --=，解得3k =或13k =-， 因为k 是正整数，所以3k =.若选③，0n a >，22n n n a a S +=，则21112n n n a a S ++++=，两式作差得()211n n a a +++()212n n n a a a +-+=，化简得()()1110n n n n a a a a +++--=，由0n a >知，10n n a a ++>，得110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 数列{}n a 是等差数列，首项是1，公差为1，故n a n =； 由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，若已知式是关于na 和n S 关系式时，也通常利用两式作差得到1n n n S S a --=消去n S ，或者代入1n n n a S S -=-消去n a ，进行化简计算.。
【湘教版】高中数学必修五期末第一次模拟试卷(带答案)(3)
一、选择题1．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．952．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．13．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，3DE =，2DM EM ==，3sin 5F =，则边EF 的长为（ ）A ．4916B 157C ．154D 578．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．439．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（ ） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a11．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.14．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.17．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 18．太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______. 19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______.三、解答题21．已知函数()223f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若对任意实数x ,都有()3f x a x ≥-，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.(1)若函数()f x 的最小值是()10f -=，且1c =，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()22F F +-的值；(2)若1,0a c ==，且()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立，试求b 的取值范围. 23．在ABC 中，1cos 8C =-，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）sin B 的值； （2）ABC 的面积.条件①：4a =，6c =；条件②：4a =，ABC 为等腰三角形.24．如图，观测站C 在目标A 的南偏西20方向，经过A 处有一条南偏东40走向的公路，在C 处观测到与C 相距31km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20km 到达D 处，此时测得,C D 相距21km ，求,D A 之间的距离.25．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 26．数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p 为常数) （1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和； （2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242 x yzx+-=-，并理解z的几何意义，利用数形结合分析问题.2．C解析：C【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x，y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线122zy x=-，由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小， 420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.3．B解析：B 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.5．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈， 所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=.因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.7．D解析：D 【分析】利用余弦定理求得cos EMD ∠，由此求得cos EMF ∠，进而求得sin EMF ∠，利用正弦定理求得EF . 【详解】在三角形DEM 中，由余弦定理得2222231cos 2228EMD +-∠==-⨯⨯，所以1cos 8EMF ∠=，由于0EMF π<∠<，所以sin EMF ∠==. 在三角形EFM中，由正弦定理得283sin sin 45EF EMEF EMF F=⇒==∠. 故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．9．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.10．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.11．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果. 【详解】 由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n na a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等价于小于等于最小值从而可求出的范围【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号因为不等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案为：【点睛】易错点睛：利用基解析：32m ≤ 【分析】 由21a b +=可得1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭322a b b b a b+=+++，然后利用基本不等式可求出11322b a b +≥+1102m b a b+-≥+恒成立，等价于m 小于等于112b a b ++最小值，从而可求出m 的范围 【详解】解：因为21a b +=， 所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=+当且仅当2a b bb a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤ 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：3+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积． 【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 22323ABCSab C ==⨯⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：23π 【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =， 所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-，因为()0,C π∈，所以23C π=， 则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量设利用正弦定理公式可得影子长为是不变量且确定只需要最大计算即可得出结果【详解】光线照于地面与地面成角调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度则长度为如图所示：设 解析：sin dα【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d AC αθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC , 根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．19．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021【分析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可. 【详解】因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-, 两边同除以1n n S S +-得：1111n nS S +-=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+， 所以202012021S = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.20．8【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】①②②①得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n 项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.三、解答题21．（1）5{|5}3x x -≤≤;(2) 5a ≤. 【解析】试题分析：（1） 零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数，由此解得解集为55,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）原不等式等价于23x x a -++≥恒成立.左边()23235x x x x -++≥--+=，故5a ≤.（1）1.当0x ≤时，()22322350f x x x x x x =--+=-++=+≥ 解得50x -≤≤2.当2x ≥时，()22322310f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得无解3.当02x <<时，()223223350f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得503x <≤综上可知不等式解集5{|5}3x x -≤≤（2）()3f x a x ≥-恒成立，即()23f x x x a =-++≥恒成立()23235x x x x -++≥--+=,故有5a ≤.22．(1) 8； (2)[]2,0-. 【分析】（1）根据函数()f x 的最小值是()10f -=且1c =，建立方程关系，求出a b 、的值，从而可求()()22F F +-的值；（2）将不等式()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立等价于1b x x ≤-且1b x x ≥--恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论. 【详解】 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立. 又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2 ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]. 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.23．（1）4；（2） 【分析】先选条件，再分别解答：选择条件①：4a =，6c =，先用正弦定理求出sin cos A A ，，利用()sin =sin B A C +求出sin B ，直接套面积公式1sin 2ABC S ac B =△求面积；选择条件②：4a =，ABC 为等腰三角形；先分析C 为钝角，只能只能A =B ，用余弦定理求出6c =，再用正弦定理求出sin cos A A ，，利用()sin =sin B A C +求出sin B ，直接套面积公式1sin 2ABC S ac B =△求面积； 【详解】选择条件①：4a =，6c =； 在ABC 中，1cos 8C =-，4a =，6c =；（1）∵1πcos ,π,sin 828C C C ⎛⎫=-∴∈==⎪⎝⎭，,由正弦定理得：sin sin a cA C=,即4sin A =，解得π3sin ,0cos 424A A A ⎛⎫=∈∴=== ⎪⎝⎭，所以()13sin =sin sin cos cos sin 48484B AC A C A C ⎛⎫+=+=-+⨯=⎪⎝⎭即sin B（2）11sin 46224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△即ABC 的面积为选择条件②：4a =，ABC 为等腰三角形；（1）∵1cos sin 8C C =-∴==，且C 为钝角. ∴只能A =B ，∴4a b ==由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2221442448c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得：6c =由正弦定理得：sin sin a cA C=,即4sin 8A =，解得3sin cos 4A A =∴=== 所以()13sin =sin sin cos cos sin 84B A C A C A C ⎛⎫+=+=-+=⎪⎝⎭即sin =4B （2）11sin 4622ABC S ac B ==⨯⨯=△ 即ABC的面积为【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． 24．15公理. 【分析】先求出cos BDC ∠，进而设ADC α∠=，则sin ,cos αα可求，在ACD △中，由正弦定理求得AD ，即可得到答案. 【详解】由题意知21,31,20CD BC BD ===,在BCD △中，由余弦定理可得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，设ADC α∠=，则1sin 7αα==，可得11sin()sincos cossin 333272714πππααα+=+=⨯+⨯=在ACD △中，由正弦定理得21sin()sin33ADππα=+，所以sin()153AD πα=+=，即所求的距离为15公理. 【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果. 25．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案； （2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-． （2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， 令120201212021n ->+，解得1010n >， 所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）21n n +；（2）证明见解析，122n n S n +=--. 