第五章-控制系统根轨迹法
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
第五章典型飞行控制系统工作原理-纵向姿态控制
❖ 等效开环传函为：
G等 (S)
L M e (S Z ) S 2 C1d S C2d
❖ 根轨迹如右图所示：
内回路 L ，使短周期
一对复根左移且虚部减小，最
s1
终进入实轴，振荡减小，
阻尼加大。内回路的动态
过程由振荡运动转为按指
z
数规律衰减的单调运动，
s2
L 越大，阻尼作用越强。
j
全系统情况：
图 L 过大时，修正 的过渡过程
要想减弱这一振荡过程，应在控制律中引入 俯仰角速率q，对飞机运动起阻尼作用，也就是 引入微分信号。
（4）一阶微分信号在比例式控制中的作用
t1•
t •
2
t
e
e1 L
e2 L
t
e L L
由图可见，微分作用的物理本质为：
❖
为t1零时，刻当t
在减小但值为正，此时舵e 已
1、比例式自动驾驶仪修正初始俯仰角偏差
（1）稳定过程 0 0 驾驶仪控制律为：
g 0
e L L ( g )
讨论俯仰角稳定过程，认为
e L L
修正 0 的过程：0 0
比例式控制如何减小静差：
❖ 由前面计算可知：
g
Mf Q0Sb Cme
L
❖ ❖
所 要 只以 减 有：小使这b个静， g差就存，可在应使静加静差大差。减L小。Lb2
，所以
❖ 极端情况： b 0（切断硬反馈）就可完全
消除常值干扰下的静差。
2、积分式自动驾驶仪
在舵回路中采用速度反馈或称为软反馈形式的 信号，组成了积分式自动驾驶仪。
1
T s 1
s 2 c1d s c2d
s
内 s
G等 (S)
L M e (S Z ) S 2 C1d S C2d
❖ 根轨迹如右图所示：
内回路 L ，使短周期
一对复根左移且虚部减小，最
s1
终进入实轴，振荡减小，
阻尼加大。内回路的动态
过程由振荡运动转为按指
z
数规律衰减的单调运动，
s2
L 越大，阻尼作用越强。
j
全系统情况：
图 L 过大时，修正 的过渡过程
要想减弱这一振荡过程，应在控制律中引入 俯仰角速率q，对飞机运动起阻尼作用，也就是 引入微分信号。
（4）一阶微分信号在比例式控制中的作用
t1•
t •
2
t
e
e1 L
e2 L
t
e L L
由图可见，微分作用的物理本质为：
❖
为t1零时，刻当t
在减小但值为正，此时舵e 已
1、比例式自动驾驶仪修正初始俯仰角偏差
（1）稳定过程 0 0 驾驶仪控制律为：
g 0
e L L ( g )
讨论俯仰角稳定过程，认为
e L L
修正 0 的过程：0 0
比例式控制如何减小静差：
❖ 由前面计算可知：
g
Mf Q0Sb Cme
L
❖ ❖
所 要 只以 减 有：小使这b个静， g差就存，可在应使静加静差大差。减L小。Lb2
，所以
❖ 极端情况： b 0（切断硬反馈）就可完全
消除常值干扰下的静差。
2、积分式自动驾驶仪
在舵回路中采用速度反馈或称为软反馈形式的 信号，组成了积分式自动驾驶仪。
1
T s 1
s 2 c1d s c2d
s
内 s
第五章 控制系统的设计及整定
5.3.1 Ziegler-Nichols PID参数经验整定法
Z-N整定法适用的被控对象为带纯延迟的一阶惯性环节，即G s
=
������ ������������+1
������−������������
,该方法由Ziegler和Nichols于1942年提出，后
来几经改进，总结出一些以衰减率������ = 0.75的最佳调节器整定公式，其代表是柯恩(Cohen)-库恩(Coon)整定公式：
性能指标：衡量参数整定效果的指标。衰减率：在衰减振荡中，两个相邻同方向幅值之比称为衰减比。
分类： 1.理论计算整定法，即基于被控对象的数学模型，通过计算方法直接求得调节器整定参数。 如根轨迹法，频率特性法。计算求得的参数并不很可靠，另外，计算过程复杂，不方便。 2.工程整定法。其中有些是基于对象的阶跃响应曲线，有些则直接在闭环系统中进行。是 一种近似的经验方法，简单实用，易于掌握。
5.1 PID控制概述
PID(Propotional-Intigrate-Differential)控制是比例积分微分控制的简 称。是一种负反馈。在过程控制的发展历程中，PID控制是历史最 悠久（上世纪40年代以前，是过程控制唯一的控制方式），生命力 最顽强（时至今日，仍是最广泛应用）的基本控制方式。其具有以 下优点：
= ������������ ������ ������
+
1 ������������
0������
������
