衡水中学二调理科数学
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(理)试题(含答案)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A ．2,1B ．-2，-1C ．3,1D ．-3，-1【答案】C 【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.4．已知命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，则命题p 成立是命题q 成立的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据命题p 和命题q ，分别得到k 的范围，从而得到答案.【详解】命题p ：0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=，则0042x x k =-， 0[0,)x ∈+∞，所以设[)021,x t =∈+∞，则2k t t =-，在[)1,t ∈+∞上单调递增，所以[)0,k ∈+∞，命题q ：()0,x ∀∈+∞，20x k +>，可得[)0,k ∈+∞所以命题p 成立是命题q 成立的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.5．已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x x =，得()()g x f x x =-，分0x ≤和0x >进行讨论，利用零点存在定理，得到()g x 的零点个数，从而得到答案.【详解】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数， 所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.6．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．【详解】 因为()2,224x x f x x -+≤⎧=<≤ 所以()412f x dx =⎰()12222x d x -++⎰⎰()22211221222x dx x x -+=-+⎰()22111122222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⨯--+⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 98=2⎰的几何意义为以()3,0为圆心，以1r =为半径的圆，在x 轴上方的部分因而21122S ππ=⨯⨯= 所以()21229942828x dx ππ+-++=+=⎰⎰ 所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．7．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( )A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，这样原不等式可以转化为()e t f t >，构造新函数()()e x f x g x =，求导，并结合已知条件()()f x f x '>，可以判断出()g x 的单调性，利用单调性，从而可以解得1t >，也就可以求解出x e >，得到答案.【详解】解:令ln t x =，则(ln )()e t f x x f t >⇔>， 令()()e x f x g x =，则()()()0ex f x f x g x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔> ()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.8．若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( )A ．[]3,-+∞B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】B【解析】根据题意得到()f x 关于1x =成轴对称，得到()()31f f =-再利用导数，得到1x ≥时的单调性，从而得到不等式()()3f x f ≥的解集.【详解】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2x f x x e =-， 所以()2xf x x e '=- 设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-， 当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，。
2020-2021学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷
2020-2021学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若010a b <-<<，，则下列不等关系正确的是（ ） A ．2ab ab a >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >>D ．2a ab ab >>2．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值mn＝（ ）A ．1B ．13C ．38D ．293．已知实数,x y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则32z x y =-+的最小值为A ．4-B ．2C ．4D ．6 4．下列函数中，最小值为4的是A ．4()f x x x=+B ．4()cos cos f x x x=+C ．()343xxf x -=+⨯ D ．10()lg log f x x x =+5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,,600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为．这名学生分住在三个营区，从到在第I 营区，从到在第II 营区，从496到600在第III 营区，三个营区被抽中的人数依次为 （ ） A ．26,16,8 B ．25,17,8 C ．25,16,9 D ．24,17,9 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数]。
图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。
现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<97．设不等式组{x≥1x-2y+3≥0y≥x所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x−4y−9=0对称,对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B,|AB|的最小值等于（）A．285B．4 C．125D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需做的除法次数为A．3 B．4 C．5 D．610．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是否是A ．3015B ．3016C ．3017D ．301812．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．(]3,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、填空题13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下图所示，直方图中的x 值为 ．14．已知,m n R +∈，m n ≠，,(0,)x y ∈+∞，则有222()m n m n x y x y++≥+，当且仅当m n x y =时等号成立，用此结论，可求函数43(),(0,1)31f x x x x=+∈-最小值为 ．15．已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 ．16．若0,0a b ≥≥，且当0{01x y x y ≥≥+≤时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标的点(),P a b 所形成的平面区域的面积等于 ．17．已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且1231(*)n n S S n n N +=++∈，设2log (3)n n c a =+，若存在常数k ，使不等式1(*)(25)n nc k n N n c -≥∈+恒成立，则k 的最小值为 ．18．