焦半径公式的证明
焦半径三部曲
以椭圆为例证明，由焦半径公式可得
上述公式具体有统一性。椭圆、双曲线和抛物线均 适合，抛物线的离心率，若定义∠PFO=θ，焦点在 x轴y轴公式均适合。
• 焦半径三部曲（坐标式、角度式和定比模型）今 天就全部完成了。
• 基本上所有焦半径的题型都可以用这三个切入点 做出来，遇到坐标用坐标式，遇到直线用斜率式， 遇到比值用定比模型。
如果在解答题上用公式，需要写上述的证明，其实证 明也就的记忆规律：同正异负.即当P与F位于y 轴的同侧时取正，否则取负. 取∠PFO=θ，无需讨论焦点位置，上述公式均适合。
三、抛物线焦半径（角度式）
圆锥曲线焦半径三部曲——定比模型
• 所以，任何二级结论要先熟练掌握它的推导过程， 而不是只停留在像背诵英文单词一样把它背下来。
• 表象都是结论，背后全是推导。
三、抛物线焦半径
圆锥曲线焦半径三部曲——角度式
• 一、椭圆焦半径（角度式）
注：上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点,O 为圆点.主要优点为焦点在左右上下均适合，无需再单独讨 论。 若将角度统一为直线的倾斜角，需要讨论焦点位置，为记忆 公式方便全文角度统一为∠PFO=θ。
• 关于这些焦半径二级结论我还有话要说。
• 二级结论是指在平时的教学中，由教材中原有的 公式、概念和定义进行归纳推导得出的在一定条 件下成立的结论。
• 确实记住了这些二级结论针对一些特有的题型能 不假思索，快速做出答案。
• 但是 • 高考命题的专家不是白吃干饭的，为体现高考的
公平，命题组肯定会绞尽脑汁考察三基。若过度 依赖二级结论，思维容易僵化，遇到一些似是而 非的题目时往往乱套结论，同时二级结论往往都 有一定的条件限制，用的越爽限制条件往往越大。
抛物线的焦半径
r=x+p/2
抛物线的焦半径是r=x+p/2。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
1、曲线上任意一点M与曲线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径。
2、曲线上一点到焦点的距离，不是定值。
焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。
过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。
抛物线性质：
1、焦半径公式：（y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标。
2、通径｜AB|=2p。
3、焦点弦。
（1）、｜AB|=p+x1+x2。
（2）、｜AB|=2psin2θ2pP(y2=2px(p>0))。
（3）、｜AB|=cos2θ（x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦）。
（4）、焦点弦的端点坐标A（x1,y1），B（x2，y2），则有x1x2=,y1y2=-p24p2。
（5）、n=1+cosθ，m=1−cosθm+n=p。
1。
圆锥曲线的焦半径公式推导
圆锥曲线的焦半径公式推导如下：圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。
对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。
推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。
3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。
4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。
通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。
5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。
这里的e是椭圆的离心率。
6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。
在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。
综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。
这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。
证明焦半径公式
证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。
（一）椭圆的标准方程。
设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。
（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。
1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。
- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。
- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。
2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。
椭圆的焦半径
椭圆的焦半径是什么？
椭圆的焦半径：MF1=a+ex0，MF2=a-ex0，X0为M的横坐标。
焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线其左右焦点，则由第二定义：同理即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式，同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式。
其中分别是双曲线的下上焦点。
注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
相关结论
A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y1=2px上，则有：
①直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -p²。
（当A，B在抛物线x ²=2py上时，则有x1x2 = -p²，y1y2 = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）。
②焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）1]=（x1+x2）/2+P。
③（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））。
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）。
焦半径公式 椭圆
焦半径公式椭圆
当抛物线方程为 y^2=2px(p\ue0) (开口向右) 时，焦半径r=x+p/2 (其中x为在抛物线上的横坐标，p为焦准距)，利用抛物线第二定义求。
至于抛物线开口方向为其他三个方向时，利用抛物线第二定义求同理可求。
如果焦点不在坐标轴上，只需要将x进行相应平移即可，p不变。
圆锥曲线上任意一点m与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。
焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。
过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。
有关结论
a（x1，y1），b（x2，y2），a，b在抛物线y1=2px上，则有：
② 焦点弦长：|ab| = x1+x2+p = 2p/[（sinθ）1]=（x1+x2）/2+p。
③ （1/|fa|）+（1/|fb|）= 2/p；（其中长的一条长度为p/（1-cosθ），短的一条长度为p/（1+cosθ））。
④若oa横向ob则ab过定点m（2p，0）。
椭圆焦半径公式的证明及巧用
椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。
二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。
对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。
2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。
对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。
3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。
通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
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焦半径公式的证明
FFaa>cFFc）2到两定点|=2，）（距离之和为定值22（|【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：2121的动点轨迹（图形）.