������
������������
+
������������
������������(������) ������������
或u
������
机械工程控制基础答案(第七版)
机械工程控制基础答案(第七版)第一章：控制系统的基本概念1.1 什么是控制系统？控制系统是由各种组件和部件组成的工程系统，它们通过传递信号和信息来控制和调节系统的运行状态。
1.2 控制系统的分类控制系统可以根据输入和输出信号的性质分为连续时间控制系统和离散时间控制系统。
1.3 控制系统的组成控制系统主要由输入部分、执行部分和输出部分组成。
输入部分负责接收输入信号，执行部分负责根据输入信号执行相应的操作，输出部分负责输出结果。
1.4 控制系统的闭环与开环闭环控制系统是指系统的输出信号可以作为输入信号的一部分进行反馈控制，而开环控制系统是指系统的输出信号不会作为输入信号的一部分进行反馈控制。
1.5 控制系统的性能指标控制系统的性能指标包括稳定性、快速性、准确性和鲁棒性等。
第二章：传输函数与信号流图2.1 传输函数的定义传输函数描述了控制系统中输入和输出之间的关系。
它可以通过系统的微分方程和拉普拉斯变换来求得。
2.2 传输函数的性质传输函数具有线性、时不变和因果性等性质。
2.3 信号流图的表示信号流图是用于描述控制系统的一种图形表示方法，它由节点和支路组成。
节点表示系统的状态，支路表示信号的传递。
2.4 信号流图的简化信号流图可以通过串联、并联、反馈和转移等操作进行简化和求解。
第三章：经典控制系统设计3.1 一阶惯性环节的控制系统设计一阶惯性环节的控制系统设计主要包括根轨迹法和频率响应法。
根轨迹法通过绘制根轨迹来设计控制系统的参数，频率响应法通过频率特性来设计控制系统的参数。
3.2 二阶惯性环节的控制系统设计二阶惯性环节的控制系统设计主要包括模拟法和频率法。
模拟法通过模拟计算来设计控制系统的参数，频率法通过频率特性来设计控制系统的参数。
3.3 控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时能够保持稳定的状态。
稳定性分析和设计是控制系统设计中的重要内容。
3.4 控制系统的性能分析与设计控制系统的性能包括快速性、准确性和鲁棒性等方面。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
自动控制原理孙优贤教材
自动控制原理孙优贤教材第一章：控制系统组成和概念控制系统是一种由多个元素和过程组成的整体，它的主要目的是通过调节输入和输出之间的关系，以达到特定的性能指标。
控制系统一般包括控制器、执行器、传感器和被控对象等组成部分。
第二章：控制系统的数学模型控制系统的数学模型是用数学语言描述控制系统的方法，它可以帮助我们分析控制系统的性能和行为。
常用的数学模型包括传递函数模型、状态空间模型和Laplace变换模型等。
这些模型可以用来描述控制系统的动态特性，进行系统分析和设计。
第三章：控制系统的时域分析时域分析法是一种基于时间域的控制系统分析方法。
通过时域分析，可以了解控制系统的稳定性、响应速度、误差等性能指标，进而对系统进行优化设计。
第四章：频率特性分析法频率特性分析法是一种基于频率域的控制系统分析方法。
通过频率特性分析，可以了解控制系统的频率响应、相位和幅值等特性，进而对系统进行优化设计。
第五章：根轨迹分析方法根轨迹分析法是一种基于根轨迹的控制系统分析方法。
通过根轨迹分析，可以了解控制系统的稳定性、响应速度和阻尼比等性能指标，进而对系统进行优化设计。
第六章：采样控制系统采样控制系统是一种数字控制系统，它通过对模拟信号进行采样、量化、编码等处理，将其转化为数字信号进行控制。
采样控制系统的精度高、稳定性好、易于实现远程控制等优点，被广泛应用于工业自动化等领域。
第七章：状态空间方法状态空间法是一种基于状态空间模型的控制系统分析方法。
通过状态空间法，可以了解控制系统的动态特性和状态变量之间的关系，进而对系统进行优化设计。
状态空间法还可以用于控制系统的稳定性和鲁棒性分析等方面。
第八章：非线性系统分析非线性系统是指系统的输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统的分析和设计比线性系统更为复杂，但非线性系统的应用范围更广泛。
非线性系统的分析方法包括相平面法、描述函数法等。
第5章 简单控制系统的设计及参数调整方法
第五章 简单控制系统的设计
2. 控制参数的选择（重要选择）
