完整word版,实变函数练习及答案
实变函数练习及答案
一、选择题
1、以下集合，（ ）是不可数集合。
.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；
.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。
2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ）
.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零；
.C 不可测集； .D 以上都不对。
3、下列说法正确的是（ ）
.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积；
.B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；
.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积；
.D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积
4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ）
.A 1(
)lim n n n n m E mE ∞→∞
=>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1
()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。
5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ）
.A A B ?； .B B A ?；
.C A C ?； .D C A ?。
6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ）
.A 1mE =； .B 0mE =；
.C E 是不可测集； .D E 是闭集。
7、设mE <+∞，
(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n
f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
.A 必要条件； .B 充分条件；
.C 充分必要条件； .D 无关条件。
8、设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）
.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数；
.C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。c
二、填空题：
1、设n E
R ?，0n x R ∈，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 点，则称0x 是E 的聚点。 2、设n E
R ?，若E 是有界 点集，则E 至少有一个聚点。 3、设()f x 是E 上的可测函数，0mA =，则()f x 是E A U 上的 函数。 4、设在E 上，(){}n f x 依测度收敛于()f x ，则存在(){}n f x 的子列(){}k n f x ，使得在E 上，
(){}k
n f x 敛于()f x 。 5、设设1[1,2],(1,2,...)n A n n
=+=,则lim n n A →∞=________________。
6设P 是Cantor 集，[0,1]\G P =，则mG =___________。
7、写出一个(0,1)与(,)-∞+∞之间一一对应关系式___________________ 。
8.设()2,,x e x f x x x -??=???是有理数是无理数
，则()[]01()L f x dx =?， 。 9、设E 是[0,1][0,1]?中有理数全体，则E 的闭包E 为_____________。
10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。
三、判断题。
1、2R 与3
R 的势是不等的。……………………( ) 2、设mE <+∞，{()}n f x 为E 上一列.a e 有限的可测函数，若在E 上{()}n f x .a e 收敛于.a e
有限的可测函数()f x ，则{()}n f x 在E 上依测度收敛于()f x 。…………( )
3、若{()},1,lim ()(),P p n n n f x L p f x f x L →∞?≥=∈则lim 0n p n f f →∞-=。……………( )
4、设()f x 在(0,)+∞上R 可积,则()f x 在(0,)+∞上必L 可积。………………( )
5、若P 不是E 的聚点，则P 是E 的孤立点。……………………………………( )
6、设0mE =，则对E 上的任何实值函数()f x 都有()0E f x dx =?。………………( )
7、设f 在q E R ?上可测，则由f 在E 上可积可以推出f 在E 上可积，但反之不
对。…( )
8、若{}n f 为E 上非负单调可测函数列，且lim ()()n n f x f x →∞
=，则lim ()()n E E
n f x dx f x dx →∞=??。…( )
四、计算题与证明题
1、证明：若
A B ?，B B C :U ，则A A C :U 。
2、设
()f x 是1R 上的实值连续函数，a 是任意给定的实数，证明(){}G x f x a =>是开集。
3、设1E ，2E 都是可测集，试证：()()12
1212mE mE m E E m E E +=+U I 。
4、设在可测集E 上，()()n f x f x μ??→，且()()1.n n f x f x a e +≤于()1,2,E n =L L ，试证明：
()()lim ..n n f x f x a e →∞
=于E .
5、设()()n f x f x μ??→,()()n f x g x μ??→,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.