已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 ．三、解答题19．（本小题满分12分）某学校1800名学生在一次一百米测试中，全部介于13秒与18秒之间，抽取其中的50个样本，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)，第三组[14,15)，…，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数与平均数； （4）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数．（保留两小数）20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察流程图，当2k =时，14S =；当5k =时，413S =，是结束（1）写出4k =时，S 的表达式（用1234,,,a a a a 等来表示）； （2）求{}n a 的通项公式；（3）令2nn n b a =，求12n b b b +++．21．（本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售S （单位：万元）与日产量的函数关系式为35,06814,6k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值． 22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足(()122,*nb n a a a n N =∈，若{}n a 为等比数列，且12a =，326b b =+．（1）求n a 与n b ； （2）设11n n nc a b =-（*n N ∈），记数列{}n c 的前n 项和为n S ， （I ）求；（II ）求正整数，使得对任意*n N ∈均有n k S S ≥． 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(1)n n S a n=-+（*n N ∈）， （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}2nn a 的前n 项和为n T ，1231111...n n A T T T T =++++，试比较n A 与2nna 的大小.参考答案1．A 【解析】 试题分析：210,01b b -<<∴<<，221,0,b b a ab ab a ∴<∴．故A 正确．考点：不等式的性质． 2．C 【解析】试题分析：由茎叶图可知乙的中位数是，甲、乙两组数据中位数相同所以，所以甲的平均数为，甲、乙两组数据平均数也相同，所以解得，所以m n ＝38考点：由茎叶图求中位数及平均数. 3．A 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域，由图可知，当目标函数32z x y =-+经过可行域内的点(0,2)A -时，目标函数取得最小值4-，故选A ．考点：线性规划． 4．C 【解析】试题分析：对于A 、B 、D ，未给出自变量的范围，所以()f x 均无最小值，故错误；对于C ，()3434x x f x -=+⨯≥=，当且仅当343x x -=⨯，即3log 2x =时等号成立，故选C ． 考点：基本不等式．【易错点睛】本题主要考查基本不等式的应用，在解题过程中4()f x x x=+与10()lg log f x x x =+容易忽略均为正数，导互导致错误，4()cos cos f x x x=+容易忽略取等号的条件导到错误． 5．B 【解析】试题分析：根据系统抽样原原则，将600名学生平均分成50个组，每组12人，又随机抽得的号码为003，所以抽到的样本的序号为3(1)12k +-⨯(*,50)k N k ∈≤，由13(1)12300k ≤+-⨯≤得125k ≤≤，所以第一营区被抽中人数为25人，3013(1)12495k ≤+-⨯≤得2642k ≤≤，所以第二营区被抽中人数为17人，由4963(1)12500k ≤+-⨯≤得4350k ≤≤，所以第三营区被抽中人数为8人，故选B ．考点：系统抽样． 6．C 【解析】考查算法的基本运用。
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试卷
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理)试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设集合A ={x|x <2}，B ={y|y =2x −1,x ∈A}，则A ∩B =（ ）A ．(−∞,3)B ．[2,3)C ．(−∞,2)D ．(−1,2)2．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z -的共轭复数是（ ） A ．13i - B ．13i + C ．13i -+ D ．13i --3．有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出15√2m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是A ．34B ．38C ．3π16D ．12+3π324．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()122n n S a n =+≥，且12a =，则20S =（ ）A ．1921-B ．2122-C ．1921+D ．2122+5．已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ） A ．48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4√3B ．5√3C ．6√3D ．8√37．f(x)=log 12(ax 2+2x −1)，g(x)=2+2sin(2x+π6)sinx+√3cosx ，若不论x 2取何值，对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−710) B ．(−∞,−45) C ．(−6380,+∞) D ．(−4049,−45)8．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P L ，记()2•1,2,,10i i m AB AP i ==u u u u r u u u r L ，则1210m m m +++L 的值为（ ）A ．B ．45C ．D ．1809．已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的x,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，若动点P(x,y)满足等式f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0，则x +y 的最大值为（ ）A ．2√6−5B ．-5C ．2√6+5D ．510．数列{}n a 满足143a =，*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈，且12111n n S a a a =+++L ，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{0,2} 11．等腰直角OAB ∆内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB ∆的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OM MF的最大值为（ ）ABCD ．312．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ， y 满足25{26x y x yx -≥-≤<，则该学校今年计划招聘教师最多__________人．13．已知函数()22sin 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的两个零点分别为,()m n m n <，则m =__________．14．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为__________．15．已知是定义在R 上的函数，且满足①f(4)=0；②曲线y =f(x +1)关于点(−1,0)对称；③当x ∈(−4,0)时，f(x)=log 2(xe |x|+e x −m +1)，若y =f(x)在x ∈[−4,4]上有5个零点，则实数m 的取值范围为__________．16．已知向量2,1),(cos ,cos 1)m x n x x ωωω==+v v ，设函数()f x m n b =⋅+v v . （1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，[0,3]ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.17．如图，已知四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90∘，且SA =AB =BC =2CD ，E 是边SB 的中点．（1）求证：CE//平面SAD ；（2）求二面角D −EC −B 的余弦值大小．18．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E(ξ1)=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p(0<p <1)和1−p ，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m,n 的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）19．如图，曲线Γ由曲线22122:1(0,0)x y C a b y a b+=>>≤和曲线22222:1(0,0,0)x y C a b y a b-=>>>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点．（1）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆的面积的最大值．20．设()()4ln 31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[)1,x ∈+∞， ()()1f x m x ≤-恒成立，求m 的取值范围；（3）求证： ()()()()*1ln 41164143n i in n N i i =+≤∈+-∑． 21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. （1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.22．选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x −a|,a <0．（1） 证明:f(x)+f(−1x )≥2； （2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】由集合A ={x|x <2}，B ={y|y =2x −1,x ∈A}，得B =(−1,3)，则A ∩B =(−1,2)，故选D.2．A【解析】 22222(1)(1)212131(1)(1)i z i i i i i z i i i +-=--=+=++=+--+ ,所以共轭复数是13i - ．故选A ．3．B【解析】所求概率为几何概型，测度为长度，如图AB =CD =50,BC =DA =30, OE =15√2,OS =15⇒ES =√OE 2−OS 2=15⇒EF =MN =30 ,因此概率为EF+MN AB+BC+CD+DA =30×2(50+30)×2=38 ，选B.4．C【解析】当2n =时，得22212a a +=+，即21a =，由()122n n S a n =+≥可知： 1112n n S a ++=+，两式相减可得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，故数列{}n a 是从第二项起以2为公比的等比数列，则()19192011222112S -=+=+-，故选C.5．A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭，选A. 6．A【解析】由三视图可知，该几何体为左边两个相同的三棱锥，右边一个三棱柱的组合体；且三棱锥的底面是直角边长为√3和1的直角三角形，高为3，三棱柱的底面为边长为2的等边三角形，高为3，故其体积为：V =2×13×12×1×√3×3+12×2×2×sin60∘×3=4√3，故选A.7．D【解析】∵g(x)=2+2sin (2x+π6)sin x+3cos x =2−2cos(2x+2π3)2sin(x+π3)=2sin(x +π3)，∴g max (x 2)=2； 对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，即f min (x 1)>2恒成立； 等价于0<ax 12+2x 1−1<14在x 1∈[710,32]恒成立，即1−2x 1x 12<a <54−2x 1x 12对任意x 1∈[710,32]恒成立，设p(x 1)=1−2x 1x 12=(1x 1−1)2−1，q(x)=54−2x 1x 12=54(1x 1−45)2−45， ∵x 1∈[710,32]，∴1x 1∈[23,107]，∴p(x 1)max =(107−1)2−1=−4049， q(x 2)min =−45，∴a ∈(−4049,−45)，故选D. 点睛：本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论x 2取何值，对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，等价于f(x 1)min >g(x 2)max ，求三角函数g(x)=2+2sin(2x+π6)sinx+3cosx 的最大值需通过三角运算公式将其化简为g(x)=2sin(x +π3)，最后利用分离参数的思想求参数a 的取值范围.8．D【解析】因为2AB 与33B C 垂直,设垂足为C ，所以i AP u u u r 在2AB u u u u r 投影为AC ，22·18i i m AB AP AB AC ==⨯==u u u u r u u u r ，从而1210m m m +++L 的值为1810180.⨯= 选D.点睛：本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影. 其有两个要素，一是有个定向量，二是明确垂足位置.9．A【解析】对任意的x,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，令x =0,y =0，都有f （0+0）=f （0）+f （0）⇒f （0）=0，动点P(x,y)满足等式f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0，即有f(x 2+y 2+2x +8y +5)=0=f(0)，由函数f(x)是定义在R 上的单调函数， 可得x 2+y 2+2x +8y +5=0，化为（x +1）2+（y +4）2=12，可令x =−1+2√3cosα，y =−4+2√3sinα α∈（0，2π），则x +y =2√3(cosα+sinα)−5=2√6cos(α−π4)−5，当cos(α−π4)=1即α=π4时，x +y 取得最大值2√6−5，故选A. 点睛：本题考查抽象函数的运用，注意赋值法的运用，考查转化思想，以及三角换元法，两角差的余弦公式和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题；由条件可令x =0,y =0，求得f(0)=0，再由f(x) 为单调函数且满足的条件，将f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0化为f(x 2+y 2+2x +8y +5)=f(0)，可得x 2+y 2+2x +8y +5=0，配方后，利用三角换元，运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值.10．A【解析】试题分析：对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数，得111111n n na a a +-=--，累加得1111113111n n n S a a a ++=-=----，由211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥，n a 为单调递增数列，123413133,,3981a a a ===，其中111S a =，整数部分为0，293344S =-=，整数部分为0，37552S =，整数部分为1，由于3n S <，故选A ． 考点：递推数列，数列求和．【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项、数列求和有关问题．对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数后，有111111n n na a a +-=--，这个相当于数列求和方法中的列项求和法，由此可以得到1111113111n n n S a a a ++=-=----，结合数列211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥，n a 为单调递增数列，通过列举法，可求得整数部分有{}0,1,2，三种可能．11．C【解析】【分析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，利用OA OB =可求得12x x =，进而可求得4AB p =，由OAB S ∆求得P=2．