ca.
和这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数ca，就确定了椭圆的形状和大小.就确定了椭圆的位
置；再加上另一个参数比较它们的第一个参数“身，ca更“显贵”比份”来，.
c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到. 之嫌cc的“题根”. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找，并寻找关于
一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式
数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.
FcFcPxy,0)(（,0，）和）是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦（【例1】已知点-21 a PFPFa+-|=|=；|.
.点求证：|21PFPFy”即可然后利用椭圆的方程“消. .可用距离公式先将||和||分别表示出来分析【】21【解答】由两点间距离公式，可知
PF (1)
||=1．解出从椭圆方程
(2)
代（2）于（1）并化简，得
axPFa)
|(-≤|=≤1 aPF xa)
|≤|=≤(-同理有2通过例1，得出了椭圆的焦半径公式【说明】
ea-ex ra+exr==( )
=21Px,yrxrx的减）横坐标的一次函数. 的增函数，从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点是（是21a+ca-cx,y轴，关于原点）（关于.
.从焦半径公式，函数，它们都有最大值还可得椭圆的对称性质,最小值
二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径
用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.
椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. P x,yPFcFcaa>c>0）（.，0(）的距离的和为)是平面上的一点，到两定点2（-），0，试用】【例2 （21xyrPFrPF|.
的解析式来表示和=|=|，|2112rfxrgxxrr的方程组，然后从中得出为参数列出关于（和）.】【分析问题是求=先可视（）和=2211rr.
和21【解答】依题意，有方程组
③得②-rr= ⑤代①于④并整理得-21联立①，⑤得．
【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含cb，其基础性显然.
而无
三、焦半径公式与准线的关系
用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.
PxyF-c,l：，0）是以如图右，点）为焦点，以（（11x=-PDlD.按椭圆为准线的椭圆上任意一点.于⊥1的第二定义，则有
ra+exra-ex.同理有==,即21准线缺乏定义的“客观性”.. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”. 因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性
PxyFcFcal为直线的椭圆上任意一点.（，3】 0（，）为焦点，以距离之和为）是以2（-，0），【例21x=-PDllD.
交，⊥于11求证：.
PFaex.
| 由椭圆的焦半径公式+|=【解答】1x+PDPDx-.
对|=|用距离公式 ||= 11故有.
x=lc,xlFFc,)0-与定直线（该椭圆上任意一点，说明【】此性质即是：到定点（（）:=-0））(：2211．
ee<1）（0<的距离之比为定值.
四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程
现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.
其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.
PxyFxy-c,FcP，（.）适合方程求证：点（（，0【例4】设点（）到两定点，）和21222baac.
）的距离之和为02-（=）【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.
PxyFcrPF|.由椭圆的焦点半径公式可知=|（-】【解答（,0，）的距离设作）到111ra+ex
①= 1同理还有
ra-ex② =2rra +=2① +②得21PFPFa.
|+||=2即 |21PxyFcFc,a.20）和（）的距离之和为0-即（，）到两定点（，说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆21【
焦半.
径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便。