人教A版数学高二选修2-2 第一章《导数及其应用》综合能力检测

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新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测A(1)

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

新人教A版选修(2-2)第一章《导数及其应用》word单元测试

4 27《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分，共50分）1 .设函数y = f （x ）可导，则蚂 f （1 +^x ） - f（1）等于（ A . f'(1)B . 3f'(1)3LX1C . - f'(1) 3 ).D .以上都不对 1 2.已知物体的运动方程是 S r ^t 44-4t 3 16t 2 （t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是A . 0 秒、 C . 2 秒、）.2秒或4秒 8秒或16秒 B . 0秒、D . 0秒、 2秒或16秒 4秒或8秒3.若曲线y = xx 3在x = x 0处的切线互相垂直，则 X ）等于（）.336B .64•若点P 在曲线 3-3x 2• (3 - . 3)x 3上移动，经过点 4P 的切线的倾斜角为:-,则角〉的取值范围是A . [0,二] ).B .[02)U [2 二兀）能的是（ ).6.函数 f （X ）= x37.已知函数 f(x )C .［訂：）II 2■:D .叱七P5 •设f '（x ）是函数•ax -2在区间［1「二）内是增函数，则实数 a 的取值范围是（).C . (-3,::)D . (-3 2=x - px -qx 的图像与x 轴切于点（1,0），则 f （x ）的极大值、极小值分别为（4 A .).4B . 0,27 4C . —, 0 D . 0,27271 1&由直线x , x = 2，曲线y 及x 轴所围图形的面积是(2x1517 1 , A.B.C. In 2D. 2ln 244239.函数f(x)二x -3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则().A . 0 ::: b < 1B . b =1C . b 010. y = ax 2V 的图像与直线y = x 相切，则a 的值为().111A .B .C .-8 4 2、填空题(每小题5分，共20分)11.由定积分的几何意义可知I 4 一 x 2 = -----------12. 函数f(x)=xln x(x 0)的单调递增区间是13.已知函数f(x)二ax-lnx ，若f(x)・1在区间(1,=：)内恒成立，则实数 a 的范围为14.设函数f(x)=x 「ax 的导数为f'(x)=2x ・1，则数列{-^}( n ・N *)的前n 项和 f (n) 是 _______________ .三、解答题(共6题，共80分)15.(本题12分)1求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程x16.(本题12分)已知 x 1，求证：x In(1 - x).).D .b ：.-17.(本题14分) 已知函数f (x) = -x3 3x2 9x a ,(i)求f (x)的单调递减区间；(n)若f (x)在区间［一2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.18.(本题14分)已知函数f (x) =x4 -4x3• ax2 -1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减，(i)求a的值；(n)设g(x) =bx2 -1，若方程f (x) =g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.19.(本题14分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。