做抛物线的准线，与x 轴的交点为N （-1,0），MA 垂直于准线，由抛物线的定义得|MF|=|MA|，设M 到准线的距离等于d ，化简为OMMOMF d ==【详解】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =．由OA OB =得：22221122x y x y +=+，221212220x x px px -=-=∴，即()()1212++20x x x x p -=，10x >Q ，20x >，20p >，12x x =∴，即,A B 关于x 轴对称．∴直线OA 的方程为：tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x p y p =⎧⎨=⎩， 故4AB p =，212442OAB S p p p ∆=⨯⨯=∴． AOB ∆Q 的面积为16，2P =∴；焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >，设M 到准线1x =-的距离等于d ，则OM MO MFd==．令1m t +=，1t >，则OMMF =≤3t =时，等号成立）． 故OMMF故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，求得A ，B 关于x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题． 12．10【解析】试题分析：由于某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，且x 和y 须满足约束条件25,{2,6,x y x yx -≥-≤<，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y ⇔y="-x+z" 则题意转化为，在可行域内任意去x ，y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值-1，截距最大时的直线为过250{5x y x --==⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10 考点：本题考查了线性规划的运用点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 13．2π 【解析】由题意得21011x x -≥⇒-≤≤ ,而()()π102sin 02f x x x x x ⎛⎫=⇒=+≠⎪⎝⎭,因为1π2,2sin 22x x x ⎛⎫+≥≤ ⎪⎝⎭,所以1,1,1x m n =±=-=,11- 表示单位圆在x 轴上方(含与x 轴交点)半圆的面积,即π2. 14．6349π 【解析】 试题分析：在等腰中，5AB AC ==，8BC =，取的中点，连接，重心为的三等分点，，，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG与底面ABC 所成角的正切值为12，所以，，在等腰中，，，所以的外接圆直径，，设的外接圆圆心为，四面体ABCD 的球心为，在中，，球的表面积为，故答案为6349π. 考点：球的表面积和体积. 15．[−3e −4,1)∪{−e −2}【解析】∵曲线y =f(x +1)关于点(−1,0)对称，∴曲线y =f(x)关于点(0,0)对称， ∴f(x)在R 上是奇函数，∴f(0)=0，又∵f(4)=0，∴f(−4)=0，而y =f(x)在x ∈[−4,4]上有5个零点，故x ∈(−4,0)时，f(x)=log 2(xe |x|+e x −m +1)有一个零点，而f(x)=log 2(x e|x|+e x−m +1)=log 2(x e −x+e x −m +1)=log 2(xe x +e x −m +1)故xe x +e x −m =0在(−4,0)上有一个解，令g(x)=xe x +e x −m ，g ′(x)=e x +xe x +e x =e x (x +2)，故g(x)在(−4,−2)上是减函数，在(−2,0)上是增函数； 而g(−4)=−3e−4−m ，g(0)=1−m ，而g(−4)<g(0)，故{g(−4)=−3e −4−m ≤0g(0)=1−m >0或g(−2)=−e −2+m =0，解得m ∈[−3e −4,1)∪{−e −2}，故答案为[−3e −4,1)∪{−e −2}.16．(1)[,]().36k k k Z ππππ-+∈(2)5({}2b ∈--U . 【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数()•f x m n b =+r r，利用函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈可得1ω=，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出函数()f x 的单调性，函数()f x 有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b 的取值范围. 试题解析：解：向量),1m x rω=，()cos ,cos21n x x ωω=+r，()2•cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=+=+++r r133cos2sin 22262x x b x b πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭ （1）∵函数()f x 图象关于直线6x π=对称，∴()2?662k k Z πππωπ+=+∈，解得：()31k k Z ω=+∈，∵[]0,3ω∈，∴1ω=，∴()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）知()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减． 又()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴当70312f f ππ⎛⎫⎛⎫>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数()f x 有且只有一个零点． 即435sinsin 326b ππ≤--<或3102b ++=，所以满足条件的52b ⎛⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎦． 17．（1）详见解析；（2）−√105.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取SA 中点F ，连接EF ，FD ， ∵E 是边SB 的中点， ∴EF ∥AB ，且EF =12AB ，又∵∠ABC =∠BCD =90°， ∴AB ∥CD ，又∵AB =2CD ，即CD =12AB ，∴EF ∥CD ，且EF =CD ， ∴四边形EFDC 是平行四边形， ∴FD ∥EC ，又FD ⊂面SAD ，CE ⊄面SAD ， ∴CE ∥面SAD .（2）解：在底面内过点A 作直线AM ∥BC ，则AB ⊥AM ，又SA ⊥平面ABCD ， 以AB ，AM ，AS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(1，2，0)，E(1，0，1)， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， 设面BCE 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0−x +z =0，令x =1，则z =1，∴n ⃗ =(1，0，1).同理可求面DEC 的一个法向量为m ⃗⃗ =(0，1，2)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗ >=n⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√105，由图可知，二面角D−EC−B是钝二面角，所以其平面角的余弦值为−√105.18．（1）m=0.5,n=0.1；（2）分布列见解析；（3）p=12，最大回报率为12.01%.【解析】试题分析：（1）由题意得：{m+0.4+n=1110m+120×0.4+170n=120，由此能求出m,n的值；（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，分别计算出P(ξ2=41.2)，P(ξ2=117.6)，P(ξ2=204.0)，由此能求出ξ2的分布列；（3）由（2）求出E(ξ2)=−10p2+10p+117.6，解不等式120<−10p2+10p+117.6得p的取值范围，计算出E(ξ2)的最大值，可预测投资乙项目的最大投资回报率.试题解析：解：（1）由题意得：{m+0.4+n=1110m+120×0.4+170n=120，得：m=0.5,n=0.1．