九年级数学上2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习(带答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(含答案)-2021-2022学年九年级数学上册(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系分点训练知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则α·β的值是( )A. 2B. 1C. －2D. －12. 下列方程两个实数根之和等于两个实数根之积的是( )A. x2－2x－2＝0B. x2＋x＋1＝0C. x2＋x－1＝0D. x2＋5x＋5＝03. 已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝.4. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：(1)x2－9x－16＝0；(2)3x2－2＝2x；(3)3x(x－2)＝5.5. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根.求(1)(x1－3)(x2－3)；(2)(x1－x2)2.知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( )A. 3B. －3C. 13D. －137. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是.8. 关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是23，求另一个根及m的值.9. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.强化提升10. 一元二次方程x2－5x－4＝0的两根为x1，x2，则下列正确的是( )A. x1＝－1，x2＝4B. x1＝1，x2＝－4C. x1＋x2＝5D. x1x2＝411. 定义运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 与m 有关12. 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a的值是( ) A. 3 B. －3 C. 5 D. －513. 求下列方程两个根的和与积：(1)3x 2－5x ＝－2；(2)(x ＋1)(x ＋3)－6x ＝4.14. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)当21x ＋22x ＝6x 1x 2时，求m 的值.15. 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值.参考答案1. D 【解析】∵α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，∴α·β＝－1．2. C 【解析】选项A ，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误；选项B ，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝1，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误；选项C ，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，方程两个实数根之和等于两个实数根之积，此选项正确；选项D ，x 1＋x 2＝－5，x 1x 2＝5，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误.3.214 【解析】由根与系数的关系可得，m ＋n ＝52，m ·n ＝12，m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2m ·n ＝(52)2－2×12＝214. 4. 解：(1)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－16.(2)方程可化为3x 2－2x －2＝0，x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23. (3)方程可化为3x 2－6x －5＝0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－53. 5. 解：(1)★x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，★(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝1－3×4＋9＝－2.(2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42－4×1＝12.6. B 【解析】由根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝a ，∴x 1x 2－2x 1－2x 2－5＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)－5＝a ＋8－5＝0，∴a ＝－3.7. m ＞12 【解析】设x 1，x 2为方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两个实数根，由已知得120•0x x ∆⎧⎨⎩＞，＜， 即80210m m -+⎧⎨⎩＞，＜， 解得m ＞12． 8. 解：设方程的另一个根是x 1，由一元二次方程根与系数的关系，得112332833m x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝－，①＝－，② 由★得x 1＝－4，代入★，得23＋(－4)＝－3m ，解得m ＝10，所以方程的另一个根是－4，m 的值是10. 9. 解：依题意得：x 1＋x 2＝4，又x 1＝3x 2，★x 1＝3，x 2＝1，把x 2＝1代入原方程得k ＝6.10. C 【解析】∵一元二次方程x 2－5x －4＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－4.11. A 【解析】由根与系数的关系可找出a ＋b ＝1，根据新运算找出b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )，将其中的1替换成a ＋b ，即可得出结论12. D 【解析】★a ，b 为方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根，★a ＋b ＝3，ab ＝p ，★a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝32－3p ＝18，★p ＝－3．当p ＝－3时，★＝(－3)2－4p ＝9＋12＝21＞0，★p ＝－3符合题意．ab ＋b a ＝22a b ab +＝222a b ab ab +-＝2()a b ab +－2＝－5. 13. 解：(1)方程化为3x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝23. (2)方程化为x 2－2x －1＝0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1.14. 解：(1)★原方程有两个实数根，★Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，即4－4m ＋4≥0，★m ≤2.(2)★21x ＋22x ＝6x 1x 2，★(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6x 1x 2，即(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝0. ★x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，★22－8(m －1)＝0，即4－8m ＋8＝0，★m ＝32. ★m ＝32＜2，★m 的值为32. 15. 解：设方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0的两个实数根为x 1，x 2，★x 1＋x 2＝2(2－m )，x 1x 2＝m 2＋4. ★这两根的平方和比两根的积大21，★21x ＋22x －x 1x 2＝21，即(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝21，★4(m －2)2－3(m 2＋4)＝21，m 2－16m －17＝0，解得m ＝17或m ＝－1. ★Δ＝4(m －2)2－4(m 2＋4)≥0，解得m ≤0.故m ＝17舍去，★m ＝－1.。
初中-数学-人教版-21.2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习(一)
21.2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习（一）一、单选题1、一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A. -2B. 1C. 2D. 02、若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有一个解为x =-1，则另一个解为（ ）A. 1B. -3C. 3D. 43、已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误的是（ ）A. 12x x ≠B. 21120x x -=C. 122x x +=D. 122x x ⋅= 4、已知α，β是一元二次方程x 2+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）A. 3B. 1C. -1D. -35、已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，则另一个根为（ ）A. 5B. -1C. 2D. -56、若α，β是方程2x 2x 20180+-=的两个实数根，则2α3αβ++的值为（ ）A. 2015B. 2016-C. 2016D. 20197、若2x 2-4x +c =0的一个根，则c 的值是（ ）A. 1B. 3C.D. 8、若a ≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 1 C. .4D. 3 9、关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A. 0或2B. -2或2C. -2D. 210、关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）A. -1或5B. 1C. 5D. -1二、填空题11、一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ，2x ，则2111242x x x x -+的值为______．12、已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为______．13、设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为______．14、关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12-x1x2+x22的值是______．15、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2015=______．三、解答题16、已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m的值为多少？答案第1页，共6页参考答案1、【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】∵一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，∵x 1x 2=0．选D ．2、【答案】C【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于-b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：-1+x 1=2，解得：x 1=3，选C ．3、【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行提示即可．