计算不定式极限一般方法洛必达法则共22页文档

高等数学课件同济版第二节洛必达法则

在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万能，有些情况下使用洛必达法则可能会导致计算量增加或者无法得出正确结果，因此在实际应用中需要谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，可以将复杂的极限问题转化为导数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以处理的极限问题，如含有根号、三角函数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在给定点的导数是否存在，若不存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合适的变量代换，将复杂的极限问题转化为简单的形式进行求解。例如，对于$infty/infty$型未定式，可以尝试通过倒数代换或指数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型，再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧

函数不定式极限的洛必达法则

函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：11()11limlim0,lim lim 0,(1)limlim,(0)11lim (1)lim (1)lim (1)lim (1())=,(lim ()0)sin sin ()limlim1,()n x nxn x n x nxx n x x x x x nxq q q an b ax b a c cn dcx dcx e x nxx x xx ϕαααϕϕϕϕ→∞→+∞→∞→+∞→∞→+∞→∞→∞→∞→∆→∆→→∆====<++==≠+++=+=+=+===只需满足(lim ()0)x x ϕ→∆=只需满足需要知道的极限四则运算法则：设0lim (),lim ().x x x x f x A g x B →→==则（1）0lim ()lim ()x x x x pf x p f x pA →→==（2）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pA qB →→→±=±=±（3）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pqAB →→→⋅=⋅=（4）0lim ()()lim,(0)()lim ()x x x x x x p f x A pf x pA qB qg x q g x BqB→→→==≠当时注：上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。

另外，它对数列极限也实用。

需要知道的定理:1.若函数f 在点0x 连续，00lim ()()x x f x f x →=2.若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。

用极限来表述就是如下：0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==注：若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在点0x 处无定义（即0x 为f 的可去间断点），又有外函数g 在点a 连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。

洛必达法则

f ( x ) ( 2) l i m 存在（或），则 x x0 g ( x )
f ( x) f ( x ) lim lim . x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
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tan x 0 ,( ) 例如, lim x 0 x 0
ln sin ax lim , () x 0 ln sin bx
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b a f ( ) e e e . f ( ) ba
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探索与思考
设函数 f ( x)在[a，b]上可微，且f ( x) 0， 0 a x b, 试证：存在 , （a，b），使得 ab f ( ) f ( ) 2 成立.
a x 0 .( ) 例3 求 lim x a x a 0
解
a x a a (lna 1). lim x a xa
x a
x
a
例4 求 lim
x
x
2
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e 2x 2 lim x 解 xlim x x e e
x
.
( )
0.
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ln tan 2 x lim ( ) lim x 0 ln tan 3 x x 0
2 tan 2 x 3 tan 3 x
se c 2 x se c 3 x
2
2
3x 2 cos2 3 x tan3 x 2 1 lim lim lim 1. 2 3 x 0 cos 2 x x 0 tan2 x 3 x 0 2 x
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注：三者之间的关系
拉格朗日推广柯西中值定理罗尔定理 f (a) f (b) 中值定理 g( x ) x

4-2洛必达法则

0
1. 0型
步骤： 0 1 ,或 0 01

0
例 8 求limxcot2x. (0) x 0
解原式 lim x (0) lim ( x) x 0tan2x 0 x0 (tan 2x)
lxi m0 2sec12
2x

1. 2
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极限易算为准则.
x (xn ) 无穷大量

lim
x
x nx n1
1

lim
x
nxn
0.
若求导之后出现繁分式，一般应化简后再判
断是否为0型或者型，然后再决定是否能继
0

续用洛必达法则.
π arctan x
例7 求 lim 2
.
(0 )
x
1
0
解
原式
l i m( 2

极限是常数1
1
cosx
4xl imπ sinx(π 2x)
2
1 ( cos x)

4
lim
π
x
(π
2x)
0型 0
2
1 sin x 1
lim
.
4 xπ 2
8
2
2. 型不定式
定理如果函数 f ( x )和 g( x )满足
(1) x a(或 x )时 , f ( x ) , g( x ) ;
lim xln x x 0 1
x0
x
ln x lim x 0 1
x
1
lim x
x
0

1 x2
0,

会用洛必达法则求不定式的极限`f

说明： 1 把定理中的“ xa ”换成“ x ” 把条件 (2)换成“当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立
2
f ( x) 0 如果仍属型，且 f ( x), F ( x) 满足 g ( x) 0
f ( x) f ( x) f ( x) lim lim lim . x a g ( x ) x a g ( x) x a g ( x)
2
0 ( ) 0
3x 3 6 x 3 解原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !

6 lim 1 x1 6
“零比零”型不定式的定值法
x sin x 例 3 例 3 求 lim 3 x0 x x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 解解 lim 3 2 x0 x0 3x x0 6x x 6
ln a1 ln a2 n ln(a1a2 an )
1 n
ln an
故 a a a l i m( ) x0 n
x 1 x 2 x n 1 x
n a1a 2 a n
•应注意的问题 5. 本节定理给出的是求不定式的一种方法当定理条件满足时所求的极限当然存在(或为) 但定理条件不满足时所求极限却不一定不存在 x sin x 例 10 例 11 求 lim x x (x sin x) lim 1 cos x 不存在解解因为极限 lim x 1 x (x) 所以不能用洛必达法则但其极限是存在的 sin sin sin x x x x x sin sin sin x x x lim lim lim x lim lim lim(1 (1 (1 )) ) 1 1 1 xx x xx x x x x x x x

计算不定式极限的一般方法洛必达法则

1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x 0
0
型
1 cos x (1 cos x ) lim 解二 lim 2 x 0 x0 x ( x 2 ) sin x 1 sin x lim lim x0 2 x 2 x0 x 1 . 2
的求极限方法相结合更好！
2. 型
1 1 00 步骤： . 0 0 00
1 1 例10 求 lim( ). ( ) x 0 sin x x (x sin x) 0 解原式 lim ( ) x 0 (x sin x ) 0
0 (1 cos x ) lim ( ) x 0(sin x x cos x ) 0
一、两个基本类型不定式
如果当x a (或x )时, 两个函数f ( x )与 f ( x) g ( x )都趋于0, 或都趋于 , 那么极限 lim xa g( x ) ( x ) 可能存在, 也可能不存在.通常将这种极限叫作 0 不定式, 分别记为 , . 0
0 1. 型不定式 0 定理如果函数f ( x )和g ( x )满足
例 8 求 lim x cot 2 x . ( 0 )
x0
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极限易算为准则.
x 0 ( x ) 解原式 lim ( ) lim x 0 tan 2 x x 0 (tan 2 x ) 0
1 1 lim . 2 x 0 2sec 2 x 2
0
例12 求 lim x . ( 00 )
x0
x
ex是连续函数
洛必达法则
解原式 lim e
x0
x ln x

洛必达法则

此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得
1 1 x sin sin x x x 0 lim lim x 0 x 0 sin x 1 sin x x
2
练习
3.01：（1）（ 3）
型：
1 1 0 变为型或者 0 型 0 0
1 ( x x0 ) 法线方程： y y0 f ( x0 )
（1）若 f ( x0 ) 0：切线：y y0 法线： x x0
（2）若f ( x0 ) ：切线：x x0 法线： y y0
例1 求过曲线 y x 2 2 x 4 上一点 M (k ,2k ) 处该曲线的切线和法线。解：点 M (k ,2k )是曲线上的点，所以 2k k 2 2k 4 ，解得 k 2 ，点M坐标为（2，4），又因为 y x2 (2 x 2) x 2 2 ，所以切线方程为即
y 4 2( x 2) y 2x
1 所以法线方程为 y 4 ( x 2) 2 即 2 y x 10 0
3.3函数的单调区间与极值
单调性
函数 y f ( x) 在开区间 J内可导，
f ( x) 0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x)
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )

洛必塔法则

2 1 ( 2 )； 4、lim x 1 x 1 x 1
x cot 2 x ； 3、lim x0
5、 lim x
x 0
sin x
；
1 tan x 6、lim ( ) ； x 0 x
2 x lim ( arctan x ) 7、 x .
1 1 x (1 x ) x ] , 当x 0 [ 三、讨论函数 f ( x ) , e 1 当x 0 e 2 ,
在点 x 0处的连续性.
练习题答案
0 0 一、1、0 , , 1 , 0 , ；
2、1；
3、1.
1 1 1 二、1、； 2、1； 3、； 4、； 5、1 ； 2 8 2
6、1；三、连续.
7、e

2
.
ln( 1 x ) 2 、 lim =___________. x 0 x
ln tan 7 x 3 、lim =____________. x 0 ln tan 2 x
二、用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； ( 2 x )2 x
2
1 ln( 1 ) x ； 2、 lim x arctan x
练习题
一、填空题：
0 1 、洛必达法则除了可用于求“ ” ，及“ ”两种 0 类型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________，_____________，____________， _____________ ，_____________ ，等型的未定式的求极限的问题.
举例说明.
思考题解答
不一定．
例 f ( x ) x sin x ,

