控制工程根轨迹法详解教程
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4-4 第四节 控制系统的根轨迹分析法 自动控制原理课件
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图 %
80
60
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
40
20
0 30 60 90
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
是稳定的（为什么？）；
kg 64 kg 14
当 kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。
kg 14 kg 64
kg 195
左图是用Matlab工具绘
制的。
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
下面的系统就是条件稳定系统的例子：
A B
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计
算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
% ectg1 100%, 当 % 18%时解得： 60
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益kg ，进而求得开环放大系数k。
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg 4)( s
6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18% ，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 kg 240 时， 闭环系统不稳定。
第4章控制工程根轨迹法V11
K
1
M
s s2
K 1s
[S]
K s s2
1 j 1 j 2
-2
0
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
4.2 绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的分支数； 根轨迹的对称性； 根轨迹的起点与终点
实轴上的根轨迹 根轨迹的渐进线 根轨迹的起始角与终止角 分离点的坐标 根轨迹与虚轴的交点
Apj s pj
pj s pj
i 1,2, m j 1,2, n
m
n
因此有：幅角条件 zi pj 1802k 1
i 1
j 1
k 0,1,2,
m
Azi
幅值条件
K
i 1 n
1
Apj
j 1
可见，幅角条件与K 无关;
而幅值条件与K 有关，且K 由0 ~ 。
因 此 ， 复 平 面[ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 的点 都 是
二、根轨迹的对称性 因为开环极点、零点或闭环极点都
是实数或共轭复数，它们在[S]平面上的 分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于 实轴。
[S]
三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环
零点 如果开环零点数m小于开环极点数n ,
则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
[S]
n4
m2
nm 2 有2条根轨迹终止于处
2、K=0.5时，系统处于临界阻尼状 态；
K<0.5时，系统处于过阻尼状态； K>0.5时，系统处于欠阻尼状态；
4.1.2 根轨迹方程及幅角、幅值条件
典型反馈控制系统的闭环传递函数为
Xo Xi
s s
1
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
自动控制第五章根轨迹法
研究下图所示负反馈控制系统的一般结构： R(s) 系统的闭环传递函数为：
C(s)
G(s) H(s)
+
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
﹣
该系统的特征方程为:
或， 上式称为系统的根轨迹方程。
7
二、根轨迹方程
系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：
8
绘制根轨迹的基本条件
s p
根轨迹的幅值条件：
n
sz
j 1
i 1 m
i
K1
j
负反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q 1)
j 1 j i 1 i
m
n
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q)
根轨迹方程左边 lim
s
(s z ) (s pi )
i 1 j 1 n j
m
lim n m
s i 1
1
i
1 根轨迹方程右边 lim 0 K1 k1
(s p )
0
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。 那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
幅值条件确定K1
i 1 m j 1
n
s pi
j
p3
K1 12.15
11
z1
p2
p1 0
sz
第二节 绘制根轨迹的基本规则
法则1：根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数等于闭环特 征根的个数，也等于系统的阶数。闭环系统的特征根只有实根和 共轭复根两类，因此根轨迹对称于实轴。
C(s)
G(s) H(s)
+
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
﹣
该系统的特征方程为:
或， 上式称为系统的根轨迹方程。
7
二、根轨迹方程
系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：
8
绘制根轨迹的基本条件
s p
根轨迹的幅值条件：
n
sz
j 1
i 1 m
i
K1
j
负反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q 1)
j 1 j i 1 i
m
n
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q)
根轨迹方程左边 lim
s
(s z ) (s pi )
i 1 j 1 n j
m
lim n m
s i 1
1
i
1 根轨迹方程右边 lim 0 K1 k1
(s p )
0
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。 那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
幅值条件确定K1
i 1 m j 1
n
s pi
j
p3
K1 12.15
11
z1
p2
p1 0
sz
第二节 绘制根轨迹的基本规则
法则1：根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数等于闭环特 征根的个数，也等于系统的阶数。闭环系统的特征根只有实根和 共轭复根两类，因此根轨迹对称于实轴。