依据过程特性对控制质量的影响，不难归纳选择控制参数的 一般原则：
K P越大越好 ， TP 适当小一些 ； （a）
（b） P 越小越好 ， P
/ TP 0.3
(c)K f 尽可能小， T f 尽可能大，尽可能多，尽可能将大的纯滞 后置于干扰通道，干扰进入系统的位置尽可能远离被控参数。
由此可见，时间常数越错开，K 0 越大，对系统稳定性越有 利，在保持一定稳定性的条件下，对保持质量越有利。
小结
控制通道的K P 越大越好，TP适当减小， P 越小越好，多个 时间常数的大小越错开越好。
第五章 简单控制系统的设计
（三）控制方案的确定
1、系统被控参数选取的一般原则 （a）应选取对产品的产量、质量、安全生产、经济运行、环 境保护有决定性作用、又可直接进行测量的工艺参数作为被 控参数（直接参数）； （b）选取与上述直接参数有单值对应关系的间接参数作为被 控参数； （c）间接参数对产品质量应有足够的灵敏性； （d）应考虑工艺的合理性及仪表的性能价格比等； 特别说明：被控参数一般由工艺工程师确定，控制工程师无 多大选择余地。
第五章 简单控制系统的设计
c）按下表计算出P、I、D调节器的参数
（2）优缺点：
a）该法可直接在闭环状态下进行，且无需测试过程的动态特性； b）方法简单，使用方便；
第五章 简单控制系统的设计
第五章 简单控制系统的设计
（2）P调节对系统质量的影响：
a）比例调节是一种有差调节？ b）比例调节系统的静差随比例带的增大而增大？比例带 的减少，意味着系统稳定性降低？ c）比例调节不适合给定值随时间变化的情况；
d）增大 K C（即减小比例带），可以减少系统的静差，加 快系统的响应速度？这是因为： KP KC KC K P TP s 1 C (s) K KP R( s) TP s 1 K C K P Ts 1 1 KC TP s 1 KC K P TP K ,T (惯性减小） 1 KC K P 1 KC K P
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i 1
m
k
zi ) ( sk pi ) m n
j 1
n
(m n) (2k 1) (2k 1) (n m ) k 0,1,2,
证2：对于无穷远处的点s，所有有
限的开环零极点可记为一点，其位置 为实轴上的一个点上。则由幅值 条件可得到： n s (s p j ) j1 m (s Zi ) s
第五章 根轨迹法
第一节 引言
第二节 根轨迹的基本概念
第三节 根轨迹的绘制规则和方法 第四节 开环零极点对根轨迹的影响 第五节 控制系统根轨迹分析与设计 第六节 参变量根轨迹族 第七节 零度根轨迹
第一节
引言 （1948Evans）
闭环系统的稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程的根。 当待定参数变化时特征根随之 变化，这个根的变化轨迹就形成 根轨迹。
n m 1
(( Pj ) ( Z i )) (n m )
例: K ( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 3)( s 2 s 2) 求根轨迹. 解 : n 4, m 1, n m 3 有三个分支 ( 2k 1) nm 60 k 0 ( 2k 1)180 180 k 1 3 300 k 2
f2
k0 0 90 ( 2k ) 180 k 1
60 k 0 L 3 : f 60 (2k 1) 180 k 1 300 k2
n m p j (2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) j 1,i j i 1 s p j m n ( 2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) zj i 1 s z j i 1,i j
分离点：从实轴上分离出去，脱离实轴
会合点：相遇在实轴，分离后也不脱离实轴
[规则7]：分离点或会合点d与分离角的确立
分离或会合点 d 的计算公式：参见图5-8,5-9
K G ( s) H ( s) 时 A( s)
dK d ds ds
B( s) G ( s) H ( s) A( s)
(s P ) 0 (s Z )
i j
时
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
f sf
o
o
四重根
繁，从略。
相邻极点间的分离点
相邻零点间的会合点
（注1）分离角计算公式可用相角条件证明，证明过程较