高中数学第一章导数及其应用模块综合检测新人教A选修22

【优化方案】2021-2021学年高中数学第一章导数及其应用模块综合检测新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝(ex ＋x2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a2－b2的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i22＝－i ＝a ＋bi.所以a ＝0，b ＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2B ．(log2x)′＝1xln 2C ．(3x)′＝3xlog3eD ．(x2cos x)′＝－2xsin x解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C 不正确；(x2cos x)′＝2xcos x ＋x2·(－sin x)，所以D 不正确；(log2x)′＝1xln 2，所以B 正确．故选B.5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否认为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，x≠－2}，由于f′(x)＝3x ＋22＞0，故函数f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x|x2＋y2＝4}，集合B ＝{x||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A∩B ＝AD ．A∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x2＋1＜2，即x2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k2B ．(k ＋1)2＋k2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k ＋1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比力P 与Q 的大小，只需比力P2与Q2的大小，只需比力2a ＋7＋2a a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只需比力a2＋7a 与a2＋7a ＋12的大小，即比力0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q.10．如图，暗影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f(x)－g(x)]dx B ．⎠⎛ac [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx C ．⎠⎛ac [f(x)－g(x)]dx ＋⎠⎛cb [g(x)－f(x)]dx D ．⎠⎛ab [g(x)－f(x)]dx 解析：选B.∵在区间(a ，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c ，b)上g(x)＜f(x)．∴S ＝⎠⎛a c [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx ，故选B.11．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中必然成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f′(x)＞0；当x ＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x ＝2时，f′(x)＝0；当x ＞2时，f′(x)＞0.由此可以获得函数f(x)在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列第二列第三列第四列按照数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n2－1D ．2n －2解析：选D ．按照数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，获得z ＝－3＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i.答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大．解析：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q －100(0＜q ＜200)，L′＝－14q ＋21，令L′＝0，即－14q ＋21＝0，求得独一的极值点q ＝84.∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2.类比上述性质，可以获得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝116．(2021·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f′(x 0)＝0，则x0是f(x)的极值点；②“可导函数f(x)在区间(a ，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a ，b)上有极值”；③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；④如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b]上必然能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f(x)＝x ＋1＞g(x)＝x ，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i 2＋i 2. 求：(1)z1＋z 2；(2)z1·z2；(3)z1z2.解：z2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝53－i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z1z2＝2－3i 1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i 1＋3i ＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f(x)＝ex x －2的单调区间．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝ex x －2－ex x －22＝ex x －3x －22. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex ＞0，(x －2)2＞0.由f′(x)＞0，得x ＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a2＋19≥23a ，b2＋19≥23b ，c2＋19≥23c ，∴(a2＋19)＋(b2＋19)＋(c2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a2＋b2＋c2≥13.(2)∵a·13≤a ＋132，b·13≤b ＋132，c·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c)＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn ＋an ＝2n ＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由Sn ＋an ＝2n ＋1，当n ＝1时，S1＝a1，∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝32.当n ＝2时，S2＝a1＋a2，则a1＋a2＋a2＝5，将a1＝32代入得a2＝74. 同理可得a3＝158.∴an ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即ak ＝2－12k ；当n ＝k ＋1时，Sn ＋an ＝2n ＋1，则a1＋a2＋…＋ak ＋2ak ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a1＋a2＋…＋ak ＝2k ＋1－ak ，∴2ak ＋1＝4－12k ，ak ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴按照上述知对于任意自然数n ∈N*，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R.(1)若x ＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝3x2＋2ax ＋1，f′(1)＝0，故a ＝－2，∴f(x)＝x3－2x2＋x ＋1，当x ＝－1时，f(－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)．又f′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f(x)在区间(12，1)内不单调，即f′(x)＝0在(12，1)内有解，令f′(x)＝3x2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x .令h(x)＝－3x －1x ，由h′(x)＝－3＋1x2＝0，知h(x)在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增，∴h(1)＜h(x)≤h(33)，即h(x)∈(－4，－23]．∴－4＜2a≤－23，即－2＜a≤－ 3.而当a ＝－3时，f′(x)＝3x2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝38x2－2x ＋2＋ln x.(1)求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若函数y ＝f(x)在[em ，＋∞)(m ∈Z)上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝34x －2＋1x ＝3x －2x －24x ，当f′(x)＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f′(x)＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]．(2)由(1)知y 极大值＝f(23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f(2)＝ln 2－12＞0.当x ＞0且x→0时f(x)＜0，故f(x)在定义域上存在独一零点x0，且x0∈(0，23)．若m≥0，则em≥1，[em ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0.当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f(1e )＝1＋38e2－2e ＞0，又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈[1e2，＋∞)，f(1e2)＝1e2(38e2－2)＜0，又(1e2，23)为增区间，且y ＝f(23)＞0，故x0∈(1e2，23)．综上，m 的最大值为－2.。

人教新课标版数学高二-选修2-2第1章《导数及应用》单元检测(A)

