用逆矩阵解矩阵方程
矩阵求逆解方程组的解
矩阵求逆解方程组的解
要求解方程组Ax=b，其中A为一个m×n矩阵，b为一个m维向量，可以使用矩阵求逆的方法来求解。
具体步骤如下：
1. 计算矩阵A的行列式|A|；
2. 如果|A|=0，则方程组无解，直接返回；
3. 计算矩阵A的伴随矩阵A，公式为：(A)ij = (-1)^(i+j) a(ji);
4. 计算矩阵A的行列式|A|，并求其模值，即|A|/|A|；
5. 将矩阵A的转置矩阵AT与|A*|/|A|相乘，得到逆矩阵M，公式为：M = AT (A)^-1;
6. 使用逆矩阵M求解方程组，即：x = M^-1 b;
需要注意的是，在实际操作中，由于浮点数精度问题等原因，可能会出现数值不稳定的情况，需要采取一些数值稳定性措施。
此外，如果方程组的解不唯一或不存在整数解时，也需要特殊处理。
Toeplitz矩阵及逆矩阵求解
③一般右端项的Toeplitz方程组：（4阶右端项的Toeplitz方程组R1[1]保存方程组的阶 数） please input the flag 1 to 3: 3 please input the string R1[N]: “矩阵系数” 3416 R1[N] R1[0]=5.000000 R1[1]=3.000000 R1[2]=4.000000 R1[3]=1.000000 R1[4]=6.000000 please input the string b[N]: 6724 b[N] “右端项” b[0]=5.000000 b[1]=6.000000 b[2]=7.000000 b[3]=2.000000 b[4]=4.000000 结果： x[0]=5.000000 x[1]=6.000000 x[2]=1.375000 x[3]=4.512821 x[4]=-0.100273
X = Tn−1 − Tn−1 En −1γ n −1vT = Tn−11 + vvT / σ , −1 −1 −
Tn−11 = [tij ] 是广对 称的，故从（5.19）可得 −
（5.19）
−1 其中的最后一个等式利用到了 T n −1 En −1rn −1 = − En −1 yn −1 , 和（5.17）。由于
T σ = 1 / (1 + γ n −1 yn −1 ).
v = σ En −1 yn −1
（5.18）
这样，我们只要求得n-1阶Yule-Walker方程组之解 yn −1 就可由（5.18）和（5.17） 求出 Tn
−1
的最后一列和最后一行。
下面再来看 X = [ξ ij ] 所具有的特性，从（5.14）可得
5.3 Toeplitz矩阵的逆 矩阵的逆 最后，我们来考虑 Tn− t 的计算问题。 设 可得
2-3 逆矩阵
例 3 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵.
1 2 3 2 3 1 A 2 1 2 , B 1 3 5 . 1 3 3 1 5 11 1 2 3
解
A 2 1 2 4 0， A 可逆. 1 3 3 2 1 3 1 5 0，故 B 不可逆.
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3 2 6 4 1 2 1 1 1 A A 3 6 5 3 2 3 5 2 A 2 1 1 1 2 2 2
1 评析 本例采用的方法： A A . A
1
注 本例方法应用于二阶可逆矩阵，有 1 d b a b 1 A (可作为公式) A A c a c d 此结果可概括为“两调一除”：调换主对角元位置， 调换副对角元符号，除以A .
目录 上页 下页
B 1 3
5 11
A 中各元素的代数余子式： A11 3, A12 4, A22 0, A21 3,
A31 1,
A13 5, A23 1,
A33 3.