（注2） 分离点计算的证明：
(1) 因对 1 G(s)H(s) 0 有L重根, 1 G(s)H(s) (s b) L A1 ( s ) d [G ( s ) H ( s )] 则 ( s b) L 1[ LA1 ( s ) ( s b) A1' ( s )] ds d [G ( s ) H ( s )] 只当s b时, 有 0 ds
m
闭环传函:
G( s) Gc ( s) 1 G( s) H ( s)
闭环特征方程: 根轨迹方程
G( s) H ( s) 1
或
K
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1
K称为根轨迹增益
或表示为
注：
j 1
n
( s p j ) K ( s zi ) 0
i 1
m
常规根轨迹,简称根轨迹； 补根轨迹或余根轨迹； 完全根轨迹,或全根轨迹。
4.2.3 幅值和相角条件
由根轨迹方程
K
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
1
)
可得两个条件方程:
幅值条件方程(模相等):
G( s) H ( s) 1 或 K
j 1 i 1 n
m
( s zi ) (s p j )
1
开环传函模等于1
相角条件方程(相角相等):
G ( s ) H ( s ) (2k 1)
( s z ) ( s p ) (2k 1)
i 1 i j 1 j
m
-4
-3
o -2
o -1
0
解：z1=-1，z2=-2，p1=0，p2=-3，p3=-4
绘制方法:选实轴上两零极点间的点,数右边的零极点数, 若为奇数,则画这段为根轨迹
[规则5]有n-m条根轨迹分支沿渐
近线趋于无穷远，其渐近线与 正实轴的夹角为：
( 2k 1) nm
m n 1 p j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 i 1,i j ,i j 1, s p j m n 1 z j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 s z j i 1,i j ,i j 1,
i 1
(s )
n n
nm
s
n 1
nm
注： (a b) a na
n(n 1) b n2 2 2!a b
( n m) s
n m 1
据多项式相乘公式和长除法
(s P ) s (s Z ) s
j i
Pj s m m 1 Zi s
注释：
根轨迹上的点应同时满足上两个方程;
1.相角条件方程与K无关，幅值方程才与K 相关; 2.相角条件是决定根轨迹的充要条件，s 平面上一点s’若满足相角条件即为根轨 迹上的一点; 3.相角条件用来确定根轨迹点 s=j; 4.幅值条件用来确定对应的K。
绘制根轨迹方法
试探法
任选s看是否满足相角条件； 按基本规则手工绘制
( Pj ) ( Z i )
nm (0 3 ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1)) 3 ( 2 1 1) 4 1.33 3 3
[规则6] 参见图5-13,p162,图5-14,例5-4,p162. 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
限制条件：
重零点或重极点时，两点间为零距离。上公式不能用。
[规则6]（记忆） 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
起始（出射）角为
180度 + 至所有零点角的和 - 至其他极点角的和
终止（入射）角为
180度 + 至所有极点角的和 - 至其他零点角的和
[规则6+]重极点和重零点的 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
s = 2
2
开环零点: 无 3) 闭环特征方程:
Y ( s) K Gc ( s) 2 X ( s) s 2s K
s2+2s+K=0
4）闭环特征根： s1 1 1 K
分析：
s2 1 1 K
1 K=1 临界阻尼，重根； 2 0K1，两个负实根, 过阻尼状态；
如下节讲述 ；
用计算机绘制
第三节 根轨迹绘制规则和方法
[规则1] 根轨迹与实轴对称
证：特征根要么实根，要 么为共轭复根，所以必与实轴 对称 。
绘制方法：画一半即可
[规则2]：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点或无穷远点，且终于无穷点