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P(ξ2=41.2)=(1−p)[1−(1−p)]=p(1−p)P(ξ2=117.6)=p[1−(1−p)]+(1−p)(1−p)=p2+(1−p)2P(ξ2=204.0)=p(1−p)所以ξ2的分布列为（3）由（2）可得：E(ξ2)=41.2×p(1−p)+117.6×[p2+(1−p)2]+204.0×p(1−p)=−10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E(ξ1)<E(ξ2)，即120<−10p2+10p+117.6，得0.4<p<0.6．因为E(ξ2)=−10p2+10p+117.6，所以当P=12时，E(ξ2)取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%.19．（1）()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>；（2）证明见解析；（3）．【解析】 【分析】（1）本题曲线方程的求法实质为待定系数法，即根据条件列出两个方程组，解出对应参数即可（2）本题证明方法为以算代证，即先求出弦AB 的中点M 坐标，再代入双曲线渐近线方程进行验证.先根据条件设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理及中点坐标公式求出弦中点横坐标（或纵坐标），代入直线方程可得弦中点纵坐标（或横坐标），再代入双曲线另一渐近线方程进行验证.（3）三角形1CDF 的面积可转化为等于两个三角形面积之差，即1143412CDF S F F y y ∆=⋅-，所以只需根据直线方程（设直线斜率）与椭圆方程，利用韦达定理表示出34y y -，并根据判别式大于零列出直线斜率取值范围，最后根据基本不等式求最值. 【详解】（1）2222223620{{416a b a a b b +==⇒-== 则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>（2）曲线2C 的渐近线为by x a =±,如图，设直线():b l y x m a=- 则()()2222222{2201by x m a x mx m a x y a b =-⇒-+-=+= ()22420a m m ∆=->⇒<<又由数形结合知.m a a m ≥∴≤<设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则122212{2x x mm a x x +=-=，0000,22m bm b x y y x a a∴==-∴=-即点M 在直线by x a=-上 （3）由（1）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F设直线1l 的方程为6(0)x ny n =+>()22221454864020166x y n y ny x ny ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩201n ∆>⇒>设()()3344,,,C D x y y x 由韦达定理：34234248456445n y y n y y n -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩34y y ∴-=1143421245CDF S F F y y n ∆=⋅-=+令0t =>,则1219494CDF t S t t t∆==++90412t t t >∴+≥Q ，当且仅当32t =即n =n =()1minCDFS ∆=20．（Ⅰ）0a =（Ⅱ）1m ≥（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析:（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义列方程，解方程可得a 的值；（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题去分母转化为差函数：()14ln 32g x x m x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为()10g =，所以()g x 最大值不小于()1g ，根据()g x 导函数符号可得1m ≥才满足条件.（Ⅲ）不等式证明中涉及求和问题，一般方法为适当放缩，再利用裂项相消法给予证明.本题由（Ⅱ）知，当1x >时, 1m =时, 11ln 324x x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭成立，所以放缩这一难点已暗示，下面只需令41,43i x i +=-得()()4116ln434143i i i i i +≤-+-，即()()()()16ln 4i 1ln 434143ii i i +--≤+-，最后叠加可得证.试题解析：（Ⅰ） ()()()()244ln 3134ln 31x a x x x a x x f x x +⎛⎫++-+ ⎪'⎝⎭=+ 由题设()11f '=，∴414a+= 0a ∴=. （Ⅱ）()4ln 31x x f x x =+,[)1x ∀∈+∞，， ()()1f x m x ≤-，即14ln 32x m x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭设()14ln 32g x x m x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，即[)()1,0x g x ∀∈+∞≤，. ()22241343mx x m g x m x x x -+-⎛⎫=-+= ⎝'⎪⎭()14-4g m '= ①若()0,0m g x '≤>， ()()10g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾②若()0,1m ∈当()21,,03x g x m ⎛+∈> ⎪⎝'⎭, ()g x 单调递增， ()()10g x g >=，与题设矛盾.③若1,m ≥当()()1,,0x g x '∈+∞≤， ()g x 单调递减， ()()10g x g ≤=，即不等式成立综上所述， 1m ≥ .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时, 1m =时, 11ln 324x x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭成立. 不妨令*41,43i x i N i +=∈-所以()()4116ln434143i i i i i +≤-+-， ()()4116ln434143+≤-+- ()()421162ln423421423⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-()()431163ln433431433⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-…………()()4116ln434143n nn n n +≤-+- 累加可得 ∴()()()()*1ln 41164143ni in n N i i =+≤∈+-∑。
河北省衡水中学高二上学期二调考试数学(理)试题.pdf
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．，都是实数，则“”是“”的（ ） A． B． C． D．若点在椭圆上，、分别是该椭圆的两焦点，且，则的面积是A. 1B. 2C.D. 3．且是的充要条件； （２）命题“若，则”的逆命题与逆否命题； （３）命题“若，则”的否命题与逆否命题； （４），使。
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. 等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是( ) A．S17 B．S18C．S15 D．S145．内一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程 ( ) A. B. C. D. 6.方程(x+y-2)=0表示的曲线是( ) A一个圆和一条直线 B半个圆和一条直线 C一个圆和两条射线 D一个圆和一条线段 7．+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn, F是右焦点，|P1F|，|P2F|，…，|PnF|组成等差数列，且公差d>，则n的最大值是（ ）A.99B.100C.199D.200 8. 如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则的值为( ) A．e－1 B．1－e C．e2－1 D．1－e2．、是椭圆的两个焦点的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的范围是 A． B． C． D． 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:①; ②; ③; ④. 则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ） A．① ②B．③ ④C．① ③D．② ④ ．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( ) A．至多一个 B．2个C．1个 D．0个 ．已知F,F2是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且记线段与轴的交点为，为坐标原点，若△与四边形的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 A．B．C．D．90分） 二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题2