第一章导数及其应用(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1)及(0,1) B ．(－1,0)及(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠05．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A. 3 JB.233JC.433J D ．2 3 J 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋ log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( ) A ．－log 2 0102 009 B ．－1 C ．(log 2 0102 009)－1 D ．17．已知函数f (a )＝ʃa 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1B ．1－cos 1C ．0D ．cos 1－18．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 10．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ． 20π⎰(sin x －cos x )d x B ．240π⎰ (sin x －cos x )d x C ．20π⎰(cos x －sin x )d x D ．240π⎰(cos x －sin x )d x11．用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm ，此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为( ) A ．5 J B ．10 J C ．20 J D ．40 J 12.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．14．若a ＝22π⎰sin x d x ，b ＝ʃ10cos x d x ，则a 与b 的关系是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为______________． 16．由曲线y ＝x 2，y ＝x ，y ＝3x 所围成的图形面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．18．(12分)设铁路AB 长为50，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.(1)将总运费y 表示为x 的函数； (2)如何选点M 才使总运费最小？19.(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(]0，1上的最大值为12，求a 的值．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．答案1．B [∵f ′(x)＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x(x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A .]3．D [f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3.由f(x)在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.] 4．C [f ′(x)＝3ax 2－2x ＋1，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于f ′(x)＝0有两个不等实根，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0，Δ＝4－12a>0.解得a<13且a ≠0.]5．C [由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F·cos 30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·cos 30°d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝32×83＝433(J)．] 6．B [∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.]7．B [∵f(a)＝(－cos x)|a 0＝1－cos a ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－cos π2＝1，∴f(1)＝1－cos 1.] 8．A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2. ∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R)＝2πR 2－2πR 3， ∴V ′＝2πR(2－3R)＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49·23＝827π.]10．D[如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<π4阴影部分面积的2倍．故选D .]11．B [设F(x)＝kx ，则200＝k·0.1，∴k ＝2 000，∴W ＝ʃ0.102 000x d x ＝1 000x 2|0.1＝10 (J )．]12．A [∵(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数， (0，＋∞)上为减函数．] 13．a ≥3解析由题意应有f ′(x)＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈ (－1,1)恒成立，故a ≥3. 14．a<b解析 ∵a ＝－cos x|22＝－cos 2，b ＝sin x|10＝sin 1. 又∵－cos 2＝cos(π－2)＝sin(2－π2)．在单位圆中利用三角函数线估算可知a<b. 15．(－2,15)解析设P(x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4. 又∵P 点在第二象限内，∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)． 16.13317．解 (1)f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a. ∵f(x)在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.∴f(x)＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f(x)上，由(1)可知f ′(x)＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16. 18．解 (1)依题意，铁路AM 上的运费为2(50－x)，公路MC 上的运费为4100＋x 2，则由A 到C 的总运费为y ＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x ≤50)． (2)y ′＝－2＋4x100＋x2(0≤x ≤50)．令y ′＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍)．当0≤x<103时，y ′<0，当50≥x>103时，y ′>0.故当x ＝103时，y 取得最小值，即当在距离点B 为1033时的点M 处修筑公路至C 时总运费最小．19．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x)＝1x －12－x＋a.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝－x 2＋2x (2－x )，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x)＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a ，因此a ＝12.20．解由V ＝πr 2h ，得h ＝Vπr 2.设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a·2πrh ＋4a·πr 2＝5a πr 2＋4aVr ，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，∴经验证，当r ＝32V 5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝V πr 2＝325V4π.∴当rh ＝32V 5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省． 21．解 f ′(x)＝3ax 2－b.(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x)＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x)＝0，得x ＝2或x ＝－2.因此，当x ＝－2时，f(x)有极大值283，当x ＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f(x)＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43<k<283.22．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝x 3－32x 2＋1，f(2)＝3.f ′(x)＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9. (2)f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x x (－12，0)0 (0，12)f ′(x) ＋0 －f(x)极大值当x ∈[－12，12]时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a<5.因此0<a ≤2.②若a>2，则0<1a <12.x (－12，0) 0 (0，1a )1a (1a ，12) f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值当x ∈[－12，12]时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a<5或a<－22.因此2<a<5.综合①②，可知a的取值范围为0<a<5.。