高数二 3.3洛必达法则

步骤: 00
0 ln 0
1
取对数 ln1
0 .
0
0 ln
例9 解
求 lim x x . x0
( 00 )
ln x lim x0 1
原式
lim e x ln x
x0 1
lim x ln x
e x0
e
x
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
1
例10 求 lim x1x .
( 1 )
思考题解答
不一定．
例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然
lim
x
f ( x) g( x)
lim 1
x
cos 1
x
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
3 2x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
例4 求 lim ln sin ax .
()
x0 ln sin bx
解
原式
lim a cos ax sin bx x0 bcos bx sin ax
x
x
三、小结
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
思考题
设lim f ( x)是不定型极限，如果 f ( x) 的极

谈不定式极限的求法.doc

谈不定式极限的求法[摘要]：函数求极限是数学分析的基本计算，不定式极限是最常见和最重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷。

本文对各种常见不定式极限进行了分类，并结合一些具体的例子分析和归纳各类不定式极限的求法，主要讨论00与∞∞型的基本不定式及其所派生的∞1、00、0∞、∞⋅0、∞-∞型不定式的极限计算技巧，能有效的提高对数学学习效率。

[关键词]：极限不定式运算方法第1章不定式0型求极限方法型是不定式极限中最常见、最基本和最重要的类型，其它类型不定式极限往往可以转换为00型不定式极限来求解，因此，0型是其它不定式类型的基础，是不定式极限的主要内容，全面掌握00型不定式极限的各种求法是学习不定式极限的关键.1.1 相约无穷小方法当型的分子、分母含有相同的无穷小因式，如果可以进行因式分解或有理化等恒定变换方法，约去相同的无穷小，从而求出不定式的极限.称此求法为相约无穷小的方法。

当0x x →，即0x x -0→时，函数极限成 0型，其分子、分母所含有相同的无穷小因式就是0x x -，约去它就可能得到极限。

例1．求极限 2lim→x 31422-+-x x解： 2lim→x 31422-+-x x=2lim→x )22)(314)(314()314)(22)(22(+++-++++-x x x x x x=2lim→x )22)(84()314)(42(+-++-x x x x =2lim→x 43)22(2314=+++x x1.2 极限公式0lim→x 1sin =xx方法在求含有三角函数或反三角函数的0型不定式的极限，通常利用三角函数恒等变化转换成公式0lim→x 1sin =xx及公式的推广形式来求极限. 例2．求极限 1lim →x ()11sin 2--x x解： 1lim →x ()11sin 2--x x=1lim→x ()()()()()111sin 12-+-+x x x x=1lim →x ()()11sin 122--⋅+x x x =2 1.3 洛必达法则方法洛必达法则是求解0型不定式极限的主要方法，针对一些分子、分母的导数较易求得，且经若干次后求出极限，通常都是应用洛必达法则来求解，这是一种常用且十分有效的方法.例3．求极限 0lim→x )1ln()21(221x x e x++-（00型）解： 0lim→x )1ln()21(221x x e x++-=0lim →x ))1(ln())21((221'+'+-x x e x=0lim→x 22112)21(x x x e x++--=0lim→x )12())21((221'+'+--xx x e x=0lim →x 22223)1(26)21(x x x e x ++++-=11.4 等价无穷小代换方法当型不定式的分子、分母为因式的积或商时，可用等价无穷小代换这些因式，能达到简化运算步骤，快速求出极限的目的.但须注意：分子、分母中的和、差的项不可用等价无穷小代换.例4．求极限 0lim →x 3sin sin tan xxx - 解：由).cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-而当0→x 时，有,~sin x x ,2~cos 12x x - 3sin 3~x 故有 0lim →x 3sin sin tan x x x - = 0lim→x 322cos 1x x x x ⋅⋅=21 例5．求极限 0lim →x xx cos 1112--+解：利用112-+x 221~x 221~cos 1x x - 0lim→x xx cos 1112--+=0lim →x 22221)11)(11(x x x ++-+=0lim →x 1122++x =1即0→x 时， 112-+x 221~x 221~cos 1x x - 所以 0lim →x xx cos 1112--+= 0lim →x 222121x x = 1由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如常见等价无穷小公式○2有：当0→x 时, x x sin ~, x x tan ~, x x arcsin ~, x x arctan ~)1ln(~x x +, ~x 1e x -, 221~cos 1x x -, ()abx ax b~11-+以上几例题说明在求函数极限时，恰当地进行等价替换，如将表达式中的根式函数、三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数等变换为幂函数，然后再求极限，往往可以使计算过程大大简化。