【分析】（1）由已知条件判定数列为等差数列，求得通项公式，进而得到n S ，利用裂项求和法进一步求得n T ；（2）在已知递推关系两边同时加上1，可以证得数列{}1n a +为等比数列，求得通项公式，进而利用分组求和法和等比数列的求和公式计算n S . 【详解】（1）当1p =, 11n n a a +=+,∴数列{}n a 为等差数列，公差1d =,又11a =，∴1(1)1(1)n a a n d n n =+-=+-=，()()1122n n a a n n n S ++∴==, ()122211n S n n n n ∴==-++, ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和 121112222222221334111n n n T S S S n n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++； （2）当2p =时，121n n a a +=+，1211)12(1n n n a a a +=++=++，又11a =，∴112a +=，∴数列{}1n a +是首相为2，公比为2的等比数列，∴12n n a +=，∴21n n a =-，∴1212(21)(21)...(21)22...2n n n S n=-+-++-=+++-()12122212n n n n +-=-=---.【点睛】 本题考查等差数列的判定与求和，等比数列的判定与求和，裂项求和法和分组求和法，难度不大.关键是掌握裂项相消求和方法和利用定义证明等比数列.。
【湘教版】高中数学必修五期末模拟试题(及答案)(1)
一、选择题1．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ） AB ．CD ．22．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6543．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）4．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，()sin 3sin A A C =+，则2bca =（ ） ABC ．23D5．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 6．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形7．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ）A．56πB．6πC．3πD．2π8．设实数,x y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112zx y=+的取值范围是（）A．514z≤≤B．1524z≤≤C．112z≤≤D．312z≤≤9．已知等差数列{}n a满足3434a a=，则该数列中一定为零的项为（）A．6a B．7a C．8a D．9a10．已知椭圆2222x ya b+=1(a>b>0)与双曲线2222x ym n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 ()A．3B．2C．14D．1211．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A．153 B．190 C．231 D．27612．已知数列{}n a满足123n na a+-=，11a=，3n nb a=+，则10b=（）A．92B．103C．2048 D．1024二、填空题13．若0x>，0y>，若()()144x y--=则x y+的最小值为_________.14．若正数,x y满足113122x y xy++=，则xy的最小值为_________.15．已知x，y满足约束条件21034032120x yx yx y++⎧⎪-+⎨⎪-+⎩，则3z x y=+的最大值为___________. 16．已知ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，且2ABD ADCS S=△△，1AD=，12DC=，则AC=_________．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sin B＝5sin A，则C＝_____．18．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且cos cos sinb Cc B a A+=，则A=________.19．已知等差数列{}n a的首项是19-，公差是2，则数列{}n a的前n项和n S的最小值是_______.20．等比数列{}n a前n项和为n S，若634SS=，则96SS=______.三、解答题21．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x米，请用S表示蔬菜的种植面积，并求出x的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．22．设1x>，且4149(1)xx+--的最小值为m．（1）求m；（2）若关于x的不等式20ax ax m-+的解集为R，求a的取值范围．23．在ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知：5,2,45b c B==∠=︒．（1）求边BC的长和三角形ABC的面积；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADB，求tan DAC∠的值．24．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由.25．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25252a b a b+≥⋅. 【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>， ∴252522a b a b+≥⋅=当且仅当2,5a b ==时等号成立.∴25a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．4．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：6c b =，则2663bc b b a b ⋅==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.5．D解析：D由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c bc a ac+-+-=，利用余弦定理求角. 【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴22213a c a c b c a ac+-+-==∴3cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.8．B解析：B 【分析】画出不等式组对应的平面区域，由,x y 都取最大值得出z 的最小值，当z 取最大值时，点(),x y 落在直线250x y +-=上，再结合基本不等式得出z 的最大值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示由可行域易知，当4,2x y ==时，112z x y =+取得最小值111442+= 当点(),x y 落在直线250x y +-=上时，112z x y=+取得最大值 此时25x y +=，2225224x y xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭ 112542225x y z x y xy xy +∴=+==≥ 当且仅当2x y =，即55,24x y ==时取等号，显然55,24⎛⎫⎪⎝⎭在可行域内 即1524z ≤≤ 故选：B 【点睛】关键点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.9．