2021年高中数学第一章导数及其应用模块综合检测A 新人教版选修2-2

2021年高中数学第一章导数及其应用模块综合检测A 新人教版选修2-2一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D.452．求由曲线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( )A ．[i －1n ，in ] B ．[i n ，i ＋1n]C ．[t i －1n ，tin] D ．[t i －2n ，t i －1n] 3．数列2,5,11,20，x ,47，…中的x 等于( )A ．28B ．32C ．33D ．274．已知z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，若z 1－z 2是纯虚数，则( ) A ．a －c ＝0，且b －d ≠0 B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0 C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0 D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠0 .5．如图，阴影部分面积为( )A.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dxB.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]dx ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]dxC.⎠⎛ac [f (x )－g (x )]dx ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]dxD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]dx6．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 至多有两个大于17．k 棱柱有f (k )个对角面，而k ＋1棱柱有对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．k －1＋f (k ) C ．f (k )＋k D ．f (k )＋28．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)9．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.3810.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．复数z 1＝c os θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为________．12．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________． 13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx ，先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )，再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________．14．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．15．自然数列按如图规律排列，若2 013在第m 行第n 个数，则n m＝________. 1 3 2 4 5 6 10 9 8 711 12 13 14 15 …三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知复数z ＝c os θ＋i sin θ(0≤θ≤2π)，求θ为何值时，|1－i ＋z |取得最值．并求出它的最值．17．已知sin α＋c os α＝1，求证：sin 6α＋c os 6α＝1.18．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n(n ≥2，n ∈N *)．19. 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点．且CC 1＝2A C.求证：(1)C N ∥平面AM B 1； (2)B 1M ⊥平面AMG .20．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，f (x )＜9xx ＋6.参考答案一、选择题：1、解析：选D.∵(3－4i )z ＝|4＋3i |，∴z ＝|4＋3i |3－4i ＝42＋323－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.2、解析：选C.把区间[0，t ]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为t n，n 个小区间分别为[0，t n ]，[t n ，2t n ]，[2t n ，3t n ]，…，[t i －1n ，ti n ]，…，[n －1tn，t ](其中i ＝1,2,3，…，n )．故选C.3、解析：选B.由题中数字可发现：2＋3＝5,5＋6＝11,11＋9＝20，故20＋12＝32.4、解析：选A.∵z 1－z 2＝a ＋bi －(c ＋di ) ＝(a －c )＋(b －d )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝0b －d ≠05、解析：选B.∵在区间(a ，c )上g (x )＞f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )＜f (x )． ∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]dx ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]dx ，故选B.6、解析：选B.a ，b ，c 至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.7、解析：选B.新增加的第k ＋1条棱与其不相邻的第k －2条棱构成k －2个对角面，与其相邻的两条棱构成一个对角面，这样共增加k －1个对角面．8、解析：选B.根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．9、解析：选A.f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，当x ＝33时，f ′(x )＝0；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，33时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤33，1时，f ′(x )＜0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝239为极大值．又f (0)＝0，f (1)＝0， ∴f (x )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝239. 10、解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4，故选C.二、填空题：11、解析：|z 1－z 2|＝|(c os θ－sin θ)＋2i | ＝ c os θ－s in θ2＋4 ＝5－2s in θc os θ ＝5－s in 2θ≤ 6. 答案： 612、解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a ·a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12.故P ＜Q .答案：P ＜Q13、解析：⎠⎛01f (x )dx 的几何意义是函数f (x )(其中0≤f (x )≤1)的图象与x 轴、直线x＝0和直线x ＝1所围成图形的面积，根据几何概型易知⎠⎛01f (x )dx ≈N 1N.答案：N 1N14、解析：因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P 、Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 答案：－415、解析：观察图中数字的排列规律，可知自然数的排列个数呈等差数列，所以其总个数之和与行数m 有关，为m m ＋12.而62×632＜2 013＜63×642，∴m ＝63.而2 013－62×632＝60，∴n ＝60.答案：2021三、解答题：16、解：|1－i ＋z |＝|c os θ＋i sin θ＋1－i | ＝ c os θ＋12＋s in θ－12 ＝2c os θ－s in θ＋3＝ 22c os θ＋π4＋3，当θ＝7π4时，|1－i ＋z |max ＝2＋1；当θ＝3π4时，|1－i ＋z |min ＝2－1.17、证明：要证sin 6α＋c os 6α＝1，只需证(sin 2α＋c os 2α)(sin 4α－sin 2αc os 2α＋c os 4α)＝1.即证sin 4α－sin 2αc os 2α＋c os 4α＝1，只需证(sin 2α＋c os 2α)2－3sin 2αc os 2α＝1，即证1－3sin 2αc os 2α＝1，即证sin 2αc os 2α＝0，由已知sin α＋c os α＝1，所以sin 2α＋c os 2α＋2sin αc os α＝1，所以sin αc os α＝0，所以sin 2αc os 2α＝0，故sin 6α＋c os 6α＝1.18、证明：当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14＜12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k，则当n ＝k ＋1时， 122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋12＜1－1k ＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12＜1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．19、证明：(1)设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP .∵C M 綊12AA 1，NP 綊12AA 1，∴C M 綊NP ，∴C NPM 是平行四边形， ∴C N ∥MP .∵C N ⊄平面AM B 1，MP ⊂平面AM B 1， ∴C N ∥平面AM B 1.(2)∵CC 1⊥平面ABC ，∴平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面CC 1B 1B ，∴B 1M ⊥AG .∵CC 1⊥平面ABC ，平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，∴CC 1⊥A C ，CC 1⊥B 1C 1，设A C ＝2a ，则CC 1＝22a .在Rt △M CA 中，A M ＝CM 2＋AC 2＝6a . 同理，B 1M ＝6a .∵BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，∴AB 1＝B 1B 2＋A B 2＝C 1C 2＋A B 2＝23a ；∴A M 2＋B 1M 2＝AB 21，∴B 1M ⊥A M ，又AG ∩A M ＝A ， ∴B 1M ⊥平面AMG .20、解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0. (2)证明：法一：由均值不等式，当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.记h (x )＝f (x )－9x x ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x <2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数．又由g (0)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数．又h (0)＝0，得h (x )<0.于是当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1. 由均值不等式，当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1<0，故k (x )<0，即ln(x ＋1)<x .②由①②得，当x >0时，f (x )<32x .记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0<x <2时，h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9<32x ＋(x ＋6)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1－9＝12x ＋1[3x (x＋1)＋(x＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)]<12x ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x ＋1＋x ＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2－18x ＋1＝x 4x ＋1(7x －18)<0. 因此h (x )在(0,2)内单调递减．又h (0)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9xx ＋6.21234 52F2 勲24891 613B 愻 27039 699F 榟E30249 7629 瘩29271 7257 牗40072 9C88 鲈p 20341 4F75 併 ?20064 4E60 习26762 688A 梊。

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)

第一章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3][答案] D[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x)＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符；由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f xx≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2>0，f 1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2<0，f 1>0，6 5<a<－316，综上知，－65<a<－316.∴－15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g(x)＝f(x)＋x在[1,2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．[解析] (1)由题意f ′(x )＝1x－a x ＋12，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92x ＋12＝x －22x －12x x ＋12. ∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数，又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x－a x ＋12＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥x ＋12x＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272，即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝33－t 4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：t (－1,3) 3 (3,11)所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值8. 解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝1211－t2t ＋1，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)．g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：t (－1,3) 3 (3,11) g ′(t ) ＋ 0 － g (t )单调递增极大值单调递减所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g3＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12JD ．0.28J[解析] 设F(x)＝kx，当F(x)＝1时，x＝0.01m，则k＝100，∴W＝∫0.060100x d x＝5010．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0>0，f ′1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>loga3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为22n－12－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，fx ＋3>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3<0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，x (－∞，－b )－b (－b ，b )b(b ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增依题意有⎩⎨⎧f －b >0，fb <0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程． [解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′23＝3×232＋2a ×23＋b ＝0，f ′1＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： x －4 (－4，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值－111395274∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．[解析] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1)1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，13)13 (13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f (x )＝ax 2＋2在x ＝1处的切线与直线2x －y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)求由曲线y ＝f (x )与y ＝3x 、x ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的平面图形的面积． [解析] (1)由已知得：f ′(1)＝2，求得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．文档可能无法思考全面，请浏览后下载!19 / 31 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)． (3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。

数学人教A选修2-2第一章导数及其应用单元检测.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学人教A 选修2-2第一章导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立，即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增－5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)．由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方，得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-，即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-．此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。

人教A版选修2-2章末综合测评(一) 导数及其应用.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【解析】 lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)，故选B .【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5. 【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：62952063】A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增．由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪π20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．【答案】 (－ln 2,2)15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________.【导学号：62952064】【解析】令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ，所以S ＝⎠⎛0－ba (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3， ①又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0，即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0；当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值，即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【导学号：62952065】【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，得f (x )>ln xx －1. 故当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.。

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与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A.1π
B.2π
C.3π
D.π
4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9.⎠⎛0
2(2x －e x )dx ＝________.
10．.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
11. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为
12．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－
33，3
3
)，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13．(本小题满分15分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1.
(1)试求常数a ，b ，c 的值；
(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
14．(本小题满分15分)已知F (x )＝
1
x
-⎰
t (t －4)dt ，x ∈(0，＋∞)．。