的分支数为n-m。
证：由幅值条件 ：
(s Z ) (s P )
6)绘制根轨迹
j
-2 s2
s1
问题在于逐点计算工作量大。若 要更有效的绘制根轨迹就必须找 出绘制根轨迹的规律…
4.2.2.根轨迹方程开环传函:
X(s)
+
G(s) H(s)
Y(s) G ( s ) H ( s ) K
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
k 0,1,2,
与实轴的交点为：
( P ) ( Z )
j 1 j i 1 i
n
m
nm
证1：设无穷远处有特征根s，则所
有的开环有限零极点到s的矢量的 幅角可以认为是相等的，即 (s zi ) (s p j )
则据幅角条件：
( s
( s 3)
i
) 0
i 1,2, , n
1 0 s以 Z i 或终。 ( s 1)( s 2) K
[规则3] 根轨迹分支数=n
证：n阶特征方程有n个根，K从 0时，n个根随之变化，故有n
条根轨迹。
绘制方法：n阶系统应画n条根轨迹
[规则4] 如果实轴上某一段右边的开 环零点和开环极点总数为奇数。则这 一段就是根轨迹段（证明略） K ( s 1)( s 2) 例：开环传函为 G(s) H ( s) s( s 3)( s 4) 求根轨迹。
n n 1 n m 1
s s s
nm nm nm
( Pj Z i ) s ( n m) s ( Pj Z i ) s
n m 1
n m 1
由第2项系数相等可得：
(n m ) s
n m 1
( Pj Z i ) s
用来研究根轨迹的变化规律以 及和闭环系统性能间的关系的方 法，称为控制系统根轨迹分析法。
第二节
4.2.1 根轨迹
根轨迹基本概念
根轨迹定义：
开环传函某个参数由0→ 时闭环特征
m
k
zi ) ( sk pi ) m n
j 1
n
(m n) (2k 1) (2k 1) (n m ) k 0,1,2,
证2：对于无穷远处的点s，所有有
限的开环零极点可记为一点，其位置 为实轴上的一个点上。则由幅值 条件可得到： n s (s p j ) j1 m (s Zi ) s
第五章 根轨迹法
第一节 引言
第二节 根轨迹的基本概念
第三节 根轨迹的绘制规则和方法 第四节 开环零极点对根轨迹的影响 第五节 控制系统根轨迹分析与设计 第六节 参变量根轨迹族 第七节 零度根轨迹
第一节
引言 （1948Evans）
闭环系统的稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程的根。 当待定参数变化时特征根随之 变化，这个根的变化轨迹就形成 根轨迹。
n m 1
(( Pj ) ( Z i )) (n m )
例: K ( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 3)( s 2 s 2) 求根轨迹. 解 : n 4, m 1, n m 3 有三个分支 ( 2k 1) nm 60 k 0 ( 2k 1)180 180 k 1 3 300 k 2
f2
k0 0 90 ( 2k ) 180 k 1
60 k 0 L 3 : f 60 (2k 1) 180 k 1 300 k2
n m p j (2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) j 1,i j i 1 s p j m n ( 2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) zj i 1 s z j i 1,i j
分离点：从实轴上分离出去，脱离实轴
会合点：相遇在实轴，分离后也不脱离实轴
[规则7]：分离点或会合点d与分离角的确立
分离或会合点 d 的计算公式：参见图5-8,5-9
K G ( s) H ( s) 时 A( s)
dK d ds ds
B( s) G ( s) H ( s) A( s)
(s P ) 0 (s Z )
i j
时
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
f sf
o
o
四重根
繁，从略。
相邻极点间的分离点
相邻零点间的会合点
（注1）分离角计算公式可用相角条件证明，证明过程较
（注2） 分离点计算的证明：
(1) 因对 1 G(s)H(s) 0 有L重根, 1 G(s)H(s) (s b) L A1 ( s ) d [G ( s ) H ( s )] 则 ( s b) L 1[ LA1 ( s ) ( s b) A1' ( s )] ds d [G ( s ) H ( s )] 只当s b时, 有 0 ds