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.10．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-， 累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--， 即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．C解析：C【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案.【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=，14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项 解析：【分析】 先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=，得40xy x y --=，又0x >，0y >， 得411y x+=，则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果.【详解】 由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以22≥-≥≤，≥≤ 所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．-2【分析】根据条件作出可行域由目标函数表示的几何意义可得答案【详解】由xy 满足约束条件作出可行域如图将化为表示直线在轴上的截距由图可知当直线过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得所以的最大值为故 解析：-2【分析】根据条件作出可行域，由目标函数表示的几何意义可得答案.【详解】由x ，y 满足约束条件21034032120x y x y x y ++⎧⎪-+⎨⎪-+⎩，作出可行域，如图.将3z x y =+化为3y x z =-+，z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线3y x z =-+过点时，直线3y x z =-+在y 轴上的截距最大，此时z 最大.由210340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得()1,1C - 所以z 的最大值为()3112⨯-+=-故答案为：-2【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过解析：2【分析】 由面积比得2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2AB AC=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ． 【详解】 由已知1sin 221sin 2ABD ACD BD AD ADB S BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，12CD =，则1BD =， 又AD 平分BAC ∠，所以2AB BD AC CD==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，22222114cos 1222BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠===-⋅， 同理，ACD △中，221154cos 14212x ADC x +-∠==-⨯⨯， 因为180ADB ADC ∠+∠=︒， 所以225cos cos 1204ADB ADC x x ∠+∠=-+-=，解得x （负的舍去），故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．17．【分析】由正余弦定理可得的余弦值进而求出的值【详解】因为则由正弦定理可得所以又所以由余弦定理可得又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用考查了运算能力属于中档题 解析：23π 【分析】由正余弦定理可得C 的余弦值，进而求出C 的值.【详解】因为3sin 5sin B A =，则由正弦定理可得35b a =，所以35a b =， 又2a c b +=，所以725c b a b =-=， 由余弦定理可得22222294912525cos 32225b b b a b c C ab b b +-+-===-⋅⋅， 又因为(0,)C π∈， 所以23C π=， 故答案为：23π．【点睛】 本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．18．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为 解析：2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ．【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=． 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦． 19．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数 解析：100-.【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值.【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-.故答案为：100-.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.20．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】 根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠， 所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
【湘教版】高中数学必修五期末第一次模拟试题及答案(1)
一、选择题1．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤2．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．103．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<4．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD5．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518B ．34C．2D ．787．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B．C ．3D．8．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A．B ．12mC．D．9．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2410．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．3611．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6412．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276二、填空题13．若正数,x y 满足113122x y xy++=，则xy 的最小值为_________. 14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则sin sin BC=______. 16．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，12DC =，则AC =_________． 17．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．18．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．19．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.三、解答题21．已知函数2()31f x ax x =+-；（1）若()0f x <的解集为(1,)b -，求()f x 的零点， （2）若()f x 在(1,1)-内恰有1个零点，求a 的取值范围．22．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1．23．在①tan 2tan B C =，②22312b a -=，③cos 2cos b C c B =三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 及其对边,,a b c ，若2c =，且满足___________.求ABC ∆的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)24．已知ABC 中，51tan 43A π⎫⎛-=⎪⎝⎭． （1）求2sin cos2A A +的值；（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值．25．从条件①()21n n S n a =+，(2)n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___________． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x=+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 2．B解析：B 【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法3．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的4．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）720+≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．5．B解析：B 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 6．D解析：D 【解析】设顶角为C ，∵l=5c ， ∴a=b=2c ，由余弦定理得：222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯． 故答案为D.7．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ．本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即222312233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =； 选①②③④，则3AB h =，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即()222361222233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ．关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．10．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.11．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.12．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必解析：92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以2)22≥2-≥2≤，2≥2≤-（舍），所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最1- 【分析】 由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4zy x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-，()2717134343343xx y x y x x z x x x +∴+-=-=---，()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立，因此，x yx yz++-的最小值为2113-.故答案为：211-.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算解析：12【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果．【详解】解：ABC中，D是边BC上的点，满足90BAD∠=︒，30DAC∠=︒，4BD CD=，所以1sin90221sin302ABDACDAB ADS ABS ACAC AD⋅︒==⋅⋅︒△△，又因为4ABDACDS BDS CD==△△，则24AB BDAC CD==，则sin1sin2B ACC AB==.故答案为：12.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过【分析】由面积比得2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2ABAC=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ．【详解】由已知1sin 221sin 2ABD ACD BD AD ADBS BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，12CD =，则1BD =， 又AD 平分BAC ∠，所以2AB BDAC CD==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，22222114cos 1222BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠===-⋅， 同理，ACD △中，221154cos 14212x ADC x +-∠==-⨯⨯， 因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以225cos cos 1204ADB ADC x x ∠+∠=-+-=，解得x （负的舍去），【点睛】本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．17．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：4【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=， 同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos α=, 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.18．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.19．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.三、解答题21．（1）函数()f x 的零点为11,4-；（2）9[2,4]4a ⎧⎫∈-⋃-⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由不等式解集与一元二次方程的根的关系得方程的根，由方程根的定义可求参数值，然后解方程可得零点．（2）可利用一元二次方程根的分布分类求解．注意分类0a =和0a ≠，在0a ≠时，()0f x =在(1,1)-上有一个解，还有1-是一个解，1是一个解分别求出另一解判断，另外0∆=时进行检验．从而可得结论．【详解】（1）依题意得方程2310ax x +-=的两根为-1，b ， 将1x =-代入方程得4a =，于是方程2310ax x +-=可化为24310x x +-=，解得1x =-或14x =． 所以函数()f x 的零点为11,4-． （2）因为函数2()31f x ax x =+-在(1,1)-内恰有1个零点，所以该函数图象在(1,1)-内与x 轴只有一个公共点．（i ）当0a =时，由()31=0f x x =-，得1=(1,1)3x ∈-，故0a =满足题意； （ii ）当0a ≠时，①当函数()f x 的图象在x 轴两侧时，则由(1)(1)(4)(2)0f f a a -=-+<， 解得24a -<<，此时24a -<<且0a ≠，满足题意 当2a =-时，1(1,1)2x =∈-，满足题意； 当4a =时，1(1,1)4x =∈-，满足题意． ②当函数()f x 的图象在x 轴同侧时，则由23-4(1)0a ∆=⨯⨯-=， 解得94a =-． 由29()31=04f x x x =+--即2912+4=0x x -解得()21,13x =∈-， 故94a =-，满足题意．综上所述，a 的取值范围是9[2,4]4⎧⎫-⋃-⎨⎬⎩⎭． 【点睛】易错点睛：本题考查一元二次不等式的解集、一元二次方程的根、二次函数的图象之间的关系，掌握三个“二次”的关系是解题关键．利用二次函数图象可得一元二次方程根的分布的知识．要注意根的分布结论都是在开区间(,)a b 有解，而实际解题时还要分类讨论a 或者b 是方程根的情形，否则可能漏解． 22．(1) m 34-＞；(2)见解析 【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m 的取值范围；（2）讨论0＜a ＜1、a ＝0和a ＜0，分别求出对应不等式的解集． 【详解】（1）不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1化为（m 2+1）x 2﹣（2m ﹣1）x +1＞0， 由m 2+1＞0知，△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2+1）＜0， 化简得﹣4m ﹣3＜0，解得m 34-＞， 所以实数m 的取值范围是m 34-＞； （2）0＜a ＜1时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＞0，且1a＞1，解得x ＜1或x 1a＞， 所以不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为﹣（x ﹣1）＞0， 解得x ＜1，所以不等式的解集为{x |x ＜1}；a ＜0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＜0，且1a＜1， 解得1a＜x ＜1，所以不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上知，0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}； a ＜0时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题． 23．条件选择见解析；最大值为3. 【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到22312b a -=，再由余弦定理得28cos 2b A b -=，进而求得sin A ，利用面积公式求得ABCS ∆=，即可求解. 【详解】选择条件①：因为tan 2tan B C =，所以sin cos 2sin cos B C C B =， 根据正弦定理可得cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 又由2c =，可得22312b a -=，根据余弦定理得22228cos 22b c a b A bc b+--==，则sin A ===，所以1sin 22ABCSbc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件②：因为22312b a -=，由余弦定理得22228cos 22b c a b A hc h+--==，所以sin A ===，1sin 22ABCS bc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件③：因为cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 因为2c =，可得22312b a -=，又由余弦定理得：22228cos 22b c a b A bc b+--==，所以sin A ===，1sin 22ABCS bc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 24．（1）45；（2）2. 【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，1tan 2A =，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计算可得；【详解】 解：（1）5tan tan 44A A ππ⎫⎫⎛⎛-=-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3A A -==+，解得1tan 2A =，故2222cos sin cos2sin cos AA A A A +=+214tan 15A ==+． （2）由（1）可知，sin 1tan cos 2A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；联立①②，解得sin 5A =，cos 5A =．又1sin 42S bc A ==，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．25．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】选①时，先写()1122n n S n a ++=+，作差得到n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即求得n a n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选②时，代入1n n n a S S -=-，化简得到是等差数列，求得2n S n =，再计算n a 即可，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选③时，先写21112n n n a a S ++++=，作差得到数列{}n a 是等差数列，即求得na n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可. 【详解】解：若选①，()21n n S n a =+，则()1122n n S n a ++=+， 两式作差得()()11221n n n a n a n a ++-=++，即101n na a n n，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项是111a =，公差是0，故1n a n =，所以n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =， 结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.