人教版数学必修二

位置关系 直线 a 在平面 内
直线 a 与平面相交
直线 a 与平面平行
公共点
符号表示
a
图形表示
a
a
证线面平行的基本方法：线线平行
证线线平行的基本方法：线面平行
3、平面与平面：
（1）两个平面平行——两个平面没有公共点；
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线。
分类
两个平面平行
定义
没有公共点
α 图象
1、直线与直线： 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 空间中两条直线的位置关系有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有 一个公共点。 共面直线
平行直线： 同一平面内，没有公共点。
异面直线： 不同在任何一个平面内 ，没有公共点。
为了表示异面直线 a,b 不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。
由余弦定理: cosEFB 2 2 即为所求 3
判定定理：
二、直线、平面平行的判定及其性质
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
从而C1E 平面A1B1P, 平面A1B1P 平面C1DE. (3)连结BD, BC1,则BD BC1, ED EC1, 连结BF,则BF DC1, EF DC1 EFB即为二面角B C1D E的平面角.
在BEF中, EF BE 1
2
CE 2 CF 2 3 , BF 2
CF 2 BC2 6 2
b
b
α
a
a
b
β
公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 用符号语言表示如下 设 a,b,c 是三条直线， a∥b
a∥c
c∥b
a,b,c 三条直线两两平行，可以记为 a ∥ b∥ c
这个公理实质上 就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。
2、直线与平面：
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
（2）如图，连结 DA1、A1C1，
∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角.
∵ΔA1DC1 是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60º.
点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两 异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思 想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的 步骤，逐步寻找出解答思路
综上述，a、b、c、d 四线共面.
点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理 2 及其三条推论，寻找题中能确定平 面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原 因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.
【例 4】如图中，正方体 ABCD—A1B1C1D1，E、F 分别是 AD、AA1 的中点.
C1 B1
H
D
C
O
A
B
【例 8】如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求证：平面 C1BD∥平面 AB1D1。
D1
C1
A1
B1
D A
C B
证明： ∵AB∥CD∥C1D1，且 AB=CD=C1D1，∴ABC1D1 为平行四边形，
∴BC1∥AD1 BC1⊂/ 平面 AB1D1 AD1⊂平面 AB1D1
方法一: BO AC, B1O AC, 设正方体的棱长为a, 则
6
3
3
B1O 2 a, MO 2 a, MB1 2 a
MB12 B1 D 2 MO2 , MO B1O
B1O 面MAO
B1O AM
方法二：取 AD 中点 N，连结 A1N，则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O（三垂线定理） （2）连结 MB1，AB1，MC，过 O 作 OH⊥AM 于 H 点，连结 B1H， ∵B1O 平面 MAC，∴∠B1HO 就是所求二面角 B1—MA—C 的平面角.
⇒BC1∥平面 AB1D1 同理得 C1D∥平面 AB1D1
BC1∩C1D=C1
⇒平面 C1BD∥平面 AB1D1
【例 9】如图，正方体 AC1 中，已知 O 为 AC 与 BD 的交点，M 为 DD1 的中点。 （1）求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。 （2）求二面角 B1—MA—C 的正切值。 解析： （1）
（2）若 A1C 与面 DBFE 交于点 R，求证：P、Q、R 三点共线.
A1
证明：（1）∵ 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，BB1 // DD1 ，∴ BD // B1D1 . A 又 ∵ B1D1C1 中，E、F 为中点，
D1 E
C1
QF
B1
D
C
P B
∴
EF
//
1 2
B1
D1
.
∴ EF // BD ,
即 D、B、F、E 四点共面.
（2）∵ Q 平面AC1 ， Q 平面BE ， P 平面AC1 ， P平面BE ，
∴ 平面AC1 平面BE PQ .
又 AC1 平面BE R ， ∴ R 平面AC1 ， R平面BE ， ∴ R PQ . 即 P、Q、R 三点共线
新疆 王新敞
奎屯
【例 3】已知直线 a//b//c，直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C，求证：a、b、c、d 四 线共面.
证明：（1）
AM CN MN MB NB AC 平面MNP
||
AC
AC||平面 MNP,
MN 平面MNP
M
E
B N C
D P
CN NB BD
CP PN PD 平面MNP
||
BD
BD||平面
MNP.
PN 平面MNP
设平面MNP 平面ACD PE
（2） AC 平面ACD
PE
平面平行的判定：
方法一：根据定义；
方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌 面上交叉放两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。
问题：木工检测水平的原理是什么呢？引出两个平面平行的判定定理。
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两
β
线面平行 线线平行
两个平面相交 有且只有一条公共直线
β
α
a
符号表示
α∥β
α∩β=a
强调作图的要求：
（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；
（2）画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线 线段，而后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。
证明：
(1)连C1D交CD1于F, 则EF // BD1, BD1 面C1DE, EF 面C1DE, BD1 // 面C1DE. (2) A1B1 面BCC1B1, C1E 平面BCC1B1, A1B1 C1E 故保要过B1作B1P C1E交C1C于P点即可 此时P为CC1的中点. 事实上,当P为CC1的中点时, B1P C1E
过点 P 与 a ， b 都成 30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是 a ， b 所 成对顶角的平分线．其中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ，射影是 130°对顶 角平分线的直线不存在．故答案选 B.
【例 2】如图正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点， P、Q 分别为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. （1）求证：D、B、F、E 四点共 面；
（2）由 CD||平面 EFGH，可证得 CD||GH；同理可证 AB||GF； FGH 就是异面直线 AB，CD 所成的角（或补角），因为 EFGH 是矩形，所以 FGH=900，则异面直线 AB，CD 所成的角为
900．
【例 6】M，N，P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD 上的点，且 AM：MB=CN：NB=CP： PD. 求证：（1）AC||平面 MNP，BD||平面 MNP； （2）平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AAC．
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
解析：过 P 作 a ∥a， b ∥b，若 P∈a，则取 a 为 a ，若 P∈b，则取 b 为 b ．这时 a ， b 相交于 P 点，它们的两组对顶角分别为 50°和 130°.
记 a ， b 所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与 a ， b 都成 30°的直线．
个平面平行。
a α Ab β
判定定理的符号表示： 若 a⊂α,b⊂α,a∩b=A 且 a∥β,b∥β
⇒α∥β
对定理的理解： （1）判定定理的实质是：线面平行⇒面面平行 （2）注意是同一平面内的两条相交直线（问是两条平行直线行不行，为什么？） （3）这两条直线都要平行于第二个平面。 典型例题：
【例 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°，P 为空间一定点，则过点 P 且与 a、 b 所成角都是 30°的直线有且仅有（ ）.
（1）求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小；
（2）求直线 A1 ， ∵DC1∥AB1，
∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角.
∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°.
2HO AM AC MO, HO 30 10
在RtBHO中, tan B1HO
B1O HO
5
【例 10】在正方体 AC1 中，E 为 BC 中点（1）求证：BD1∥平面 C1DE； （2）在棱 CC1 上求一点 P，使平面 A1B1P⊥平面 C1DE；