成才之路人教A版数学必修2-
成才之路人教A版数学必修2-3.2.2
)
第三章
3.2
3.2.2
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5．已知直线的斜截式方程是y＝x－1，那么此直线的斜率
45° 是_______ ，倾斜角是__________. 1
6 ．已知直线 l 在y 轴上的截距等于它的斜率，则直线l 一定 (－1,0) ． 经过点__________
第三章
直线与方程
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1
预习导学
3
随堂测评
2
互动课堂
4
课后强化作业
第三章
3.2
3.2.2
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预习导学
第三章
3.2
3.2.2
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(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在 x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
第三章 3.2 3.2.2
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[破疑点]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两
点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线 x y 方程的形式为a＋b＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很 方便地画出直线．
(0，b) y＝kx＋b ②过点 P_________ ，斜率为 k 的直线方程为 ___________ (斜截式)
第三章
3.2
3.2.2
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成才之路人教A版数学必修2-3.1.2
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规律总结：两条直线垂直的判定条件：
(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－ 1，则两条 直线一定垂直；
(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条
直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 特别提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直 关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
形状，再由斜率之间的关系完成证明．
第三章
3.1
3.1.2
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[解析] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置， 如右图， 由斜率公式可得 5－3 1 kAB＝ ＝3， 2－－4 0－ 3 1 kCD＝ ＝ ， －3－6 3 0－3 kAD＝ ＝－3， －3－－4
第三章
3.1
3.1.2
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2．在初中平面几何中两条直线平行的定义与判定方法
①定义：平面内两条直线________ 没有 公共点，则这两条直线 平行． 相等 相等 ； ②判定方法： (1)同位角_________ ；(2)内错角________ 互补 (3)同旁内角__________ ．
已知直线 l1过点A( －1,1) 和B( －2，－1) ，直线 l2 过点C(1,0)
和D(0，－2)，试判断直线l1与l2的位置关系．
－1－1 [解析] 直线 l1 的斜率 k1＝ ＝2，直线 l2 的斜率 k2＝ －2＋1 －2－0 ＝2，k1＝k2，所以 l1∥l2. 0－1
第三章
3.1
成才之路人教A版数学必修2-4.2.3
点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点 A，B， P的坐标 分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
第四章
4.2
4.2.3
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设圆拱所在的圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为 A，B，P 在此圆上，故有 182－18D＋F＝0. 2 18 ＋18D＋F＝0， 62＋6E＋F＝0， D＝0， 解得E＝48， F＝－324.
景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的
新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析出已知 什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关系．审题
时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问题的转化．
第四章
4.2
4.2.3
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某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱
高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2的长．(精确到0.01 m)
第四章
4.2
4.2.3
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[解析 ]
如图，以线段 AB所在的直线为 x轴，线段AB的中
故圆拱所在的圆的方程是 x2＋y2＋48y－324＝0. 将点 P2 的横坐标 x＝6 代入上式，解得 y＝－24＋12 6 ≈5.39(m)． 答：支柱 A2P2 的长约为 5.39 m.
第四章
4.2
4.2.3
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用坐标法证明几何问题
成才之路人教A版数学必修2-3.2.1
第三章
3.2
3.2.1
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新知导学
1．直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k， y－y0＝k(x－x0) 叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜 则把方程 _______________ 式．
线l上的两点．
(3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角，但
斜率 不一定有_________( 倾斜角为90°时无斜率)． (4) 斜率的意义：斜率间接反映了直线对 x 轴正向的倾斜程 度．
第三章
3.2
3.2.1
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2．确定直线的几何要素：直线上的一点和直线的 _______ 倾斜 两 点． 角或直线上不同的_______ 3 ．一次函数及其图象：函数 y ＝ kx ＋ b(k≠0) 称为一次函 一条直线 ，该直线斜率为 k ，与 y 轴的交点为 数，其图象是 __________ (0，b) __________ ．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
直线与方程
第三章
直线与方程
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第三章
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
●课标展示 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件． 2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 3．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．
成才之路人教A版数学必修2-2.1.2
第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析] 取AD 的中点H ，连FH 、EH ，在△EFH 中 ∠EFH ＝90°， HE ＝2HF ，从而∠FEH ＝30°， 故选A.5．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ②④是正确的．6．如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论不正确的是( )A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形[答案] D[解析] 如图所示，连接BD ， ∵AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 同理，FG ∥BD ，且FG ＝μBD .∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG.∴此时四边形EFGH是平行四边形．∴选项A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，则此时四边形EFGH是梯形，∴选项B正确．二、填空题7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A1F1与BD所成角的度数为________．(2)C1F1与BE所成角的度数为________．[答案]30°60°9．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是________．[答案]④三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF 即为所求．理由：∵EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，∴EF ∥BC .11．如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是VB 、VC 的中点，求异面直线DE 与AB 所成的角．[解析] 由已知得BC ⊥AC ， 又BC ＝AC ，∴∠ABC ＝45°.又在△VBC 中，D 、E 分别为VB 、VC 中点， ∴DE ∥BC ，∴DE 与AB 所成的角为∠ABC ＝45°.12．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE (或CD )．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。
成才之路人教A版数学必修2-2.1.1
[名师点拨] 从集合的角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系 是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集
合的关系，用“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集 合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
用，不能仅用 “ 只有一个 ” 来代替，否则就没有表达出存在
性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也 是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出 现．
第二章
2.1
2.1.1
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5．公理3 公共点 ， 文字 如果两个不重合的平面有一个__________ 那么它 直线 语言 们有且只有一条过该点的公共__________
第二章
2.1
2.1.1
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[归纳总结]
习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具
体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
第二章
2.1
2.1.1
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2．点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面.
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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成才之路人教A版数学必修2-3.2.3
第三章
3.2
3.2.3
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[解析] (1)因为直线 l 的斜率存在， 所以直线 l 的方程可化 2 2 为 y＝－ x＋2，由题意得－ ＝－1，解得 k＝5. k－3 k －3 x y (2)直线 l 的方程可化为 ＋2＝1， 由题意得 k－3＋2＝0， k－3 解得 k＝1.
●课标展示 1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其它形式的互化． 3．了解二元一次方程与直线的对应关系．
第三章
3.2
3.2.3
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●温故知新 旧知再现 1．直线方程的四种形式：
(1) 点斜式：当直线斜率 k 存在时，则过点 P(x0 ， y0) 的直线 y－y0＝k(x－x0) 方程为__________________ ；
[答案] x－3y＋16＝0
x y [解析] 直线2＋6＝1 的斜截式为 y＝－3x＋6 故斜率是－ 1 3，所以所求直线的斜率是3， 1 所以所求直线方程是 y－5＝3(x＋1)， 即 x－3y＋16＝0.
第三章 3.2 3.2.3
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第三章
3.2
3.2.3
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3．直线方程五种形式的比较
名称 一般 点 斜 式 情况 方程 常数的几何意义 适用条件
y－y0＝ (x0，y0)是直线上的一 直线不垂直 k(x－x0) 个定点，k 是斜率 y 轴上的截距 于x轴 于x轴 k 是斜率， b 是直线在 直线不垂直
成才之路人教A版数学必修2-章末总结2
专题二 线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明 在这一章中，我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关 系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的， 线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化．做题时
要充分运用它们之间的联系，挖掘题目提供的有效信息，综合
运用所学知识解决此类问题．
第二章
章末总结
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(2013· 辽宁· 文科)如图， AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平 面，C 是圆 O 上的点． (1)求证：BC⊥平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG∥平面 PBC.
第二章
Hale Waihona Puke 章末总结成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
第二章
章末总结
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专题突破
第二章
章末总结
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专题一 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面． 2 ．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交．
如右图所示， 在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点， 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小．
[分析]
本题(1)(2)考查线面关系，应充分考虑平行、垂直
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6 2 2 ＝ 6π a . a 2
[答案] B
第一章
1.3
1.3.2
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规律总结： 常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意 球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性， 球心总在几何的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
4 3 32 [解析] (1)3πR ＝ 3 π， 故 R＝2， 球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. 4 8 4 3 (3)两个小铁球的体积为 2×3π×1 ＝3π，即大铁球的体积3 8 3 π×R ＝3π，所以半径为 2.
3
[答案] (1)B (2)B (3) 2
迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方， 两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
第一章
1.3
1.3.2
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(1)已知球的表面积为64π，求它的体积． (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星的体积约 是地球体积的多少倍？
第一章
1.3
1.3.2
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(2012· 广东 ) 某几何体的三视图如图所示 ，它的体积为
( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
第一章 1.3 1.3.2
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有关球的切、接问题
(2010· 全国高考 ) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 C．12πa2 B．6πa2 D．24πa2 )
[ 分析 ]
条件中给出的是长方体的外接球，求球的表面
积，关键是求其半径，确定球心．据长方体与球的对称性可
知，球心是长方体的体对角线的中点，由长方体的三条棱长可
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第一章
空间几何体
第一章
空间几何体
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第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
1.3
1.3.2
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(2)设木星和地球的半径分别为 r、R. 依题意，有 4πr2＝120×4πR2，解得 r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝4 ＝ 4 ＝240 30. V地 3 3 π R π R 3 3 故木星的体积约是地球体积是 240 30倍．
(3)两个半径为 1 的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半
[分析] (1)求球的体积和表面积的关键是什么？
(2)两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？
(3)两个铁球熔化为一个球后，哪一个量是不变的？
第一章
1.3
1.3.2
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1.3.2
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(2013· 福建 ) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合
体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且 图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ________．
[答案] 12π
第一章 1.3 1.3.2
第一章 1.3 1.3.2
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规律总结：三视图中球的有关计算问题 (1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是 还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体 积． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与 拼接，避免重叠和交叉等．
第一章
1.3
1.3.2
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随堂测评
第一章
1.3
1.3.2
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1 ．已知球的大圆周长为 6π ，则它的表面积和体积分别是 ( ) A．36π，144π C．144π，36π B．36π，36π D．144π，144π
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[分析] 表面积．
[解析]
显然该几何体是球的一个内接正方体，则该正方
体的体对角线为球的直径，据此得出球的半径，即可求得球的
依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且
该正方体的棱长为 2.设该球的直径为 2R，则 2R＝ 22＋22＋22 ＝2 3，所以该几何体的表面积为 4πR2＝4π( 3)2＝12π.
[分析]
公式求解．
借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体积
第一章
1.3
1.3.2
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[解析] (1)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. 4 3 4 256 3 ∴V 球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π.
第一章
第一章
1.3
1.3.2
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根据三视图计算球的体积与表面积
某个几何体的三视图如图所示(单位：m)
第一章
1.3
1.3.2
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(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． [分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解
题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根
据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．
第一章
1.3
1.3.2
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[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和 一个棱长为 2 的正方体组成， (1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 ＝2×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体 1 4 ＝2×3π×13＋23 2 ＝8＋3π(m3)
3．与球的关的组合体问题 (1) 若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R ＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内 接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面， 则 2R ＝a.
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规律总结：求球的表面积与体积的方法： (1) 把握住球的表面积公式 S 球 ＝ 4πR2 ，球的体积公式 V球 ＝ πR3 是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的 条件．把握住这两点，球的体积与表面积计算的相关题目也就
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●自我检测 1．半径为3的球的体积是( A．9π C．27π ) B．81π D．36π
[答案] D
4 [解析] V＝3π×33＝36π.
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第一章
空间几何体
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1
预习导学
3
随堂测评
2
互动课堂
4
课后强化作业
第一章
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预习导学
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求体对角线长，则球的表面积易求．
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[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的 直径 2R 等于长方体的体对角线，所以 2R＝ 6a，则 S 球＝4πR2
●课标展示 1．了解球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．
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第一章
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●温故知新 旧知再现 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式，即 圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周长 c 2πr ，面积S＝_____ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在 ＝_______ 空间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 球 ，半 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 ___ 球心 ，半圆的________ 半径 叫球的半径． 圆的圆心叫_______