线性系统的根轨迹法自动控制原理
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理 第4章第3节.
➢ 对s平面上任意的点，总存在一个K*，使其满足模值条
件，但该点不一定是根轨迹上的点。确定根轨迹上某一点 的K*值时，才使用模值条件。
【例】已知系统的开环传递函数，判断S1 ( -1，0)和S2 ( -1，j) S3 ( -2，2j) 是否在根轨迹上
GK
(s)
K s(s 2)
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
H (s)
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
前向通路传递函数
R(s)
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21 2s
1)
s (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)
f
(s zi )
KG*
i 1 q
(s pi )
i 1
KG*
KG
1
2 2
T1T22
C(s)
G(s)
H (s)
反馈通路传递函数
l
(s z j )
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s pj )
j 1
KG :前向通路增益
K
* G
:前向通路根轨迹增益
K
* H
:反馈通路根轨迹增益
f
l
m
开环传函
(s zi ) (s z j )
(s zj )
G(s)H
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 h
K*
j 1 n
(s pi ) (s p j )
j 1
i 1
说明：
➢ 满足上述两个条件的所有s都是闭环极点。当K* 从 0→∞变化时，闭环极点在[s]平面上的轨迹叫根轨迹。 根轨迹上所有的点都是闭环极点。 当K* =0时，对应根轨迹的开始，称根轨迹的起点； 当K* → ∞ 时，对应根轨迹的结束，称根轨迹的终点。
件，但该点不一定是根轨迹上的点。确定根轨迹上某一点 的K*值时，才使用模值条件。
【例】已知系统的开环传递函数，判断S1 ( -1，0)和S2 ( -1，j) S3 ( -2，2j) 是否在根轨迹上
GK
(s)
K s(s 2)
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
H (s)
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
前向通路传递函数
R(s)
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21 2s
1)
s (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)
f
(s zi )
KG*
i 1 q
(s pi )
i 1
KG*
KG
1
2 2
T1T22
C(s)
G(s)
H (s)
反馈通路传递函数
l
(s z j )
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s pj )
j 1
KG :前向通路增益
K
* G
:前向通路根轨迹增益
K
* H
:反馈通路根轨迹增益
f
l
m
开环传函
(s zi ) (s z j )
(s zj )
G(s)H
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 h
K*
j 1 n
(s pi ) (s p j )
j 1
i 1
说明：
➢ 满足上述两个条件的所有s都是闭环极点。当K* 从 0→∞变化时，闭环极点在[s]平面上的轨迹叫根轨迹。 根轨迹上所有的点都是闭环极点。 当K* =0时，对应根轨迹的开始，称根轨迹的起点； 当K* → ∞ 时，对应根轨迹的结束，称根轨迹的终点。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
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迹分支;
(2) 若把代数方程 s2 3s 2 K 0 写成如下形式, 即:
1 K 1
K
0
s2 3s 2
(s 1)(s 2)
并令: G(s)
K
则左式分母 (s 1)(s 2) 0
(s 1)(s 2)
的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程s2 3s 2 K 0 的两个根,
i 1
m
r
i N j (2k 1) k 0,1,2, (5)
i 1
j 1
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出.
上例中:
n 7,m 4; z1 1, z2 10, z3 7 j2, z4 7 j2
p1 0, p2 6, p3 8, p4 0.5 j, p5 0.5 j, p6 4 j3, p7 4 j3
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:
-2 -1.5 -1
0σ
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是
二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画
图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:
(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨
j 1
j
(3)
j 1
式(3)中: s zi 是 (s zi ) 的模; s pj 是 (s pj) 的模;
是(s
i
zi
)
的幅角;
j
是(s
p
j
)
的幅角;
是
s
的幅角;
k 0,1,2 , n N r
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
r
s pj
K '
j 1
m
(4)
s zi
也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称.
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来.
jω
p6 z3
-10
-8
-6
z2
p3
p2
z4
3
2
p4 1
-1
0
σ
z1 p5 p1
p7
法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞.
注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点.
个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环
节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S
多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得.
因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
m
m
K (Tis 1) K '(s zi )
G0 (s)
i 1 r
i 1 r
(1)
sN ( js 1) sN (s pj )
j 1
j 1
式(1)中: zi 是G0(S)的零点, i=1,2,….m pj 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r
s N 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的 阶数. K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:
jω
-2 -1.5 -1
σ 0
当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而
虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化jω轨迹如下图所示:
1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示:
R(S)
G1(S)
G2(S)
Y(S)
H(S)
其开环传递函数G0 (s) G1(s)G2 (s)H (s) , 开环传递函数是各
需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量.
例: 某闭环系统的开环传递函数为:
K '(s 1)(s 10)(s 7 j2)(s 7 j2) G0(s) s(s 6)(s 8)(s 0.5 j)(s 0.5 j)(s 4 j3)(s 4 j3)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方
便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明.
m
(zi )
K K'
i 1 r
(2)
( pj )
j 1
闭环系统的特征方程为:1
G0 (s)
0,即:
G0 m
(s)
1,将式(1)代入
m
K ' (s zi )
m
j i
K '
s zi e i1
i 1 r
i 1
r
e j (2k 1)
sN (s pj ) j 1
s s p e N r
j ( N j )