第4章_线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)

法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称.
法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分.
法则3的应用见下图:
49935.75d 4 584743.625d 3 640674.75d 2 67091.25d 406775 0
用手工解十次代数方程相当麻烦. 但在实轴上的分离点有以下两 个特点:
(1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如 是根轨迹, 则其上必有一个分离点. 这两个相邻的极点或两个相 邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.
根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这
两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两
个根的表达式着手来画.
(1)K=0,
则s1 1, s2
2,
在S平面上的位置如下图所示: jω
-2
-1
σ 0
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:
上例中:
n 7,m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j2, z4 7 j2
p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:
需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量.
例: 某闭环系统的开环传递函数为:
K '(s 1)(s 10)(s 7 j2)(s 7 j2) G0(s) s(s 6)(s 8)(s 0.5 j)(s 0.5 j)(s 4 j3)(s 4 j3)
个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环
节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S
多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得.
因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
m
m
K (Tis 1) K '(s zi )
G0 (s)
i 1 r
i 1 r
(1)
的根轨迹关于实轴成镜向对称.
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来.
z j
pi 表示以下标序号为j的开环零点
z
为始点指向
j
pi
的矢量与正实轴方向的夹角.
p j pi表示以下标序号为j的开环极点 p j为始点指向 pi的矢量
与正实轴方向的夹角.
z 表示下标序号为i的开环复数零点 zi
i 的终止角.
z z 表示以下标序号为j的开环零点 z j zi
为始点指向
j
的矢量与
与正实轴的夹角,叫起始角,以 pi 标识; 根轨迹进入开环复数零
点处的切线与正实轴的夹角,叫终止角,以 zi 标识, 且:
m
n
( ) pi
j 1 z j pi
j 1 p j pi
( ji)
m
n
( ) zi
z j zi j 1
p j zi j 1
( ji)
上两式中 pi 表示下标序号为i的开环复数极点 pi 的起始角.
(2k 1)
nm
k 0,1,2, ,n m 1
n
m
上式中, pj 为开环极点值之和, zi 为开环零点值之和.
j 1
i 1
上例中, n-m=7-4=3, 有三条渐近线,它们的 a 和a 计算如下:
7
p j 0 6 8 0.5 j 0.5 j 4 j3 4 j3 23
jω
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1 p5 p1
p7
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞.
注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点.
jω
-2 -1.5 -1
σ 0
当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而
虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化jω轨迹如下图所示:
-2 -1.5 -1
0σ
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是
p3
p2
z4
p7
jω
3
2
p4 1
-1
0 2/3 σ
z1
p1
p5
对于法则4, 当m>n时, 有m-n条根轨迹从无穷远处的极点沿
一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的 a 和a 由下式计算:
m
n
zi pj
a
i
j 1
mn
a
(2k 1)
mn
k 0,1,2, ,m n 1
法则5 根轨迹的分离点:两条或两条以上的根轨迹分支在S
i
正实轴方向的夹角.
z p jzi表示以下标序号为j的开环极点 p j为始点指向
的矢量
i
与正实轴方向的夹角.
现以所举例子中序号为4即i=4的开环复数极点为例, 说明它
的起始角的计算过程. 由计算起始角的公式可得:
4
7
p4 ( z j p4 ) pj p4
j 1
j 1
( j4)
4
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方
便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明.
K
0
s2 3s 2
(s 1)(s 2)
并令: G(s)
K
则左式分母 (s 1)(s 2) 0
(s 1)(s 2)
的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程s2 3s 2 K 0 的两个根,
也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上
(2) 实轴上某区段是根轨迹的话, 如这区段的两个端点一个是 极点, 而另一个是零点, 则此区段上要么没有分离点, 如有, 则不 止一个.
利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点, 然后用试探法求近似的分离点值, 求出一个后, 对整理后的方程 可降一阶.
法则6 起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线
上式中:
z j p4
z1 p4
z2 p4
z3 p4
z4 p4
j 1
t 1 g
1 0.5
t 1 g
1 9.5
2
t
1 g
1 6.5
t
1 g
3 6.5
1.1071 0.1049 2 0.1526 0.4324
7.7718(弧度)
jω
z3 p4 z3
z2 p4
-10
-8
-6
z2
n
1
0
j1 d p j
现计算例子中的分离点d值, 由于:
1 1 1 1 1 1 1 d d 6 d 8 d 0.5 j d 0.5 j d 4 j3 d 4 j3
1 1 1 1 d 1 d 10 d 7 j2 d 7 j2
对上式整理得:
d10 38.5d 9 621.75d8 5430.375d 7 572799.25d 6 72338 d 5
i 1
m
r
i N j (2k 1) k 0,1,2, (5)
i 1
j 1
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出.
1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示:
R(S)
G1(S)
G2(S)
Y(S)
H(S)
其开环传递函数G0 (s) G1(s)G2 (s)H (s) , 开环传递函数是各
m
(zi )
K K'
i 1 r
(2)
( pj )
j 1
闭环系统的特征方程为:1
G0 (s)
0,即:
百度文库
G0 m
(s)
1,将式(1)代入
m
K ' (s zi )
m
j i
K '
s zi e i1
i 1 r
i 1
r
e j (2k 1)
sN (s pj ) j 1
s s p e N r
j ( N j )
j 1
4
zi 1 10 7 j2 7 j2 25
i 1
7
4
a
p j zi
j 1
i 1
nm
23 (25) 3
2 3
a
(2k 1)
nm
k 0,1,2, , n m 1
a
(2k
1)
3
k 0,1,2
a0
3
,
a1 ,
a2
5
3
渐近线见下图:
p6
z3
-10
-8
-6
z2
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
设有二阶代数方程 s2 3s 2 K 0 , 由韦达定理, 可求出其二个根
为: s1,2 1.5 0.25 K , 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便
即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个
p3
p2
z4
p6
z4 p4
3
p4 2
-1
1
0 z1 p4σ
z1
p1
p5
p7
同理可得: 7
p j p4
p1 p4
p2 p4
p3 p4
p5 p4
p6 p4
p7 p4
j 1
sN ( js 1) sN (s pj )
j 1
j 1
式(1)中: zi 是G0(S)的零点, i=1,2,….m pj 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r
s N 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 阶数. K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画
图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:
(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨
迹分支;
(2) 若把代数方程 s2 3s 2 K 0 写成如下形式, 即:
1 K 1
j 1
j
(3)
j 1
式(3)中: s zi 是 (s zi ) 的模; s pj 是 (s pj) 的模;
是(s
i
zi
)
的幅角;
j
是(s
p
j
)
的幅角;
是
s
的幅角;
k 0,1,2 , n N r
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
r
s pj
K '
j 1
m
(4)
s zi
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
p7
jω
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1 p5 p1
法则4 根轨迹的渐近线:当开环有限极点个数n大于开环有
限零点个数m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为 a ,与实 轴正方向的夹角为 a 的一组渐近线趋向无穷远处的零点,
n
m
pj zi
且:
a
j 1
i
nm
a
平面上相遇又分开的点称为分离点. 一般常见的分离点多位于实
轴上, 但有时也产生于共軛复数对中(即在复平面上).分离点必为
重根点, 分离点d的值可由下式计算:
n
1
m
1
j1 d p j i1 d zi
由上式算得的分离点d值必须使K’>0, 或者讲必须在根轨迹上.
当开环传递函数没有一个零点时, 分离点d的值由下式计算: