2011年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛
2011年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式 具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
2011年全国高中数学联赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛试题及答案2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sincos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线xy42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a aa ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)-∞+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈=u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得abb a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即abb a 22≥+． ①于是abb a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a 故1log-=b a．4．⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<- 等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x xx f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ)．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+． 6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得482=--y y ，则821=+yy ，421-=⋅yy ．又12,122211+=+=y x y x，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ， 即)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即3161424=---t t t ，AB C DOP M N即)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t，否则01222=-⋅-t t，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=na C 65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n为整数，必有65400,3200n n --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n -均为非负整数，所以na 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C5388620023-⋅⋅，在C!114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C!108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ，所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ．又2lg 4)21610(=++b a f ， 所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ，故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ． 所以52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ．记nnn b t a =-+11，则221+=+n n n b b b，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有221)1(111n n b b n =⋅-+=，故nt a n n 211=-+，于是有1)1(2--=nt a n n ．（2）nt n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++[])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t []132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ，显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a，故nn a a>+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将mx y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得3696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PAk k．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)2772PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQBAQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）11,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n aa a n是给定的正实数，na a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a aa ajki j≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPADPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CD PCBD AB =，即BDPC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DACQAB ∠=∠．延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ．又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠． 2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ，①将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ．因此，对任意)2(≥k k 个正整数kr r r ,,,21，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21kr f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且ra a a a jk i j =--①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j-≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个． 用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n mS S≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n mT T≡，则 )10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(999≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9990≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93 的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。
2011全国高中数学联赛
2011全国高中数学联赛概述2011全国高中数学联赛是一项面向全国高中学生的数学竞赛。
此次比赛于2011年举行，共有来自全国各地的高中学生参加。
比赛的目的是促进学生对数学的兴趣和能力的提高，并为他们展示数学的魅力和应用领域。
比赛形式赛制2011全国高中数学联赛采用了单项个人赛的形式。
参赛学生将进行一天的考试，包括选择题、填空题和解答题三个部分。
根据参赛学生的成绩，分别评选出个人总积分和各题单项得分的前几名。
考试内容考试内容涵盖了高中数学的各个知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
考试难度逐渐递增，对学生的数学综合能力提出了较高的要求。
参赛学生需要在有限的时间内解决一系列复杂的数学问题，以显示他们的数学思维和解决问题的能力。
考试时长2011全国高中数学联赛的考试时长为180分钟，即3个小时。
这个时间对于学生来说是相对较短的，因此参赛学生需要具备解题思路清晰、反应迅速的能力。
比赛成果个人总积分根据参赛学生在考试中获得的总积分进行排名，评选出个人总积分的前几名。
这是评价学生数学能力的一个重要指标。
各题得分根据参赛学生在每个题目中获得的得分，评选出各个题目得分的前几名。
这充分体现出学生在不同数学领域中的突出表现。
优胜奖在个人总积分和各题得分排名的基础上，评选出一定数量的优胜奖，并颁发给获奖学生。
这是对学生在数学竞赛中表现优秀的肯定和鼓励。
特色活动在2011全国高中数学联赛期间，组织了一系列特色活动，旨在丰富参赛学生的数学知识和经验。
焦点讲座特邀数学专家和学者给参赛学生做专题讲座，分享他们在数学研究和应用领域的最新成果和发现。
这为学生提供了一个与专业人士交流和学习的机会。
数学展览举办数学展览，展示数学的美和应用价值。
参赛学生可以通过展览了解数学在现实生活中的应用，并激发他们对数学的兴趣与热爱。
学术交流组织学术交流活动，提供一个学生之间、学生与专家之间进行交流和互动的平台。
学生可以就数学问题进行讨论，分享解题经验和方法。
2011年全国高中数学联赛预赛试题
2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组： 何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有 个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。
2011年全国高中数学联赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B 两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)-∞+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．A BC DOP MN故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-． 8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）．把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n nn n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅=． 加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．3.（50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．解 答1. 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即 BD PC CD AB ⋅=⋅ .从而有BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21， 即CDBQAC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠．2. 令 2)()2)(1()(++++=n x x x x f ， ① 将①的右边展开即知)(x f 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式．下面证明)(x f 满足性质（2）．对任意整数t ，由于4≥n ，故连续的n 个整数n t t t +++,,2,1 中必有一个为4的倍数，从而由①知)4(mod 2)(≡t f ． 因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有)4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ．但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求． 3.对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．因此，当n 为偶数时，设m n 2=，则有∑∑∑-=-=-=+==121212)()()()(m mj jm j j n j j n r gr g r g r f2)1(2)1()2()1(1212-+-=-+-≤∑∑-+==m m m m j m j m m j m j 4222n m m m =<-=．当n 为奇数时，设12+=m n ，则有∑∑∑+==-=+==mm j jmj j n j j n r gr g r g r f 21212)()()()(∑∑+==-++-≤mm j mj j m j 212)12()1(422n m <=．4. 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c bT a S ki i ikk i ik ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(99090≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk kk kT ST S ，所以)10(mod 055)(9909≡+≡+≡+∑∑∑===k kk kk k kTS T S，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。
2011年全国高中数学竞赛一等奖
2011年全国高中数学竞赛一等奖（原创实用版）目录一、2011 年全国高中数学竞赛概述二、获得一等奖的背景和意义三、一等奖获奖者的优秀表现四、对未来数学教育的启示正文【一、2011 年全国高中数学竞赛概述】2011 年全国高中数学竞赛是中国教育学会数学教学专业委员会主办的一项全国性数学竞赛活动，旨在激发高中学生学习数学的兴趣，培养他们的数学思维能力和创新意识，选拔和培养优秀的数学人才。
该竞赛自1981 年创办以来，已经走过了 30 年的历程，吸引了全国各地数百万高中学生参加。
【二、获得一等奖的背景和意义】在 2011 年的全国高中数学竞赛中，共有来自全国各地的数百名学生获得了一等奖。
这些学生在比赛中表现出色，充分展示了自己的数学才能。
获得一等奖的背景是在我国新课程改革的背景下，教育部门对数学教育的高度重视和大力支持，以及广大教育工作者和学生的共同努力。
这次竞赛对于激发学生学习数学的兴趣、提高我国数学教育水平具有重要意义。
一方面，通过竞赛，学生可以更好地了解数学知识的应用，培养自己的数学思维能力和创新意识；另一方面，竞赛也有助于选拔和培养优秀的数学人才，为我国的科学研究和经济社会发展储备力量。
【三、一等奖获奖者的优秀表现】2011 年全国高中数学竞赛一等奖获奖者在比赛中的优秀表现可以从以下几个方面来看：1.扎实的数学基本功：一等奖获奖者在比赛中展现出了扎实的数学基本功，对数学概念和定理的理解非常深刻，能够熟练运用各种数学方法解决问题。
2.良好的数学思维能力：他们在面对复杂数学问题时，能够迅速找到问题的关键所在，运用逻辑推理和数学思维，快速找到解决问题的方法。
3.创新意识和能力：一等奖获奖者在解题过程中，展现出了很强的创新意识和能力，能够从不同角度思考问题，运用新颖的数学方法解决问题。
4.团队协作精神：在竞赛过程中，一等奖获奖者能够与其他队员密切合作，共同分析问题，充分发挥团队的力量，取得了优异的成绩。
2011年全国高中数学联赛试题及标准答案
2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
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李晓旭
335
1024
张育东
140
685
李郁博
336
1025
张智翔
141
687
2
1188
杨冰洁
西安市三中
序号
考号
姓名
序号
考号
姓名
1
1197
韩潇帅
6
1207
杨圆
2
1198
赵丹
7
1213
何琛
3
1199
缑夏悦
8
1220
朱岳
4
1200
王璐
9
1221
陶苛
5
1203
尹钰
西安尊德中学
序号
考号
姓名
序号
考号
姓名
1
1226
李文龙
西北大学附中
序号
考号
姓名
序号
考号
姓名
1
1230
张珂
12
1297
何翊飞
285
938
管岱
90
622
陈昊楠
286
940
李益明
91
623
党博
287
942
潘天雨
92
625
姜彤
288
943
邱晨
93
626
李乾
289
946
王珣
94
627
李斯哲
290
949
魏帅
95
629
罗天阳
291
950
薛富元
96
630
祁周
292
951
薛皓晨
97
631
孙嘉
293
952
杨博
98
632
王昊哲
294
955
常叶笛
1042
黄盛杰
150
697
张若愚
346
1044
焦泽衡
151
701
李梦如
347
1045
景泽昊
152
703
秦琴
348
1046
李浩
153
705
田颖
349
1047
李樵
154
711
王昊博
350
1056
吴梓瑞
155
713
李逸明
351
1057
谢遥
156
714
刘伟鹏
352
1059
尹闻起
157
717
任昊
353
1061
刘一树
44
550
阮钰泽
240
869
罗毅
45
551
王李韬
241
870
孟闻哲
46
552
薛昕哲
242
871
孟宪东
47
553
张成
243
872
乔经宇
48
555
张楚芊
244
875
苏义哲
49
556
朱怡君
245
876
王昊明
50
557
葛睿琦
246
877
王浩宇
51
558
巩柏良
247
879
吴迪
52
559
姜超逸
248
880
王诗苑
25
0040
张媛
93
0193
吴旭东
26
0041
侯文辉
94
0197
杨晨茜
27
0045
赵国卿
95
0199
袁博
28
0047
申雨昕
96
0202
张晨曦
29
0049
马博
97
0204
张宁
30
0052
徐翔昊
98
0208
赵思恒
31
0056
谷秋雨
99
0209
郑时轩
32
0057
赵午豪
100
0220
蓟衡
33
0059
段嘉炜
855
刘晓雨
35
538
吴瑞晨
231
858
武桐
36
539
杨国梁
232
859
于珊
37
540
于隽
233
860
严天同
38
541
刘童童
234
861
陈滋宇
39
543
李家其
235
862
淡泽鹏
40
544
刘倬瑞
236
863
郭航
41
545
吴俊南
237
864
李卓
42
546
张晓声
238
867
刘力行
43
549
彭蔚文
239
868
99
636
郭家延
295
956
蔡卓钰
100
637
刘业成
296
959
任从容
101
638
马博远
297
960
沈雅静
102
640
魏绍楼
298
963
王路希
103
642
潘锦航
299
965
张颖
104
643
屈杨
300
967
靳兆晨
105
644
丛林
301
970
郭天力
106
645
高晨辉
302
971
胡子聪
107
646
石晓彤
303
972
李俊儒
108
647
孙乾琛
304
973
李任和
109
648
陶伊玮
305
974
李天麒
110
649
孟皓昕
306
975
梁方淳
111
650
张锦文
307
976
刘逸斌
112
652
陈兆希
308
977
裴霄翔
113
653
董雨墨
309
978
秦泽臻
114
654
房岳
310
979
汪健雄
115
656
高腾
311
980
杨刘思扬
116
谢钟毓
62
582
邢光正
258
895
姚越
63
584
张浩天
259
896
姚焱遐
64
585
雷媛媛
260
897
宋昊泽
65
587
董尔群
261
898
曹浩
66
589
高航
262
900
黄旭东
67
591
刘天舒
263
901
李松锜
68
592
王嘉田
264
903
潘博远
69
593
许凡
265
905
商阳
70
595
张翔
266
906
石磊
71
王晨飞
386
1116
江鸿
191
780
王优豪
387
1118
张嘉纹
192
781
闻浩诚
388
1119
强心巍
193
785
张茂森
389
1120
余潇潇
194
788
郑一凡
390
1121
杨雁衣
195
790
骆梦婕
391
1122
滕菲
196
791
汪歆之
392
1124
马文哲
西安市第八十六中学
序号
考号
姓名
序号
考号
姓名
1
1126
824
张梦豪
17
513
水湘玉
213
825
白岳
18
514
傅笛
214
826
曹孟威
19
515
楚鸿豪
215
827
陈柚光
20
516
高宇航
216
828
程亮
21
517
黄甫睿
217
829
程颢颐
22
518
吕辰威
218
830
董晓峰
23
519
任嘉祥
219
836
黎晨阳
24
520
严泽宇
220
837
李承霖
25
525
谷雨蒙
221
闵煜鑫
126