若选②(2)n a n =≥，11a =，故0n S >1n n n a S S -=-=，=1=，2n ≥，故1=，公差是1n =，故2n S n =.2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，且11a =也适合该式，故数列{}n a 的通项公式21n a n =-；11a =，21k a k =-，()222k S k +=+，结合题意知，()()222112k k -=⋅+，即23830k k --=，解得3k =或13k =-， 因为k 是正整数，所以3k =.若选③，0n a >，22n n n a a S +=，则21112n n n a a S ++++=，两式作差得()211n n a a +++()212n n n a a a +-+=，化简得()()1110n n n n a a a a +++--=，由0n a >知，10n n a a ++>，得110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 数列{}n a 是等差数列，首项是1，公差为1，故n a n =； 由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，若已知式是关于na 和n S 关系式时，也通常利用两式作差得到1n n n S S a --=消去n S ，或者代入1n n n a S S -=-消去n a ，进行化简计算. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】 （1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】 解：（1）当1n =时，111113a S ==++=； 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学湘教版必修5模块测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1某人连续抛掷一枚均匀的硬币24 000次，则正面向上的次数最有可能的是( )． A ．12 012 B ．11 012 C ．13 012 D ．14 000 2下面的程序运行结果为6 012，则①处内容应为( )．A ．i ＞＝2 002B ．i ＞2 002C ．i ＜＝2 002D ．i ＜2 0023一个游戏转盘上有四种颜色：红，黄，蓝，黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( )．A ．613 B ．713 C ．413 D ．10134用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4的值时，其中v 4的值为( )．A ．－57B ．124C ．－845D ．2205从个体总数为120的总体中，抽取10个个体作为一个样本，用系统抽样法抽得第一组的个体编号为5，其余各组的个体按以下规则抽取：5与该组组号和的个位数字为该组所抽取的个体编号的个位数字，则第七组中抽取的个体编号为( )．A ．77B ．72C ．78D ．826现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这10个数的标准差是( )．A ．1B ．2C ．3D ．47随机地向半圆0＜y ＜22ax x (a 为正常数)内抛掷一点，点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴夹角小于π4的概率为( )． A ．112π- B ．112π+ C ．12 D ．1π8设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )．A ．23 B ．13 C ．12 D ．5129在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为( )．A ．π4 B ．π14- C ．π2 D ．π12-10执行下图所示的程序框图，输出结果T 是( )．A ．2B ．6C ．24D ．12011在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率为( )．A ．35 B ．25 C ．310 D ．4512若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝25内的概率是( )．A ．12 B ．1336 C ．49 D ．512二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13用辗转相除法可以求两个数的最大公约数，则 1 248和954的最大公约数是__________．14为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中有天鹅__________只．15执行下图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．16下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据下表x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为__________．三、解答题(本大题共6小题，第17～21题每题12分，第22题14分，共74分)17电信公司推出的一种手机月费方案为：如果全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定月费20元；如果全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的月费之外，对超出150分钟的部分按每分钟0.30元收费．试画出计算手机月费的程序框图，并编写伪代码．18某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：10210199981039899乙：110115908575115110(1)这种抽样方法是哪一种？(2)估计甲、乙两车间的平均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定．19某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程(参考数据：521145iix==∑，52113500iiy==∑，511380i iix y==∑)；(3)试预测广告费支出10万元时，销售额多大？20在一项农业试验中，A，B两种肥料分别被用于同类橘子树的生长，为了了解这两种肥料的效果，试验人员分别从施用这两种肥料的橘子树中随机抽取了12棵，下表给出了每一颗橘子树的产量(单位：千克)：肥料A63,54,19,20,72,92,8,10,22,11,24,5.肥料B57,86,33,40,59,56,73,25,44,31,64,45.(1)请用茎叶图表示分别施用A，B两种肥料的橘子树的产量，并从图中比较各自平均数的大小；(2)根据(1)问的茎叶图你认为哪一组数据的标准差更小？(3)分别计算施用A，B两种肥料的橘子树产量的平均数和标准差，看看与你估计结果是否一致；(4)你认为哪种肥料对橘子树的产量影响更大？为什么？21已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，在平面直角坐标系中，点(x，y)坐标满足x∈A，y∈A且x≠y，计算：(1)点(x，y)不在x轴上的概率；(2)点(x，y)正好在第二象限的概率．22为了估计一次性木质筷子的用量，2008年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家进行调查，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下(单位：盒)：0.6,3.7，2.2，1.5,2.8,1.7,1.2，2.1，3.2,1.0.(1)通过对样本数据的计算，估计该县2008年共消耗了多少盒一次性筷子？(每年按350个营业日计算)(2)2010年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每家每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2009年、2010年这两年一次性木质筷子用量平均每年增加的百分率；(3)假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简要地说明你的做法．