河北省衡水中学2021 -2021学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，那么AB 的子集个数为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．162.如，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的间隔 都相等，假设复数z 所对应的点为1Z ，那么复数z i ⋅〔i 是虚数单位〕的共轭复数所对应的点为〔 〕 A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.以下四个函数中，在0x =处获得极值的函数是〔 〕 ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如下的程序框，输出的结果是〔 〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，那么它们的第7项之比为〔 〕A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，假设ξ在〔80,120〕内的概率为0.8，那么落在〔0,80〕内的概率为〔 〕A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的局部象如下，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为〔 〕A ．0B ．32C ．62D ．2-9.假设()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，那么127a a a ++⋅⋅⋅+的值是〔 〕 A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=〔0a b >>，焦距为2c 〕，假设圆12,C C 都在椭圆内，那么椭圆离心率的范围是〔 〕 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的象关于〔1,0〕成中心对称，假设,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，那么当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是〔 〕 A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的间隔 为3，此时四面体ABCD 外接球外表积为〔 〕A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.一个几何体的三视如下，该几何体体积为 .14.向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，假设AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，那么实数λ的值为 .15.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，假设抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be 〔e 为双曲线的离心率〕，那么e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.(本小题总分值12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题总分值12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量〔单位：台〕，并根据这10个卖场的销售情况，得到如下的茎叶.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场〞.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场〞数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场〞数量为n ，比拟m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场〞的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)假设1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶推断b 为何值时，2s 到达最小值.(只需写出结论)19. (本小题总分值12分)如1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断 段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？假设存在，求出EPPB的值；假设不存在，说明理由.20. (本小题总分值12分)如，椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)假设6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题总分值12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)假设函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)假设方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比拟12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4-1：几何证明选讲如，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)假设6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)假设点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲(1)函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)假设222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 6216. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得73sin sin A B=，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分) 由茎叶，知甲型号电视剧的“星级卖场〞的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场〞的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，〔8分〕 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. 〔10分〕 〔3〕当0b =时，2s 到达最小值. (12分)：〔1〕∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)〔2〕∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如建立空间直角坐标系，易知23DE =，那么1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； 〔8分〕 〔3〕假设 段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，那么1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴ 段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ．(12分 ) 29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，那么直线AB 的方程为220x y +-=.(1分) 设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.〔6分〕 (2)根据点到直线的间隔 公式，知点,A B 到线段EF 的间隔 分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k kS EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+kk k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时 ()'0f x >函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.〔4分〕(2)由(1)得，假设函数()f x 有两个零点，那么0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，那么()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，那么()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．〔12分〕22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴AB QACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分) 〔2〕把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x xf x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)那么当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) 〔2〕由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.〔10分〕。
河北省衡水中学高二数学下学期二调考试试题 理 新人教A版
2021—2021学年度第二学期二调考试高二年级数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分。
考试时刻120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每题5分，共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，那么D ξ等于（ ）B.0.8 C2.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 （ ）A ．49 B ．13C ．29 D ．193.已知随机变量Z 服从正态散布2N(0,)σ,假设P(Z>2)=0.023,那么P(-2≤Z ≤2)=（ ） A.0.477 B.0.625 C4.假设A 、B 为一对对立事件，其概率别离为P(A)＝x4，P(B)＝y 1，那么x ＋y 的最小值为( )A ．9B ．10C ．6D ．8 5．对任意的实数x ，有()6655443322106x a x a x a x a x a x a a 3-2x ++++++=，那么654321a 6a 5a 4a 3a 2a +++++等于（ ）A ．-12B ．-6C ．6D ．12 6.若是n a a )13(32-的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中2a 的系数是 （ ）A ．-2835 B.2835 C.21 D.-217.已知直线l 过抛物线x y 42=的核心F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离别离为m 、n ，那么2m n ++的最小值为( )A ．24B ．26C ．4D ．6 8. 若n 为奇数，777712211---+⋅⋅⋅+++n n n n n n nC C C 被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．89.在一次防恐演习中，某射手击中目标的概率为0.8，每次射击的结果彼此独立，现射击99次，那么他最有可能射中目标（ ）次A.99B.80C.79或80D.7910. 用某种方式来选择不超过100的正整数n ，假设50≤n ，那么选择n 的概率是P ；假设50>n ，那么选择n 的概率是P 3，那么选择到一个完全平方数n 的概率是 （ ）A ．0.18B ．0.008C ．0.08D ．0.811.设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.假设记1ξD 、2ξD 别离为1ξ、2ξ的方差,那么 （ ）A ．1ξD >2ξD .B ．1ξD =2ξD .C ．1ξD <2ξD .D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.12．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++, 2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-， 且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，那么-b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学高二数学下学期二月调研考试试卷(理科)
河北省衡水中学2008-2009学年度高二数学下学期二月调研考试试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）１. 一个节目单原有5个节目，现增加2个节目，在不打乱原有节目先后顺序的情况下，不同的演出顺序有 （ ）A.42种B. 30种C.6种D.5040种2. 一个口袋中装有15个大小相同且质量密度也相同的球，其中10个白球，5个黑球，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是 （ ）A ．74 B ．73 C ．212 D ．2110 3. ()()52211x x -+的展开式中3x 的系数为 （ ） A.170 B.80 C.-10 D.104. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号组成以3为公差的等差数列的概率为 （ ）A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 5.在平面直角坐标系中，从六个点：A （0，0）、B （0，2）、C （1，1）、D （2，0）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率为 （ ）A.43 B.101 C.41 D.109 6. 学校组织演讲比赛，现要从高二选出6人参加比赛，已知高二年级共有4各班，每班至少有一人参赛，则高二年级的演讲选手产生的不同的方法为 （ ）A.8B. 6C. 10D.207. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
2021届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试卷 (2)
二、填空题
12．某校今年计划招聘女教师 人，男教师 人，若 ， 满足 ，则该学校今年计划招聘教师最多__________人．
13．已知函数 的两个零点分别为 ，则 __________．
14．已知四面体 的每个顶点都在球 的表面上， ， ， 底面 ， 为 的重心，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则球 的表面积为__________．
点睛：本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影.其有两个要素，一是有个定向量，二是明确垂足位置.
9．A
【解析】对任意的 都有 ，
令 ，都有 ，
动点 满足等式 ，
即有 ，由函数 是定义在 上的单调函数，
2021年河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ： ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，则直线 经过定点（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7． ， ，若不论 取何值，对 任意 总是恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有10个不同的点 ，记 ，则 的值为（ ）
∵ ，∴ ，∴ ，
，∴ ，故选D.
点睛：本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论 取何值，对 任意 总是恒成立，等价于 ，求三角函数 的最大值需通过三角运算公式将其化简为 ，最后利用分离参数的思想求参数 的取值范围.