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2、系统稳定K值：K 6 3、 因 s1, 2 j 3 可得：s3 2
j (s) 6(s 1) /(s 2)(s 2 3)
课堂练习：教材P.116的4-3。
1）
j
2）
d 1.71
j
5
2
0
1
0 .5
0
d 0.85
d1 0.29
j
3）
d 0.91
通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。
4-1-3 根轨迹方程
1、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 考虑单位反馈系统，即：H ( s ) 1
R(s)
G(s) 闭环传递函数： ( s ) 1 G(s) H (s ) K 式中： G ( s ) v G0 ( s ) 则： m s m K ( i s 1) ( i s 1) i 1 ( s ) n v i 1 m G0 ( s) n s v (T j s 1) K ( i s 1) (T j s 1) j 1 i 1
解： 1） 开环传递函数为 根轨迹如图所示。 2） 闭环特征方程为：
K (1 0.5s) G( s) s( s 1)
j
K
10(1 K t s) 1 G( s) 1 0 s( s 1) s 2 s 10 10Kt s 0 10 K t s 1 2 0 s s 10 Kt* 10Kt 等效开环传递函数： 10 K t s Ge ( s ) 2 s s 10 Kt* 10Kt 根轨迹如图所示。
2、根轨迹方程
由闭环特征方程： G( s) H ( s) s v 1
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
K ( s 1) 得： i S v (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
K * ( s zi )
K ( s 2) s 3 2 s 2 3s
s bs 4s 4b 20 0 Ge ( s )
b( s 4) s 2 4 s 20
4-3 根轨迹法的系统设计
4-3-1根轨迹与系统性能 1、根轨迹图的信息 如右图单位反馈系统例所示： 1）稳定性
5
2
j
0
分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。 由： j (2k 1) / l 确定。
K G 例4-1、已知单位反馈系统的开环传递函数为： ( s ) s ( s 2)(s 3)
，试绘制系统根轨迹。 解：应用上述的根轨迹绘制法则： 1）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹 3）渐进线
30 K 0
d 0.79
sj j 6
j 6
K j 30
K 5 2 j (6 2 ) 0
也可以令 s j 代入特征方程，得：
( j )3 5( j ) 2 6 j K 0
例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数为：G ( s )
s(2s 1)
s( s 0.5)
相角方程：
( s 2) s ( s 0.5) (2k 1)
模值方程：
K* s 2 s s 0 .5
1
设： s j 代入方程
( j 2) ( j ) ( j 0.5) (2k 1)
0 K 7
核算！
d 0.85
K计算！
2）闭环极点： 负实根 0 K 0.41 相等实根 K 0.41 共轭复根
0.41 K 7
3）系统类型和稳态误差 v 1 2、时域描述
2
1
0
j
3.12
0 .5
0
3.12
在系统同一特征方程下，根据需要，由除K以外 的参数置于K位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。
根轨迹绘制小结：
1、根轨迹 闭环根随开环传递函数中某参数变化在S平面上 变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。 开环增益K变化时的根轨迹 非K外的其他参数变化时的根轨迹
C (s )
K 2.5
K 1 K 0
s2 1 1 2K
2
j
系统特征方程： G( s) 0 1
1 K 0.5 K 0
K 1 0 s ( 1)
s 2 2s 2 K 0
2
1
0
1 2
根轨迹
K 1
K 2.5
4-1-2 根轨迹与系统性能
1
d 0.45
a (3 1 (1)) /(3 1) 0.5 5）虚轴交点 s 3 2s 2 ( K 3)s K 0 a (2k 1) / 2 / 2, / 2 由劳斯判据： K j 6, j 3 4）分离点
1 1 1 1 d d 1 d 3 d 1 试探得： d 0.45
j 1
G (s )
C (s )
分析闭环和开环零、极点的关系：
1）闭环极点由 1 G( s) s
2）闭环零点=开环零点。
v
(T s 1) K ( s 1) 0 确定。
j i j 1 i 1
n v
m
根轨迹法 3）闭环增益=开环增益。 对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非 单位反馈不具有上述特点。
z j zi
p j zi
j 1
上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。
法则7：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。
求法：1）劳斯判据（全零行），求得： K j , j . 2）在闭环特征方程中，令： s j ，然后由实部 和虚部为0，求得：K j , j . 虚轴交点 K
1、常规根轨迹（以增益K为参变量）
K
法则1：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 终点
j
K 0
1
K 如前例开环传递函数： G ( s ) s (0.5s 1)
开环零点：有限零点和无限零点。等于开环 极点数。
K 0
2
0
起点
K
法则2：根轨迹分支数等于开环极点数n ，根 轨迹是连续的并对称于实轴。
第四章 根轨迹法
本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。 4-1 根轨迹法的基本概念 开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时， 4-1-1根轨迹概念 闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。 研究下述系统： 特征根为： s1 1 1 2K
R(s)
K s (0.5s 1)
i 1
m
(s p
j 1
n
1
根轨迹方程
j
)
K
K*
开环增益 根轨迹增益
相角方程：
m n
1 1 e j ( 2 k 1)
K * K in 1 ( s zi ) ( s p j ) (2k 1) i 1 j 1 k 0,1,2,... Tj
1）稳定性 因当K从0变化到无穷时，闭环根均在S左
K 2.5
K 1 K 0
2
j
1 K 0.5 K 0
半平面，所以系统稳定。
2）动态性能 当0<K<0.5时，闭环根为实根，系统为过阻尼。
2
K 1
1
0
1 2
K 2.5
当K=0.5时，系统临界阻尼，闭环根为重根。
当K>0.5后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。 3）静态性能 在原点有一开环极点，说明系统为1型。K为静态速度误差系数。在 e 单位斜坡信号作用下的稳态误差为： ss 1 / K v .