【解答】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x =0的两个实数根，这里a =1，b =-2，c =0，b 2-4ac =（-2）2-4×1×0=4＞0，∵方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 选D ． 4、【答案】B【分析】根据根与系数的关系得α+β=-1，αβ=-2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】∵α，β是方程x 2+x -2=0的两个实数根，∵α+β=-1，αβ=-2，∵α+β-αβ=-1-（-2）=-1+2=1，选B ．5、【答案】B【分析】根据关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】∵关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，设另一个根为m ，∵-2+m =−31， 解得，m =-1，选B ．6、【答案】C【分析】根据方程的解得概念可得222018αα+=，由根与系数的关系可得2αβ+=-，再代入2232ααβαααβ++=+++即可得出结论．【解答】αβ，是方程2220180x x +-=的两个实数根，2220180αα∴+-=，即2220182αααβ+=+=-，，则2232201822016ααβαααβ++=+++=-=．选C ．7、【答案】A【分析】把2x 2-4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【解答】把2x 2-4x +c =0，得（22-4（2+c =0，解得：c =1． 选A ．8、【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∴22111111444a b a b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程2410x x -+=的两个根 ∴a +b =4，ab =1 ∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B ．9、【答案】D答案第3页，共6页 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用根与系数的关系，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意．【解答】解：由根与系数的关系，得：12x x +＝k -1，122x x k +＝－，由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，∴，()2142(2)3k k ----+=-，化简，得：24k =，解得：k ＝±2，∵关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，∴，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝-2不符合，∴，k ＝2选：D ．10、【答案】D【分析】设方程的两根为1x 、2x ，根据根与系数的关系得到12x x a +=，122x x a ⋅=，由于22125x x =+，变形得到()2121225x x x x +-⋅=，则2450a a --=，然后解方程，满足0≥的a 的值为所求．【解答】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=，∴2450a a --=，∴15a =，21a =-，280a a =-≥，∴1a =-．选：D ．11、【答案】2【分析】根据一元二次方程根的意义可得2114x x -+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x =2，把相关数值代入所求的代数式即可得．【解答】由题意得：2114x x -+2=0，12x x =2，∴2114x x -=-2，122x x =4，∴2111242x x x x -+=-2+4=2，故答案为：2．12、【答案】1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】设x +1=t ，方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt +1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：113、【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解答】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．14、【答案】4【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=x 1•x 2可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，从而可确定k 的值．【解答】∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2-k，∵x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）2-2（k2-k）=4，2k2+2k-4=0，k2+k-2=0，k=-2或1，∵△=（-2k）2-4×1×（k2-k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2-k=0，∴x12-x1x2+x22=4-0=4，故答案为：4．15、【答案】2026【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，∴m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=2026．16、【答案】（1）k≤58；（2）k=-1．【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方答案第5页，共6页程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根，∴△≥0，即[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2+k-1）=2k2-6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2-6k+3=11，解得k=4，或k=-1，∵k≤58，∴k=4（舍去），∴k=-1．17、【答案】（1）34m≥-；（2）m的值为3．【分析】（1）根据△≥0即可求解，（2）化简11αβ+，利用根与系数的关系求出α+β，αβ，代入解方程即可．【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2-4×1×m2≥0，解得：m≥-34；（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2m+3），αβ=m2，∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1，∴2m3 m2+﹣（）=-1，整理得m2-2m-3=0解得：m1=-1，m1=3，由（1）知m≥-34，∴m1=-1应舍去，∴m的值为3．。
人教版九年级数学上册同步练习 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关一、选择题1．[一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．02．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为 ( )A ．1B ．－3C ．3D ．43．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是 ( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58274．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝1B ．x 1·x 2＝－1C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12＋x 1＝125．若关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或26．若关于x 的方程x 2－(m 2－4)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4二、填空题7．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________．8．写出以3，－5为根且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程是____________________．9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1，则x 1＝________，x 2＝________．10．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________.11．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．12．若关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－1＝0的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝3，则m ＝________．三、解答题13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.14．已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．16．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．17．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，求k 的值与方程的另一个根．18．已知关于x 的方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1＋α＋β1＋β的值．18 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a ＝31，且两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．答案1．D.2．C.3．C.4．D.5．C.6．A.7．－3.8．x2＋2x－15＝09．x1＝－2，x2＝3.10．6.11．2.12．[0.13．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得a≤1.由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得a＞－2，∴－2＜a≤1.14．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.15．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1，∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1，∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1，∴3p ＝－6，∴p ＝－2.16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，解得k ＞34. (2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0. 又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1，解得k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2. 17．解：将x ＝－2代入原方程中，得4－2(k ＋3)＋k ＝0，解得k ＝－2.∵两根之积为k ，∴方程的另一个根为k －2＝－2－2＝1. 即k 的值为－2，方程的另一个根为1.18．解：(1)b 2－4ac ＝4＋4k.∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，即4＋4k ＞0，∴k ＞－1.(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k ，∴α1＋α＋β1＋β＝α（1＋β）＋β（1＋α）（1＋α）（1＋β）＝α＋β＋2αβ1＋α＋β＋αβ＝－2－2k 1－2－k＝2. 17 解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝4(k －32)2＋4＞0恒成立， ∴无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)根据勾股定理，得b 2＋c 2＝a 2＝31.∵两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵(b ＋c)2－2bc ＝b 2＋c 2＝31，∴(2k ＋1)2－2(4k －3)＝31，整理，得4k 2＋4k ＋1－8k ＋6－31＝0，即k 2－k －6＝0，解得k 1＝3，k 2＝－2(舍去)．∵b ＋c ＝2k ＋1＝7，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝31＋7.。
九年级上2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习及答案
湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2．4 一元二次方程根与系数的关系同步练习题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．－10B ．10C ．－16D ．162．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1·x 2等于( )A ．－4B ．－1C ．1D ．43．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1x1＋1x2＝0成立？则正确的结论是( ) A ．m ＝0时成立 B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在4．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x 1，x 2的和与积．(1)2x 2－4x －3＝0；(2)x 2－4x ＋3＝7；(3)5x 2－3＝10x ＋4.5．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系求：(1)(x 1＋1x2)(x 2＋1x1)；(2)(x 1－x 2)2.6．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，求另一个根及c 的值．7. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值.8．若 3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．－5D ．59．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c的值是( )A. －10 B ．10C ．－6D ．－110．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－8B ．32C ．16D ．4011．若一元二次方程x 2－x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x1＋1x2＝_______． 12．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝_______．13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根．求 (x 1＋x 2)2÷(1x1＋1x2)的值.14．关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足等式x 1x 2－x 1－x 2＋1＝0，求m 的值．15．一元二次方程mx 2－2mx ＋m －2＝0.(1)若方程有两实数根，求m 的范围．(2)设方程两实根为x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝1，求m 的值．16. 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．答案：1---3 ACA4. (1) 解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－32(2) 解：原方程整理为x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4(3) 解：原方程整理为5x 2－10x －7＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－755. (1) 解：(x 1＋1x2)(x 2＋1x1)＝x 1x 2＋1x1x2＋2，由题意知x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝32，∴原式＝32＋23＋2＝256(2) 解：(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，∴原式＝32－4×32＝3 6. 解：设x 2－6x ＋c ＝0的另一根为x 2，则2＋x 2＝6，解得x 2＝4.由根与系数的关系，得c ＝2×4＝8.因此，方程的另一根为4，c 的值为87. 解：(1)由题意知Δ＝[2(m ＋1)]2－4(m 2－1)＝8m ＋8≥0，∴m ≥－1(2)(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，即(x 1＋x 2)2＝16＋3x 1x 2，又x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1，∴[－2(m ＋1)]2＝16＋3(m 2－1)，解得m 1＝－9，m 2＝1, 又m≥－1∴m 的值为18---10 BAC11. －112. －113. 解：∵x 1，x 2是方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1.∴原式＝42÷x1＋x2x1x2＝42÷4＝4 14. (1) 解：原方程整理为x 2－5x ＋6－m ＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(6－m )＝1＋4m≥0，∴m ≥－14(2) 解：∵x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝6－m ，∴x 1x 2－x 1－x 2＋1＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝6－m －5＋1＝0，∴m ＝215. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0m≠0即⎩⎪⎨⎪⎧8m≥0m≠0，∴m>0 (2)|x 1－x 2|＝1，即(x 1－x 2)2＝1，也就是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1，而x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －2m，∴22－4×m －2m＝1，解得m ＝8，而8>0，∴m 的值为8 16. 解： (1)(x 1－1)(x 2－1)＝28，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＝27，而x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5，∴m 2＋5－2(m ＋1)＝27，解得m 1＝6，m 2＝－4，又Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2＋5)≥0时，m ≥2，∴m 的值为6(2) 若7为腰长，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一根为7，即72－2×7×(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，方程x 2－22x ＋105＝0，根为x 1＝15，x 2＝7，不符合题意，舍去．当m ＝4时，方程为x 2－10x ＋21＝0，根为x 1＝3，x 2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17 ⅱ若7为底边，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m ＝2，此时方程为x 2－6x ＋9＝0，根为x 1＝3，x 2＝3，3＋3<7，不成立，综上所述，三角形周长为17。
人教版2022-2023学年九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系练习题含答案
∴x1+x2 2，
故选：B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，设x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则有x1+x2 ，x1•x2= ．
2．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得 ，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，
∴ 或 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．
5．C
【分析】利用根的判别式可判断①；把 ，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：∵a= >0，开口向上，且当 时， ；当 时， ，
∴抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ；故①正确；
∵当 时， ，
∴ -b+c<0，即b> +c，
∵c>1，
∴b> ，故②正确；
抛物线 的对称轴为直线x=b，且开口向上，
当x<b时，y的值随x的增加反而减少，
∴当 时， ；故③正确；
∵方程 的两实数根为x1，x2，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝ ，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即 ＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
九年级上册数学 《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》同步习题(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是(A)A ．－10B ．10C ．－16D ．162．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－33．(凉山中考)已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是(D)A ．－43 B.83 C ．－83 D.434．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4．5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1＋x 2；解：x 1＋x 2＝3.(2)x 1x 2；解：x 1x 2＝－1.(3)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x 1＋1x 2； 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.(5)(x 1－1)(x 2－1)；解：(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－1－3＋1＝－3.(6)x 2x 1＋x 1x 2. 解：x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝11－1＝－11.知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(新疆中考)已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是(A)A ．－3B ．－2C ．3D ．68．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ，q 的值分别为4，3．9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值． 解：(1)证明：∵a ＝1，b ＝4m ＋1，c ＝2m －1，∴Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5.∵16m 2≥0，∴Δ＞0.∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，∵1x 1＋1x 2＝－12，∴x 1＋x 2x 1x 2＝－12. ∴－（4m ＋1）2m －1＝－12， ∴m ＝－12.易错点 忽视隐含条件10．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．02 中档题11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝012．(烟台中考)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为(D)A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．113．(达州中考)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝2__016．14．在解某个关于x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x 2－10x ＋9＝0．15．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m ≠n ，则n m ＋m n ＝－225． 16．(十堰中考)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54. ∴实数k 的取值范围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k)2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a 为31，且两条直角边的长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝(2k －3)2＋4.∵(2k －3)2≥0，∴(2k －3)2＋4＞0，即Δ＞0，∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵b ，c 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵a 2＝b 2＋c 2，a ＝31，∴k 2－k －6＝0.∴k 1＝3，k 2＝－2.∵b ，c 均为正数，∴4k －3＞0.∴k ＝3.此时原方程为x 2－7x ＋9＝0，∴b ＋c ＝7.∴△ABC 的周长为7＋31.03 综合题18．(换元思想)阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 材料2 已知实数m 、n 满足m 2－m －1＝0，n 2－n －1＝0，且m ≠n ，求n m ＋m n的值． 解：由题知m ，n 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m ＋n ＝1，mn ＝－1.∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝1＋2－1＝－3. 根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3；(2)已知实数m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，且m ≠n ，求m 2n ＋mn 2的值；(3)已知实数p ，q 满足p 2＝3p ＋2，2q 2＝3q ＋1，且p ≠2q ，求p 2＋4q 2的值．解：(2)∵m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，∴m ，n 可看作方程2x 2－2x －1＝0的两实数根．∴m ＋n ＝1，mn ＝－12. ∴m 2n ＋mn 2＝mn(m ＋n)＝－12×1＝－12. (3)设t ＝2q ，代入2q 2＝3q ＋1化简为t 2＝3t ＋2，则p 与t(即2q)为方程x 2－3x －2＝0的两实数根，∴p ＋2q ＝3，p·2q ＝－2，∴p 2＋4q 2＝(p ＋2q)2－2p·2q ＝32－2×(－2)＝13.。
人教版九年级上册《2124根与系数的关系》同步练习(有答案).docx
2018年秋人教版数学九年级上册同步练习212根与系数的关系一・选择题（共12小题）对于一元二次方程ax 2+bx+c=O （aHO ）,下列说法中错误的是（ ）9.若关于x 的一•元二次方程x 2- 2x+m 二0有一个解为x=- 1,则另一个解为（）A. 1B. - 3C. 3D. 4W -已知方程2X?-X - 3=0的两根为…2,那么&寺() 1. A. a>0, c<0时，方程一定有实数根B. c=0时，方程至少有一个根为0C. a>0, b=0, c<0时，方程的两根一定互为相反数D. abc<0时，方程的两个根同号，当abc>0时，方程的两个根异号 2. 若x=±l 是一元二次方程ax'+bx+c 二0的两根，则（ ）A. b=0, a+cHOB. bHO, a+c=OC. b=a+c=OD. a+b - c=03. A.4. A. 若方程2x 2+bx+c=0的两根分别是b, c （bcHO ）,则be 的值为（ 3R3 r 3R 3—§ C. --D. 7 一元二次方程2x 2 - 7x - 5=0的两根分别是xi ， 7 B. 5 (5)X2，则X1X2等于（5. C - — D 2 - 2 2 2下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（A. X 2+2X - 3=0B. x 2 - 2x+3=0C. 2x 2 一 2x - 3=0D. 3x 2 - 6x+l=0 6. 方程x 2 - 3x+7=0的两根为x“ x 2,则下列表示正确的是（ ）A. X I +X 2=3, X I X 2=7B. X I +X 2= - 3, X I X 2=7C. X I +X 2= - 3, XiX 2= - 7D.以上全不对7. 下列一•元二次方程中，以2和- 3为两根的方程是（ ）A. X 2+5X - 6=0B. x 2 - 6x - 1=0C. x 2 - x - 6=0D. x 2+x - 6=0一元二次方程ax 2+bx+c=0 （aHO, b 2 - 4ac>0）的两实根之和（A. 与c 无关 B •与b 无关C. 与a 无关D.与a, b, c 都有关A. - ^B.耳C. 3 D・一3o o□・若a、P是一元二次方程x2 - 5x - 2=0的两个实数根，则a+B的值为( 2A. - 5B. 5 C・ - 2 D. 4512.关于x的方程x24- (k2-4) x+k+20的两个根互为相反数，则k值是(A. - 1B. ±2C. 2D. 一2二.填空题(共6小题)13.已知方程x2+px+q=0的两根为Xi，X2，则可得X1+X2二 ___ , XiX2= _______14.已知a, B是方程X2+5X - 3=0的两根，则a# _________ ・15.—元二次方程xJpx+q二0的两根分别为2+V3, 2-忑,则p= ______________ , q= ______ ・16.若2x (x+3)二1 的两根分别为Xi, X2,则X1+X2二,X1X2二,77+亠二,X I2+X22= , (Xi - 3) (x2 - 3) = , |xi - x21 = x2 ------------- ----------------------- --------------------------------------- -------------------------17.写出一个以- 2、3为两根的一元二次方程________ .18.已知xi，X2是关于x的方程x2+nx+n-3二0的两个实数根，H X1+x2= - 2,贝X1X2= _____三.解答题(共3小题)19.不解方程，写出方程的两根Z和与两根Z积:(1)3X2+2X - 3=0(2)X2+X=6X+7.20.若xi、X2是一元二次方程2x2 - 3x - 1=0的两个根，求下列代数式的值.]1X1 1 x2(2)X12+X22(3)(Xi - x2) 2(5) (xi・2) (x2 - 2)21.已知关于x的一元二次方程x?+ (2m+l) x+m2 - 2=0.(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；(2)若方程的两个实数根为xi，X2, H (Xi-X2)2+m2=21,求m的值.参考答案一.选择题(共12小1. D.2. C.3. A.4. D. 5・ D・ 6・ D・ 7. D. 8・ A. 9・ C. 10. A. 11. B. 12. D.二.填空题(共6小题)13・-p, q.14.15.4, 1.16.- 3,-专，6, 10,-寺，V11-17.x?・ x ・ 6=0.18.- 1・三.解答题(共3小题)19.(1)设X], X2是一元二次方程的两根,2 所以X1+X2二- g, XiX2= - 1；(2)方程化为一般式为x2 - 5x - 7=0,设X], X2是一元二次方程的两根，所以X I+X2=5, X1X2= - 7.20.Vxv X2是方程2x2 - 3x - 1=0的两个根, /.Xi+X2=-|, (1)Q 1 1 Q (2) X I2+X22= (X1+X2) 2 - 2XI X2=(》)2 - 2X ( - ―) =-^-；(3) (Xi - x 2) 2= (Xi+x 2) 2 - 4XI X 2=(马)2 - 4Xi 3 i (5) (Xi - 2) (X2 - 2) =XiX2 - 2(Xi+X2)+4= - - 2X —+4=—；1、 ， 1、 1 i 亠i ⑹ 如込）仏+石）汶凶+2+证二乜+2+三二-亍21. (1)根据题意得△二(2m+l) 2 - 4 (m 2 - 2) 20, 解得所以m 的最小整数值为-2；(2)根据题意得 Xi+x 2= - (2m+l) , XiX 2=m 2 - 2 (4) X 1 x 2 Xj + X2 x l x 213T 3 13T ;17 —■ 4。
一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．04．已知关于x的一元二次方程kx2−2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是A．k<1 B．k≤1C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠05．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m 的值是A．3或−1 B．3C．−1 D．−3 或16．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．9．方程的两个根为、，则的值等于__________．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【答案】AC、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1，x2异号，结论D错误．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在【答案】A∴x1+x2=，x1x2=，∵=4m，∴=4m，∴m=2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m=2，故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式 ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．0【答案】D【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．4．已知关于x 的一元二次方程kx 2−2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是 A ．k <1B ．k ≤1C ．k ≤1且k ≠0D ．k <1且k ≠0【答案】C【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+ (2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m的值是A ．3或 −1B ．3C ．−1D ．−3 或 1【答案】B【解析】∵α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根； ∴α+β=−2m −3,α⋅β=m 2， ∴==223m m --=−1， ∴m 2−2m −3=0， 解得m =3或m =−1.∵一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根， ∴∆=(2m +3)2−4×1×m 2=12m +9>0， ∴m >−，∴m =−1不合题意舍去， ∴m =3.【名师点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合=1，找出关于m的方程是解题的关键.6．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．【答案】2【解析】由题意得：+2=0，=2，∴=−2，=4，∴=−2+4=2，故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．【答案】，【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=.9．方程的两个根为、，则的值等于__________．【答案】3【解析】根据题意得，，所以===3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．【答案】6【解析】∵x1+x2=﹣，∴x1+x2=6．故答案为：6．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．【答案】−3【解析】∵，∴．【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题型．理解根与系数的关系的公式是解决这个问题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）−2.【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当 ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22−x1x2=3p2+1，求出p值．13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．【答案】（1）;（2），.【名师点睛】本题是常见的根的判别式、根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键.。
专题2.4一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
专题2.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【北师大版】【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【题型5 由一元二次方程的两根求值】 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【题型10 一元二次方程中的新定义问题】知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ¹）的两根为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a×=．注意它的使用条件为，0a ¹，Δ0³．【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23－24九年级·黑龙江绥化·开学考试）1．已知一元二次方程256x x x +=+的两根分别为m 、n ，则11m n+= ．【变式1－1】（23－24九年级·广西来宾·期中）2．若a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，则()()22a b --的值为 ．【变式1－2】（23－24九年级·四川成都·阶段练习）3．设方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，则2212x x += ．【变式1－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）4．已知 12x x ， 是方程 22370x x +-= 的两个根，则 331212x x x x + 的值为（ ）A ．214B ．2598-C ．638-D ．1338-【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23－24九年级·全国·单元测试）5．若关于x 的方程()()()31212x x m m x --=-的两根之和与两根之积相等，则方程的根为．【变式2－1】（23－24·山东济南·二模）6．若关于x 的一元二次方程260x mx +-=有一个根为2x =，则该方程的另一个根为x =．【变式2－2】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）7．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式2－3】（23－24九年级·浙江台州·阶段练习）8．若关于x 的一元二次方程2(0)ax c a =¹的一根为2，则另一根为．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23－24九年级·山东枣庄·期中）9．已知m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，则代数式2422023m m n --+的值为（ ）A ．2022B ．2023C ．4039D ．4040【变式3－1】（23－24·江苏南京·模拟预测）10．设1x 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．【变式3－2】（23－24九年级·辽宁大连·期中）11．设a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，则232a a b ++的值是 ．【变式3－3】（23－24九年级·河南新乡·期末）12．已知a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，则243a a b -+-=．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23－24九年级·湖北武汉·阶段练习）13．已知a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，则代数式221111a b +++的值是（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【变式4－1】（23－24九年级·云南·期末）14．已知,m n 是方程230x x +-=的两个实数根，则332024m m n -++的值是 ．【变式4－2】（23－24九年级·山东淄博·期中）15．已知12,x x 是方程220240x x --=的两个实数根，则代数式321122024x x x -+的值为（ ）A ．4049B ．4048C ．2024D ．1【变式4－3】（23－24九年级·江苏苏州·阶段练习）16．已知：m 、n 是方程2310x x +-=的两根，则355m m n -+= ．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）17．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式5－1】（23－24九年级·四川成都·期末）18．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ）A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2【变式5－2】（23－24九年级·江苏连云港·阶段练习）19．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝ ．【变式5－3】（23－24九年级·四川广安·阶段练习）20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +12k 2﹣2＝0．设x 1，x 2是方程的根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2＝5，则k 的值为 ．【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23－24九年级·江苏无锡·阶段练习）21．已知s 满足22310s s --=，t 满足22310t t --=，且s t ¹，则s t += ．【变式6－1】（23－24·湖南常德·一模）22．若两个不同的实数m 、n 满足21m m =+，21n n -=，则22m n += ．【变式6－2】（23－24九年级·全国·竞赛）23．已知实数a b 、分别满足21163a a =+和21312b b =-，那么b a a b+的值是 ．【变式6－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）24．若4231a a -=，231b b -=，且21a b ¹，则2ba 的值是 ．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23－24九年级·浙江台州·期末）25．若关于x 的一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，则方程21210a x a x c -+-+=（）（）的两根分别是（ ）．A ．1m +，1m --B ．1m +，1m -+C ．1m +，2m +D ．1m - ，1m -+【变式7－1】（23－24九年级·安徽合肥·期中）26．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，则a b c ++的值是 ．【变式7－2】（23－24九年级·浙江·自主招生）27．设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程2890x cx d --=的解，c 、d 是方程2890x ax b --=的解，则++a b c d +的值为 ．【变式7－3】（23－24九年级·安徽合肥·期末）28．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是正数，q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-＜C ．q 是正数，p 是负数D ．22(2)(2)8p q -->+【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23－24九年级·山东·课后作业）29．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或【变式8－1】（23－24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）30．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是 ．【变式8－2】（23－24九年级·安徽六安·阶段练习）31．已知正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，则正方形ABCD 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式8－3】（23－24九年级·浙江杭州·期中）32．已知关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在矩形，1x 和2x k 的值；若不存在，请说明理由．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例9】（23－24·浙江宁波·模拟预测）33．已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有两个根1x ，2x ，且满足1212x x <<<．记=+t a b ，则t 的取值范围是 ．【变式9－1】（23－24九年级·浙江金华·阶段练习）34．若关于x 的方程()24550x x m --+=的解中，仅有一个正数解，则m 的取值范围是 ．【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·阶段练习）35．若关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，其中240p q -³，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q <【变式9－3】（23－24九年级·河南南阳·期中）36．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23－24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）37．定义：若x ₁、x ₂是方程()²00ax bx c a ++=¹的两个实数根，若满足2121x x x x -=×，则称此类方程为“差积方程”．例如：()1102x x æö--=ç÷èø是差积方程．(1)判断方程26510x x -+=是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程()2220x m x m -++=是“差积方程”，直接写出m 的值；(3)当方程(()²00ax bx c a ++=¹为“差积方程”时，求a 、b 、c 满足的数量关系．【变式10－1】（23－24九年级·上海青浦·期中）38．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如 20x x +=是“差1方程”． 已知关于 x 的方程 ()210x m x m ---=（m 是常数）是“差1方程”，则 m 的值为【变式10－2】（23－24九年级·四川·阶段练习）39．已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@a b ，如6@15===m ，n 是一元二次方程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=．【变式10－3】（23－24九年级·江苏盐城·阶段练习）40．定义：已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两个实数根，若120x x <<，且1234x x <<，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程213300x x ++=的两根为110x =-，23x =-，因为1030-<-<，10343-<<-，所以一元二次方程213300x x ++=为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程29140x x ++=是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x 的一元二次方程()22980x k x k ++++=是“限根方程”，且方程的两根1x 、2x 满足12121111121x x x x ++=-，求k 的值．1．23-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=¹，若1x ，2x 是该方程的两个实数根，则1212.,b c x x x x a a +=-=直接根据一元二次方程根与系数的关系得到4m n +=，6mn =-，再根据11m nm n mn++=进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+可化为2460x x --=，这个方程的两根分别为m ，n ，∴4m n +=，6mn =-，114263m n m n mn +\+===--，故答案为：23-．2．5-【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得2a b +=，7ab =-，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，2a b \+=，7ab =-，()()()228457245a b ab a b \--=-++-´+=-=-．故答案为：5-．3．54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：Q 方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，1232x x \+=-，1212x x =，则22221212123195()2()212244x x x x x x +=+-=--´=-=．故答案为：54．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程-因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．4．B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出12x x +和12x x ，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵1x ，2x 是方程22370x x +-=的两个根，∴1232x x +=-，1272x x =-，∴331212x x x x +()221212x x x x =+()21212122x x x x x x éù=+-ëû27372222éùæöæö=-´--´-êúç÷ç÷èøèøêúëû2598=-，故选：B ．5．9x =±【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m 的方程，解出方程，求出m 的值，再将m 代入原来方程，解出方程．【详解】解：将已知方程化简可得：3x 2＋（9－7m ）x ＋6m ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝9-7m-3，x 1x 2＝2m ，根据已知条件可得∶9-7m-3＝2m ，解出：m ＝9，将m ＝9代入化简后的方程可得：x 2－18x ＋18＝0，化成完全平方得：（x －9）2＝63，解得x ＝9±故答案为∶ 9x =±【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．6．3-【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程()200ax bx c a ++=¹两根分别是12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=，进行解题即可．【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则26t =- ，解得3t =-，故答案为3-7．2122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．8．2-【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到20m +=是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则20m +=，解得：2m =-，故答案为：2-．9．D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出222021m m -=，2bm n a+=-=，将原式化简求值即可．【详解】解：∵m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，∴222021m m -=，2bm n a+=-=，2422023m m n --+222()2023m m m n =--++2021222023=-´+4040=，故选：D ．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．10．2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到123x x +=，之后将1x 代入方程中得到211320200x x --=，变形为21132020x x -=，两式相加即可得到答案．【详解】解：1x Q 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，123x x \+=，211320200x x --=21132020x x -=\()()12211211220203202323x x x x x x x \=++=-+-+=．故答案为：2023．11．20-【分析】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，∴218a a +=-，1a b +=-，∴()()22322182(1)20a a b a a a b ++=+++=-+´-=-，故答案为：20-．12．5-【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握20ax bx c ++=的两根1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，∴257a a -=-，5a b +=，∴()()2537535a a a b -++-=-+-=-，故答案为：5-．13．B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得3a b +=，1ab =，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，∴3a b +=，1ab =，∴221111a b +++2211=a ab b ab+++()()11=a a b b a b +++11=33a b+=3a b ab+331=´1=，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．14．2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得1m n +=-，23m m -=-，再代入求值即可．【详解】解：∵m n ，是方程230x x +-=的两个实数根，将x m =代入方程230x x +-=，得230m m +-=，即23m m -=-，23m m=-∴332024m m n -++()232024m m n =-++22024m n =-++，∵23m m =-，∴22024m n -++32024m n =-+++2021m n =++，∵1m n +=-，∴2021120212020m n ++=-+=．故答案为：2020．15．A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220240x x --=的两个实数根，∴2112024x x -=，122024x x =-，121x x =+321122024x x x -+()()()2222211212121220242122024x x x x x x x x x =-+=+=+-=-´-4049=故选A16．18-【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2310m m +-=，即231m m =-+，323m m m =-+，再把355m m n -+化简为用m 和n 的一次式表示得到()53m n +-，再根据根与系数的关系得到3m n +=-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +-=的两根，∴2310m m +-=，且0m ¹，3m n +=-，∴231m m =-+，∴323m m m =-+，2355m m m n=-+-+()33145m m n=--+-+553m n =+-()53m n =+-，∴原式()53318=´--=-，故答案为：18-．【点睛】本题考查根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12b x x a+=-，12c x x a =．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．17． 2 122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--´=，，即b=-2，c=-12∴21214b c +=--=-．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．19．﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ba，两根之积等于ca．”是解题的关键．20．【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.21．32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到31,22s t st +==-是解题的关键．由题意可知实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：Q 实数s 、t 满足22310s s --=，22310t t --=，且s t ¹，\实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，32s t \+=．故答案为：32．22．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：210m m --=，210n n --=，∴m 、n 是关于x 的一元二次方程210x x --=的两个不等实数根，∴1,1m n mn +==-，∴()()222221213m n m n mn +=+-=-´-=，故答案为：3．23．2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当a b =时，2b a a b+=；当a b ¹时， a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，再由根与系数的关系求出a b +和ab ，再将b a a b +变形为()22a b ab ab+-，即可求解．