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衡水中学2011—2012学年度下学期二调考试高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．已知U =R ，{}|0A x x =>, {}|1B x x =≤-,则()()u u A C B B C A =I U I （ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x >≤-或x 2．已知x 为实数，条件p ：x 2<x ，条件q ：x1≥1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-4．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ） A.)(cos )(sin βαf f > B.)(sin )(sin βαf f > C.)(cos )(sin βαf f < D.)(cos )(cos βαf f > 5.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．76. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( ) ,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 ,27,1237.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.87 B. 85 C. 65 D. 43 8. 已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则)(x f 的单调递增区间是（ ） A. []Z k k k ∈+,36,6ππ B. []Z k k k ∈-,6,36C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为α，又n (A)表示集合的元素个数，A={x |x 2+αx +3=1，x ∈R}，则n (A)=4的概率为（ ）A.61 B ．21 c ．32 D ． 3110. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ·OB =6， △OAB 的重心是G ，则|| 的最小值是( ) B ．2 C ．3 D ．411.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是 （ ）(A)21 (B) 22 (C) 23 (D)4112. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )A ．1210- B ．129- C ．45 D ．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设函数21(3)()4(32)0(2)x f x x x x ⎧≤⎪⎪=-<<⎨≥⎪⎩，则20101()f x dx -⎰的值为________.14.正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切值为 .15．已知曲线1ln )(++=bx x a x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为-2，且32=x 是)(x f y =的极值点，则a-b= . 16.关于)42sin(3)(π+=x x f 有以下命题：①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)42cos(3)(π-=x x g 图象相同； ③)(x f 在区间]83,87[ππ--上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称。
其中正确的命题是 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和n S 满足:n S ＝n n a －2n （n －1）．等比数列{n b }的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5T ＝3T ＋25b ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{11n n a a ＋}的前n 项和为n M ，求证：15≤n M <14．18. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F 分别是BC,PC 的中点。
（Ⅰ）求证：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为46，求二面角E-AF-C 的余弦值．19.（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同。
每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率。
(2)求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(x)。
20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2222b y a x +=1（a>b>0）的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交随圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；21. （本小题满分12分） 设()ln af x x x x=+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O连接CD EC ,．（I ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （II ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ-sin θ)=6.（Ⅰ）将曲线C 1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程.（Ⅱ）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21|2,()|2| 3.f x x g x x =-+=-++ （Ⅰ）解不等式：()2g x ≥-；（Ⅱ）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围。
2011—2012学年度下学期二调考试答案理科数学一、选择题12. C6.解析：观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选B二、填空题13.233π++ 14.215. 10 16. ②③④三、解答题18.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，170），B （3，-1，0），C （3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （3，0，0），F （22123a，，）， 所以PB =（3，-1，-a ），且AE =(3，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜PB ，AE ＞|=|AE ||PB ||AE PB |••=3432a +=46……8分 解得a=2 所以AE ＝（3,0,0），AF ＝（23，21，1） 设平面AEF 的一法向量为m=(x 1,y 1,z 1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m AE m ，因此⎪⎩⎪⎨⎧=++=02123,031111Z y x x 取z 1=-1，则m=(0,2,-1),……10分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量.又BD =（-3,3,0），所以cos ＜m,＞51512532||=⨯⨯=⋅BDm .因为二面角E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为515.……12分 19.（1） ① 设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A （i = 0 , 1, 2, 3）, 则P(3A ) = 5123122523=⋅C C C C ……………………3分② 设“在1次游戏中获奖为事件B ” 则B = 32A A ⋃又P(2A ) = 21231225121323222523=⋅⋅+⋅C C C C C C C C C 且2A , 3A 互斥， 所以1075121)()()(32=+=+=A P A P B P ………………6分 （2）由题意可知X 的所有可能取值为0， 1，21009)1071()0(2=-==x P 5021107)1071()1(12=-==C x P10049)107()2(2===x P所以x 的分布列是 x 012P1009502110049X 的数学期望是E(X) = 571004925021110090=⋅+⋅+⋅…………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意知e=a c =21，所以e 2=22c a =222c b -a =41．即a 2=43b 2． 又因为b=116+=3，所以a 2=4，b 2=3．故椭圆的方程为3422y x +=1.…4分 （Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x-4)．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ,得（4k 2+3）x 2-32k 2x+64k 2-12=0． ①…6分设点B(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则A(x 1,-y 1)．直线AE 的方程为y-y 2=1221x x y y -+(x-x 2)．令y=0，得x=x 2-12122)(y y x x y +-．将y 1=k(x 1-4)，y 2=k(x 2-4)代入，整理，得x=8)(42212121-++-x x x x x x ． ②…8分由①得x 1+x 2=34k 3222+k ，x 1x 2=3412k 6422+-k …10分 代入②整理，得x=1． 所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．……12分 21. 解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =+，22'()ln 1f x x x=-++，(1)2f =，'(1)1f =-，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+； L L L L 4分 （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥，考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==， 12maxmax min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， 所以满足条件的最大整数4M =； L L L L 8分 3）当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立，等价于2ln a x x x ≥-恒成立， 记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。