v
闭环特征方程：1 G( s) H ( s) s
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
1）以K为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹；
2）以K以外参数 i , T j 绘制的根轨迹称为参数根轨迹。
以例说明： 1、等效开环传递函数 K (1 K t s) G( s) 设单位反馈系统开环传递函数： s( s 1) 试绘制：1）Kt 0.5 2） K 10 时的根轨迹。 Kt 为参数 K为参数
2 1
j
分离角
K 0
nm
(2k 1) nm
渐进线的交角： a
0
a 1,a / 2
法则5：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹
n
K
在S平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点d可 求下述方程的解：
m 1 1 d p j 1 d z i 1 i j 1 1 0 如图分离点计算： d 1 0 d d 2
j 1
m
i
K
模值方程：
*
sz
i 1 j
m
i
s p
j 1
n
1 根轨迹必须满足这两个方程。
举例：设单位反馈系统开环传递函数为： ( s ) K (0.5s 1) G 写出根轨迹方程。
s(2s 1)
解： 因： G ( s ) K (0.5s 1) 0.25K ( s 2) K * 0.25K
2、常规根轨迹和参数根轨迹 常规根轨迹 参数根轨迹
常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。 课堂练习：教材P117，4-5，4-6。 4-5： 1） s 3 2s 2 3s Ks 2 K 0 G ( s ) 4-6： 1） G ( s )
1 G( s) 0
2
20 ( s 4)(s b)
K K 0 K 0
j (s) 6(s 1) /(s 2)(s 2 3)
课堂练习：教材P.116的4-3。
1）
j
2）
d 1.71
j
5
2
0
1
0 .5
0
d 0.85
d1 0.29
j
3）
d 0.91
通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。
4-1-3 根轨迹方程
1、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 考虑单位反馈系统，即：H ( s ) 1
R(s)
G(s) 闭环传递函数： ( s ) 1 G(s) H (s ) K 式中： G ( s ) v G0 ( s ) 则： m s m K ( i s 1) ( i s 1) i 1 ( s ) n v i 1 m G0 ( s) n s v (T j s 1) K ( i s 1) (T j s 1) j 1 i 1
解： 1） 开环传递函数为 根轨迹如图所示。 2） 闭环特征方程为：
K (1 0.5s) G( s) s( s 1)
j
K
10(1 K t s) 1 G( s) 1 0 s( s 1) s 2 s 10 10Kt s 0 10 K t s 1 2 0 s s 10 Kt* 10Kt 等效开环传递函数： 10 K t s Ge ( s ) 2 s s 10 Kt* 10Kt 根轨迹如图所示。
2、根轨迹方程
由闭环特征方程： G( s) H ( s) s v 1
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
K ( s 1) 得： i S v (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
K * ( s zi )
K ( s 2) s 3 2 s 2 3s
s bs 4s 4b 20 0 Ge ( s )
b( s 4) s 2 4 s 20
4-3 根轨迹法的系统设计
4-3-1根轨迹与系统性能 1、根轨迹图的信息 如右图单位反馈系统例所示： 1）稳定性
5
2
j
0
分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。 由： j (2k 1) / l 确定。
K G 例4-1、已知单位反馈系统的开环传递函数为： ( s ) s ( s 2)(s 3)
，试绘制系统根轨迹。 解：应用上述的根轨迹绘制法则： 1）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹 3）渐进线
30 K 0
d 0.79
sj j 6
j 6
K j 30
K 5 2 j (6 2 ) 0
也可以令 s j 代入特征方程，得：
( j )3 5( j ) 2 6 j K 0
例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数为：G ( s )
s(2s 1)
s( s 0.5)
相角方程：
( s 2) s ( s 0.5) (2k 1)
模值方程：
K* s 2 s s 0 .5
1
设： s j 代入方程
( j 2) ( j ) ( j 0.5) (2k 1)
0 K 7
核算！
d 0.85
K计算！
2）闭环极点： 负实根 0 K 0.41 相等实根 K 0.41 共轭复根
0.41 K 7
3）系统类型和稳态误差 v 1 2、时域描述
2
1
0
j
3.12
0 .5
0
3.12
在系统同一特征方程下，根据需要，由除K以外 的参数置于K位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。
根轨迹绘制小结：