【详解】解：分两种情况：当a b =时，112b a a b+=+=；当a b ¹时，Q 21312b b =-，\21163b b =+，\2620b b -+=，又Q 21163a a =+，\2620a a -+=，\a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，\661a b -+=-=，2ab =，\()22222622162a b ab b a b a a b ab ab +-+-´+====，故答案为：2或16．24【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以得到2a 和b 是方程2310x x --=的两根，然后解方程即可．【详解】解：由题意得：42310a a --=()222310a a --=，2310b b --=，∴2a 2x=∴2b a =25．A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程220ax ax c ++= 的另一个根，设1x t -=，根据方程220ax ax c ++= 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，设方程另一根为n ，∴22a n m a+=-=-，解得：2n m =--，设1x t -=，方程21210a x a x c -+-+=（）（）变形为220at at c ++=，由一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的根可得，1t m =，22t m =--，∴12x m -=--，1x m -=，∴11x m =--，21x m =+，故答案为：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．26．-3或29【分析】设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，由题意得,(1)(1)a a a b a b +=-++=，两式相加得2210ab a b +++=，即()()223a b ++=，所以21{23a b +=+=，；或23{2 1.a b +=-+=-，解得1{1a b =-=，；或5{ 3.a b =-=-，又因为(),,[(1)(1)]a b c a b ab a b =-+==-+++所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-或29．故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；27．648【分析】由根与系数的关系得a b +，+c d 的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得2890a ac d --=，代入可得272980a a c ac -+-=，同理可得272980c c a ac -+-=，两式相减即可得a c +的值，进而可得+++a b c d 的值．【详解】解：由根与系数的关系得8a b c +=，8c d a +=，两式相加得()8a b c d a c +++=+．因为a 是方程2890x cx d --=的根，所以2890a ac d --=，又8d a c =-，所以272980a a c ac -+-=①同理可得272980c c a ac -+-=②①-②得()()810a c a c -+-=．因为a c ¹，所以81a c +=，所以()8648a b c d a c +++=+=．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．28．D【分析】设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，即可判断A 与C ；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8，即可判断B 与D ．【详解】解：设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，∴（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＝p 2﹣4q +4+q 2﹣4p +4＞8（p 、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．29．A【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则2225AO BO +=，则再根据根与系数的关系可得：2213AO BO m AO BO m +=-+´=+，；代入22AO BO +中，得到关于m 的方程后，求得m 的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：2225AO BO +=，又有根与系数的关系可得：221,3AO BO m AO BO m +=-+´=+，∴()()()222222212325AO BO AO BO AO BO m m +=+-´=-+-+=，整理得：22150m m --=，解得：m =−3或5.又∵0D >,∴22(21)4(3)0,m m --+> 解得114m <-∴3m =-.故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.30．111<<m 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．31．B【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.首先根据正方形的性质得到AB AD =，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到1AB CD ×=，进而求出1AB CD ==，即可得到正方形ABCD 的周长．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD=∵正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，∴1AB CD ×=，∴1AB CD ==∴正方形ABCD 的周长为4．故选：B ．32．(1)94k £(2)不存在，理由见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．（1）求出D 的值，根据已知得出不等式，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出123x x +=，12x x k =，根据已知得出22212x x +=，变形后代入求出k 的值，进行判断即可．【详解】（1）解：Q 关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ，()23410k \D =--´´³，解得：94k £；（2）1x 和2x 一元二次方程230x x k -+=的两根，123x x \+=，12x x k =，1x Q 和2x ，22212x x \+=，()2121222x x x x \+-=，922k \-=，解得：72k =，94k £Q ，7924>，72k \=不符合题意，\不存在矩形，1x 和2x ．33．10t -<<【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，得到()()12111t x x =---，由1212x x <<<可得()()120111x x <--<，即得到()()1211110x x -<---<，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，∴()12a x x =-+，12b x x =，∴()()()121212111t a b x x x x x x =+=-++=---，∵1212x x <<<，∴1011x <-<，2011x <-<，∴()()120111x x <--<，∴()()1211110x x -<---<，即10t -<<，故答案为：10t -<<．34．5m ³-【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得m 的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî．【详解】解：Q 关于x 的方程245(5)0x x m --+=的解中，仅有一个正数解，\()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî，解得5m ³-．故答案为：5m ³-．35．A【分析】据2p －4q ³0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p ，q 的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】2p Q －4q ³0，\方程有两个实数根.设1x ，2x 是该方程的两个负数根，则有1x +2x ＜0，x 1x 2＞0，1x +2x =-p,12x x =q ，\-p<0，,q>0.\p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.36．B【分析】利用根的判别式0D >及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴()2Δ241120120m m ì=-´´->í-<î解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于c a ”是解题的关键．37．(1)是，证明见解析(2)23m =或2-(3)224b ac c -=【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得1x ，2x ；根据新定义列出方程即可求解．【详解】（1）方程26510x x -+=是“差积方程”，证明：26510x x -+=，即(21)(31)0x x --=，解得112x =，213x =，11112323-=´Q ，26510x x \-+=是差积方程；（2）解：()2220x m x m -++=，()()20x m x --=解得方程的解为：12x =，2x m =，2(2)20x m x m -++=Q 是差积方程，22m m \-=，即：22m m -=或22m m -=-．解得：23m =或2-，（320 (0)a ¹解得1x =，2x =20ax bx c ++=Q (0)a ¹是差积方程，1212x x x x \-=×，即224b ac c -=．38．2-或0##0或―2【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．【详解】解：设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，∴()()()2222112124141x x x x x x m m -=+-=-+=，解得：2m =-或0m =，故答案为：2-或0．39．25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=======25=【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．40．(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)5【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）因式分解法解一元二次方程得1272x x =-=-，，根据定义，求解作答即可；（2）由()22980x k x k ++++=，可得129x x k +=--，1228x k x =+，代入12121111121x x x x ++=-，整理得，211300k k -+=，解得，5k =或6k =，分当5k =时，当6k =时，两种情况求解，然后判断作答即可．【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵29140x x ++=，∴()()720x x ++=，解得，1272x x =-=-，，∵7342-<<-，∴方程为“限根方程”；（2）解：∵()22980x k x k ++++=，∴129x x k +=--，1228x k x =+，∵12121111121x x x x ++=-，∴()121211112x x x x ++=-，即()29812111k k --++=-，整理得，211300k k -+=，∴()()560k k --=，解得，5k =或6k =，①当5k =时，214330x x ++=，解得，12113x x =-=-，，∵11343-<<-，∴5k =符合题意；②当6k =时，215440x x ++=，解得，12114x x =-=-，，∵1134-<-，∴6k =不符合题意，舍去；∴k 的值为5．。
冀教版九年级上册：24.3《一元二次方程根与系数的关系》同步练习(含答案)
24.3 一元二次方程根与系数的关系基础巩固JICHU GONGGU1．已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．27 2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．3．已知方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，求m 的值及该方程的另一个根．4．设x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋6x －92＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值． (1)x 21·x 2＋x 1·x 22；(2)|x 1－x 2|.5．关于x 的方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，若x 21＋x 22＝11，求实数k 的值．能力提升NENGLI TISHENG6．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋a b 的值是( )A ．7B ．－7C ．11D ．－11 7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立，请说明理由．8．已知a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，a ＜b ＜c ，(1)求证：关于x 的方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c ＝3a ，x 1，x 2是这个方程的两根，求x 21＋x 22的值．参考答案1．D 点拨：∵α，β是方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，∴α＋β＝5，αβ＝－2.又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.故选D.2．x 2＋3x －10＝0(答案不唯一) 点拨：设这个方程是x 2＋bx ＋c ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得b ＝－(2－5)＝3，c ＝－10；则这个方程是x 2＋3x －10＝0.3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x ＝3代入原方程即可求得m 及另一根的值．解：∵方程x 2＋(m －1)x ＋m －10＝0的一个根是3，∴9＋3(m －1)＋m －10＝0，即4m －4＝0，解得m ＝1.由方程x 2－9＝0，解得x ＝±3，故所求方程的另一根为－3.4．解：x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－32， (1)x 21·x 2＋x 1·x 22＝x 1·x 2(x 1＋x 2)＝－32×(－2)＝3. (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－2)2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝4＋6＝10.故|x 1－x 2|＝10.5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x 1，x 2是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根时，x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．解：∵方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0的两实数根为x 1与x 2，∴Δ＝[－(k ＋2)]2－4(2k ＋1)≥0，解得k ≥4或k ≤0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k ＋2，x 1x 2＝2k ＋1，∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11，∴(k ＋2)2－2(2k ＋1)＝11.∴k 2－9＝0，解得k ＝±3.∵k ≥4或k ≤0，∴k ＝3舍去．故k ＝－3.6．A 点拨：根据题意得a 与b 为方程x 2－6x ＋4＝0的两根，则a ＋b ＝6，ab ＝4.故原式＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝36－84＝7. 7．解：∵关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k ＋1)≥0.∴k ≤3.又3x 1·x 2－x 1＞x 2，∴3x 1·x 2－(x 1＋x 2)＞0.而x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，∴3×(k ＋1)－4＞0.∴k ＞13. ∴13＜k ≤3， ∴存在实数k ，使得3x 1·x 2－x 1＞x 2成立．8．(1)证明：把方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0化成一般形式为(c －a )x 2－22bx ＋a ＋c ＝0，其判别式Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2，∵a ，b ，c 是Rt△ABC 三边的长，且a ＜b ＜c ，∴Δ＝8b 2－4a 2＋4c 2＞0.∴方程a (1－x 2)－22bx ＋c (1＋x 2)＝0有两个不相等的实数根．(2)解：∵x 1＋x 2＝22b c －a ，x 1·x 2＝a ＋c c －a， 又c ＝3a ，∴x 1＋x 2＝2b a ，x 1·x 2＝2， ∴x 21＋x 22＝2b 2a2－4.文档说明(Word文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学上2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习
（带答案）
湘教版九年级数学上册第二一元二次方程2．4一元二次方程根与系数的关系
同步练习题
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是()
A．－10 B．10
．－16 D．16
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1•x2等于()
A．－4 B．－1 ．1 D．4
3．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－x＋－2＝0的两个实数根，是否存在实数使1x1＋1x2＝0成立？则正确的结论是()
A．＝0时成立B．＝2时成立
．＝0或2时成立D．不存在
4．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)x2－3＝10x＋4
．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系求：
(1)(x1＋1x2)(x2＋1x1)；
(2)(x1－x2)2
6．已知一元二次方程x2－6x＋＝0有一个根为2，求另一个根及的值．
7 已知关于x的一元二次方程x2＋2(＋1)x＋2－1＝0
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数的值
8．若3是关于方程x2－x＋＝0的一个根，则这个方程的另一个根是()
A．－2 B．2 ．－D．
9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋＝0的两个实数根分别为x1＝
－2，x2＝4，则b＋的值是()
A －10 B．10
．－6 D．－1
10．若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2＝() A．－8 B．32．16 D．40
11．若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2＝_______．
12．若关于x的方程x2＋(－2)x＋2＝0的两根互为倒数，则＝_______．
13．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根．求(x1＋x2)2÷(1x1＋1x2)的值
14．关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝有两个实数根x1，x2 (1)求的取值范围；
(2)若x1，x2满足等式x1x2－x1－x2＋1＝0，求的值．
1．一元二次方程x2－2x＋－2＝0
(1)若方程有两实数根，求的范围．
(2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求的值．
16 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(＋1)x＋2＋＝0的两实根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求的值；
(2)已知等腰△AB的一边长为7，若x1，x2恰好是△AB另外两边的边长，求这个三角形的周长．
答案：
1---3 AA
4 (1) 解：x1＋x2＝2，x1x2＝－32
(2) 解：原方程整理为x2－4x－4＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－4
(3) 解：原方程整理为x2－10x－7＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－7 (1) 解：(x1＋1x2)(x2＋1x1)＝x1x2＋1x1x2＋2，由题意知x1＋x2＝3，x1x2＝32，∴原式＝32＋23＋2＝26
(2) 解：(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，∴原式＝32－4×32＝3
6 解：设x2－6x＋＝0的另一根为x2，则2＋x2＝6，解得x2＝4由
根与系数的关系，得＝2×4＝8因此，方程的另一根为4，的值为8
7 解：(1)由题意知Δ＝[2(＋1)]2－4(2－1)＝8＋8≥0，∴≥－1
(2)(x1－x2)2＝16－x1x2，即(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，又x1＋x2＝－2(＋1)，x1x2＝2－1，∴[－2(＋1)]2＝16＋3(2－1)，解得1＝－9，2＝1, 又≥－1∴的值为1
8---10 BA
11 －1
12 －1
13 解：∵x1，x2是方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x1•x2＝1∴原式＝42÷x1＋x2x1x2＝42÷4＝4
14 (1) 解：原方程整理为x2－x＋6－＝0，∵Δ＝b2－4a＝(－)2－4×1×(6－)＝1＋4≥0，∴≥－14
(2) 解：∵x1＋x2＝，x1•x2＝6－，∴x1x2－x1－x2＋1＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝6－－＋1＝0，∴＝2
1 解：(1)由题意知Δ≥0≠0即8≥0≠0，∴>0
(2)|x1－x2|＝1，即(x1－x2)2＝1，也就是(x1＋x2)2－4x1x2＝1，而x1＋x2＝2，x1x2＝－2，∴22－4×－2＝1，解得＝8，而8>0，∴的值为8
16 解：(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(＋1)，x1x2＝2＋，∴2＋－2(＋1)＝27，解得1＝6，2＝－4，又Δ＝[－2(＋1)]2－4×1×(2＋)≥0时，≥2，∴的值为6
(2) 若7为腰长，则方程x2－2(＋1)x＋2＋＝0的一根为7，即72－
2×7×(＋1)＋2＋＝0，解得1＝10，2＝4，当＝10时，方程x2－22x ＋10＝0，根为x1＝1，x2＝7，不符合题意，舍去．当＝4时，方程为x2－10x＋21＝0，根为x1＝3，x2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17ⅱ
若7为底边，则方程x2－2(＋1)x＋2＋＝0有两等根，∴Δ＝0，解得＝2，此时方程为x2－6x＋9＝0，根为x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，综上所述，三角形周长为17。