高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2

1．2 类比推理

类比推理

三角形有下面两个性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的1

2

.

问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1

3

.

问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？

提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．

定义

特征

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推

理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.

合情推理

合情推理的含义

(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；

2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．

平面图形与空间几何体的类比

[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2

.

[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：

(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．

(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．

通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.

圆

球

圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线

垂直于截面

与圆心距离相等的两条弦长相等

与球心距离相等的两个截面的面积相等

圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2

圆的面积S ＝πr 2

球的体积V ＝43

πr 3

[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：

平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积

面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形

平行六面体

圆

球

1．下面类比结论错误的是( )

A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝1

2ah ”类比得出

“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝1

2

lR ”

B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”

C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”

D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．

2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

解：如图所示，在四面体P ­ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△

ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的

大小．

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.

定义、定理与性质的类比

[例2]

[精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，

(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；

④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .

[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实

数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．

3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.

等式

不等式

a ＝

b ⇒a ＋

c ＝b

＋c

① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2

③

答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2

>b 2

(说明：“>”也可改为“<”)

4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝

a n －a m

n －m

，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.

解析：∵a n ＝a m q

n －m

，∴q ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a n a m 1n －m

.

答案：⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a n a m 1n －m

1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．

2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．

1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形

D ．矩形

解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．

2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝

2S

a ＋

b ＋c

；

类比这个结论可知：四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，