参考答案1. 解析：∵抛掷一枚均匀的硬币，则正面向上的概率为0.5，此人连续抛掷一枚均匀的硬币24 000次，则正面向上的次数应接近0.5×24 000＝12 000次，∴所给的答案中只有12 012这个数最接近12 000. 答案：A2. 解析：第一次执行循环体得到S ＝2 005，第二次执行循环体得到S ＝4 009，第三次执行循环体得到S ＝6 012，即程序需执行3次循环体，故①处应填i ＞2 002.答案：B3. 解析：∵红，黄，蓝，黑所占面积比为6∶2∶1∶4，∴指针停在红，黄，蓝，黑的概率分别为613，213，113，413. 又∵指针停在红色区域和指针停在蓝色区域是互斥的，∴由概率的加法公式，得617131313P =+=. 答案：B4. 解析：f (x )＝3x 6＋5x 5＋6x 4＋79x 3－8x 2＋35x ＋12. v 0＝3，v 1＝－4v 0＋5＝－7，v 2＝－4v 1＋6＝34， v 3＝－4v 2＋79＝－57，v 4＝－4v 3－8＝220. 答案：D5. 解析：由规则知，从该组中抽取的个体编号的个位数字为2，又该组的个体编号从73到84，所以该组抽取的个体编号为82.答案：D6. 解析：设这10个数为a 1，a 2，…，a 10，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝40，a 12＋a 22＋…＋a 102＝200.所以标准差22212101[(4)(4)(4)]10s a a a =-+-++-＝222121012101[8()160]10a a a a a a +++-++++＝1(200320160)210-+=. 答案：B7. 解析：如图可知，设基本事件表示半圆的面积，事件A 为图中阴影部分的面积，则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比，即()222π1124π2π2a a P A a +==+.答案：B8. 解析：a 的值有6种情况，方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不等实根，则Δ＝a 2－8＞0，又a ＞0，∴22a >，即a 可以取3,4,5,6，所以所求概率为4263=.答案：A9.解析：如图，以O为圆心，以1为半径作半圆，当所取的点在阴影内时，到点O的距离大于1，所以所求概率为π2π2124 -=-.答案：B10.解析：此程序框图的功能是求1×2×3×4×5的值，∴T＝1×2×3×4×5＝120.答案：D11.解析：任取两个小球，所有可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5或7的情况有(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)共4种，所以所求概率为42 105=.答案：B12.解析：设P点坐标为(m，n)，则P点落在圆内，即满足m2＋n2＜25.通过列举法可得满足条件的点(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)共13个，而(m，n)所有可能的点有36种，所以P点落在圆内的概率为13 36，本题也可从对立事件角度去考虑．答案：B13.解析：1 248＝954×1＋294,954＝294×3＋72,294＝72×4＋6,72＝6×12.所以1 248和954的最大公约数是6.答案：614.解析：设该自然保护区中有天鹅n只，则20020150n=，则n＝1 500.答案：1 50015.解析：x＝10，y＝12x－1＝4，又|y－x|＝|4－10|＞1，∴x＝4，∴y＝1.又|y－x|＝|1－4|＞1，∴x＝1，∴12 y=-.又|y－x|＝|112--|＞1，∴12x=-，∴54y=-，此时|y－x|＝|5142-+|＜1，故54 y=-.答案：5 4 -16.解析：∵x＝14(3＋4＋5＋6)＝4.5，∴y＝0.7x＋0.35＝0.7×4.5＋0.35＝3.5.∴3.5＝14(2.5＋t＋4＋4.5)，即t＝3.答案：317.解：由题意，知当t≤150时，月费为y=20；当t＞150时，月费为y=20+0.3(t－150)，即20, 0150,200.3(150),150.tyt t<≤⎧=⎨+->⎩流程图如下：伪代码如下：18.解：(1)这种抽样方法是系统抽样．(2)甲车间：平均数：1x＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；方差：21s＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]≈3.43. 乙车间：平均数：2x＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；方差：22s ＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]≈228.57. 因为12x x =，2212s s <，所以甲车间产品较稳定．19. 解：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)24568=55x ++++=，y ＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50.又已知521145ii x==∑，511380i i i x y ==∑.于是可得51522215 6.55i ixy i xii x y x ys b s xx ==-==-∑∑，∴a y bx =-＝50－6.5×5＝17.5.∴所求回归直线方程为y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)所求得的回归直线方程，当广告费支出10万元时， y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5万元． 20. 解：(1)用茎叶图表示数据如图所示；从茎叶图中可以看出：施用肥料A 的橘子树的产量分布主要在茎叶图的上方，而施用肥料B 的橘子的产量分布主要在茎叶图的中部．由此，可以估计：施用肥料A 的橘子树的产量的平均数比B 的小．(2)从茎叶图中可以看出：施用肥料A 的橘子树的产量分布相对较散，而施用肥料B 的橘子树的产量分布相对比较集中．由此，可以估计：施用肥料B 的橘子树的产量的标准差比A 的小．(3)通过计算得到：施用肥料A 的橘子树的产量的平均数和标准差分别是33.3,27.9，施用肥料B的橘子树的产量的平均数和标准差分别是51.1,17.3，与估计的结果一致．(4)施用肥料B对橘子树的产量影响更大，因为产量相对较高且比较稳定．21.解：A中有10个元素，任取一个作为横坐标x有10种结果，又x≠y，所以x确定后，还余9个元素，取一个作为纵坐标y，有9种不同结果，∴点(x，y)共有10×9＝90个不同的点．(1)点(x，y)在x轴上，则y＝0，此时有9个不同的点，即(－9,0)，(－7,0)，…，(－1,0)，(2,0)，…，(8,0)．∴所求的概率为19099 9010P-==.(2)点(x，y)在第二象限，则x＜0，y＞0，此时x可取－9，－7，－5，－3，－1，y可取2,4,6,8，∴可得5×4＝20个不同的点．∴所求的概率为2202 909P==.22.解：(1)样本平均数为x＝110(0.6＋3.7＋2.2＋1.5＋2.8＋1.7＋1.2＋2.1＋3.2＋1.0)＝2010＝2.由样本平均数为2估计总体平均数也是2，故2008年该县600家饭店共消耗一次性筷子为2×350×600＝420 000(盒)．(2)由于2008年一次性筷子用量是平均每天2盒，而2010年用量是平均每天2.42盒，设平均每年增长的百分率为x，依题意，有2.42＝2×(1＋x)2，解得x＝10%，所以该县2009年、2010年这两年一次性木质筷子的用量平均每年增长10%.(3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子用量的平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量.。