1、根轨迹 闭环根随开环传递函数中某参数变化在S平面上 变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。 开环增益K变化时的根轨迹 非K外的其他参数变化时的根轨迹
C (s )
K 2.5
K 1 K 0
s2 1 1 2K
2
j
系统特征方程： G( s) 0 1
1 K 0.5 K 0
K 1 0 s ( 1)
s 2 2s 2 K 0
2
1
0
1 2
根轨迹
K 1
K 2.5
4-1-2 根轨迹与系统性能
1
d 0.45
a (3 1 (1)) /(3 1) 0.5 5）虚轴交点 s 3 2s 2 ( K 3)s K 0 a (2k 1) / 2 / 2, / 2 由劳斯判据： K j 6, j 3 4）分离点
1 1 1 1 d d 1 d 3 d 1 试探得： d 0.45
j 1
G (s )
C (s )
分析闭环和开环零、极点的关系：
1）闭环极点由 1 G( s) s
2）闭环零点=开环零点。
v
(T s 1) K ( s 1) 0 确定。
j i j 1 i 1
n v
m
根轨迹法 3）闭环增益=开环增益。 对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非 单位反馈不具有上述特点。
z j zi
p j zi
j 1
上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。
法则7：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。
求法：1）劳斯判据（全零行），求得： K j , j . 2）在闭环特征方程中，令： s j ，然后由实部 和虚部为0，求得：K j , j . 虚轴交点 K
1、常规根轨迹（以增益K为参变量）
K
法则1：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 终点
j
K 0
1
K 如前例开环传递函数： G ( s ) s (0.5s 1)
开环零点：有限零点和无限零点。等于开环 极点数。
K 0
2
0
起点
K
法则2：根轨迹分支数等于开环极点数n ，根 轨迹是连续的并对称于实轴。
第四章 根轨迹法
本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。 4-1 根轨迹法的基本概念 开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时， 4-1-1根轨迹概念 闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。 研究下述系统： 特征根为： s1 1 1 2K
R(s)
K s (0.5s 1)
i 1
m
(s p
j 1
n
1
根轨迹方程
j
)
K
K*
开环增益 根轨迹增益
相角方程：
m n
1 1 e j ( 2 k 1)
K * K in 1 ( s zi ) ( s p j ) (2k 1) i 1 j 1 k 0,1,2,... Tj
1）稳定性 因当K从0变化到无穷时，闭环根均在S左
K 2.5
K 1 K 0
2
j
1 K 0.5 K 0
半平面，所以系统稳定。
2）动态性能 当0<K<0.5时，闭环根为实根，系统为过阻尼。
2
K 1
1
0
1 2
K 2.5
当K=0.5时，系统临界阻尼，闭环根为重根。
当K>0.5后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。 3）静态性能 在原点有一开环极点，说明系统为1型。K为静态速度误差系数。在 e 单位斜坡信号作用下的稳态误差为： ss 1 / K v .
v
闭环特征方程：1 G( s) H ( s) s
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
1）以K为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹；
2）以K以外参数 i , T j 绘制的根轨迹称为参数根轨迹。
以例说明： 1、等效开环传递函数 K (1 K t s) G( s) 设单位反馈系统开环传递函数： s( s 1) 试绘制：1）Kt 0.5 2） K 10 时的根轨迹。 Kt 为参数 K为参数
2 1
j
分离角
K 0
nm
(2k 1) nm
渐进线的交角： a
0
a 1,a / 2
法则5：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹
n
K
在S平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点d可 求下述方程的解：
m 1 1 d p j 1 d z i 1 i j 1 1 0 如图分离点计算： d 1 0 d d 2
j 1
m
i
K
模值方程：
*
sz
i 1 j
m
i
s p
j 1
n
1 根轨迹必须满足这两个方程。
举例：设单位反馈系统开环传递函数为： ( s ) K (0.5s 1) G 写出根轨迹方程。
s(2s 1)
解： 因： G ( s ) K (0.5s 1) 0.25K ( s 2) K * 0.25K
2、常规根轨迹和参数根轨迹 常规根轨迹 参数根轨迹
常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。 课堂练习：教材P117，4-5，4-6。 4-5： 1） s 3 2s 2 3s Ks 2 K 0 G ( s ) 4-6： 1） G ( s )
1 G( s) 0
2
20 ( s 4)(s b)
K K 0 K 0