A32 4,
1 3 3 1 1 1 4 . A A 4 0 4 A 5 1 3
cof A的转置矩阵称为 A 的伴随矩阵，记作 A*，即
A11 A12 T A* (cofA) A 1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
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1 2 例如，A 3 4
2 x z 2 y t 1 0 y 0 1 x
目录 上页 下页2x 源自 z 1 2y t 0 x0 y 1
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
广义逆矩阵求法
广义逆矩阵
定理：设 阵方程
A 是数域 K 上一个s n 矩阵，则矩
AXA A
(1)
总是有解。如果 rank( A) r ，并且
( I nn A A) A A
A ( A ) 0
所以 X ( I nn A A) Z 是方程组 的通解。
AX 0
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的 另一种形式的通解。
推论：设数域 K 是 n 元非齐次线性方程组 AX 有解，则它的通解为
即
I r B 1 Q P C D 先分析 Q 与 P 1 之间的关系。由已知 A ，
因此我们有
I r 0 1 0 0 Q P 1 分别把 Q , P 分块，设 行 Y1 }r Q Y2 }n r行
伪逆矩阵
定义：设 A C mn，若 A C nm ，且同时有
AA A A ,
H
A AA A
( AA ) AA ,
( A A) A A
H
则称 A 是 A 的伪逆矩阵。上述条件称为 Moore－ Penrose 方程。 例：
1 设 A 0
取 B 0, D 0, C (0,,0, k Y ,0,,0)
1 i 2
则
Ir C
于是
0 1 Ir P C 0
1
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵求逆法求方程的解matlab
矩阵求逆法求方程的解matlab在数学和计算机科学领域，矩阵求逆法是一种常用的技术，用于解决线性方程组和矩阵方程的问题。
这种方法在矩阵计算和数字模拟中得到了广泛的应用，其中MATLAB作为一种强大的数学软件，在矩阵求逆法方面有着非常强大的功能和应用，本文将介绍矩阵求逆法在MATLAB中的应用，以及如何利用MATLAB求解线性方程组和矩阵方程。
一、矩阵求逆法的原理和方法1.1 矩阵求逆原理矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
矩阵求逆法主要利用线性代数的理论，通过矩阵的初等行变换、伴随矩阵和初等矩阵等方法，求解矩阵的逆矩阵。
1.2 矩阵求逆方法矩阵求逆的常用方法有伴随矩阵法、初等行变换法和逆矩阵的性质法等。
伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法，适合于小规模的矩阵计算；初等行变换法是一种通过初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，从而得到逆矩阵的方法，适合于大规模的矩阵计算；逆矩阵的性质法是通过矩阵的性质和性质矩阵的快速求解，适合于特定类型的矩阵。
二、MATLAB中矩阵求逆的应用2.1 MATLAB的矩阵操作MATLAB作为一种专业的数学软件，具有强大的矩阵计算和矩阵操作功能。
在MATLAB中，可以通过一系列的内置函数和操作符，快速有效地实现矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵等计算。
2.2 MATLAB中矩阵求逆函数在MATLAB中，有多种函数和命令可以实现矩阵求逆的操作，其中最常用的是inv()函数。
该函数可以接受一个矩阵作为输入，输出该矩阵的逆矩阵。
MATLAB还提供了pinv()函数来求解矩阵的伪逆矩阵，以及linsolve()函数来求解线性方程组的解。
2.3 MATLAB中矩阵求逆的实例下面通过一个简单的实例来演示在MATLAB中如何利用矩阵求逆来求解线性方程组的解。
假设有一个线性方程组Ax=b，其中矩阵A为：A = [1, 2; 3, 4]向量b为：b = [5; 7]要求解x，可以通过如下MATLAB代码实现：A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 7];x = inv(A) * b;通过上述代码，可以得到线性方程组的解x，从而实现了通过矩阵求逆方法来求解线性方程组的目的。
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3 8 6
2 9 6
2 12 9
▌
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C X A1C
XB = D X CB 1 AXB = F X A1FB 1
[BT ( I AB1)T ]1 {[( I AB1)B]T }1
[( B A)T ]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
0 1
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
例 设矩阵X 满足 AX A 2X ， 其中
4 2 3
A 1 1 0
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
知识结构
矩阵方程
复习
行变换
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
（另法）
（1）由 AX A 2X得
A( X I ) 2X 2( X I ) 2I
整理后可得
( A 2I )[1 ( X I )] I 2
于是 A 2I可逆。
（2）由上式得
X I 2( A 2I )1
1 0 0 1 4 3 0 1 0 2 1 5 3
0 0 1 1 6 4
则线性方程组的矩阵形式为
矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
例 解矩阵方程
2 1
5 3
X
1 2
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X 0 1
1 0
2
2
1 2
1 1
0 3
例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(I AB 1)T X (BT )1
1 1 0 0
A
0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求0
1 0 4 1
0 0 0 5
解 由 ( I AB1 )T X ( BT )可1 得 X [( I AB1 )T ]1( BT )1
1
2
3
(1) 证明：A 2I 可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵
A
2I
1
1 0 行0
1
1
1 2 1
0 0 1
∴ A 2I 满秩 由此得 A 2I可逆。
（2）由 AX A 2X可得 ( A 2I ) X ，A故
X
(
A
2
I
)1
A
3 2
8 6
9 6
2 12 9