m
闭环传函:
G( s) Gc ( s) 1 G( s) H ( s)
闭环特征方程: 根轨迹方程
G( s) H ( s) 1
或
K
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1
K称为根轨迹增益
或表示为
注：
j 1
n
( s p j ) K ( s zi ) 0
i 1
m
常规根轨迹,简称根轨迹； 补根轨迹或余根轨迹； 完全根轨迹,或全根轨迹。
4.2.3 幅值和相角条件
由根轨迹方程
K
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
1
)
可得两个条件方程:
幅值条件方程(模相等):
G( s) H ( s) 1 或 K
j 1 i 1 n
m
( s zi ) (s p j )
1
开环传函模等于1
相角条件方程(相角相等):
G ( s ) H ( s ) (2k 1)
( s z ) ( s p ) (2k 1)
i 1 i j 1 j
m
-4
-3
o -2
o -1
0
解：z1=-1，z2=-2，p1=0，p2=-3，p3=-4
绘制方法:选实轴上两零极点间的点,数右边的零极点数, 若为奇数,则画这段为根轨迹
[规则5]有n-m条根轨迹分支沿渐
近线趋于无穷远，其渐近线与 正实轴的夹角为：
( 2k 1) nm
m n 1 p j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 i 1,i j ,i j 1, s p j m n 1 z j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 s z j i 1,i j ,i j 1,
i 1
(s )
n n
nm
s
n 1
nm
注： (a b) a na
n(n 1) b n2 2 2!a b
( n m) s
n m 1
据多项式相乘公式和长除法
(s P ) s (s Z ) s
j i
Pj s m m 1 Zi s
注释：
根轨迹上的点应同时满足上两个方程;
1.相角条件方程与K无关，幅值方程才与K 相关; 2.相角条件是决定根轨迹的充要条件，s 平面上一点s’若满足相角条件即为根轨 迹上的一点; 3.相角条件用来确定根轨迹点 s=j; 4.幅值条件用来确定对应的K。
绘制根轨迹方法
试探法
任选s看是否满足相角条件； 按基本规则手工绘制
( Pj ) ( Z i )
nm (0 3 ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1)) 3 ( 2 1 1) 4 1.33 3 3
[规则6] 参见图5-13,p162,图5-14,例5-4,p162. 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
限制条件：
重零点或重极点时，两点间为零距离。上公式不能用。
[规则6]（记忆） 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
起始（出射）角为
180度 + 至所有零点角的和 - 至其他极点角的和
终止（入射）角为
180度 + 至所有极点角的和 - 至其他零点角的和
[规则6+]重极点和重零点的 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
s = 2
2
开环零点: 无 3) 闭环特征方程:
Y ( s) K Gc ( s) 2 X ( s) s 2s K
s2+2s+K=0
4）闭环特征根： s1 1 1 K
分析：
s2 1 1 K
1 K=1 临界阻尼，重根； 2 0K1，两个负实根, 过阻尼状态；
如下节讲述 ；
用计算机绘制
第三节 根轨迹绘制规则和方法
[规则1] 根轨迹与实轴对称
证：特征根要么实根，要 么为共轭复根，所以必与实轴 对称 。
绘制方法：画一半即可
[规则2]：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点或无穷远点，且终于无穷点
的分支数为n-m。
证：由幅值条件 ：
(s Z ) (s P )
6)绘制根轨迹
j
-2 s2
s1
问题在于逐点计算工作量大。若 要更有效的绘制根轨迹就必须找 出绘制根轨迹的规律…
4.2.2.根轨迹方程开环传函:
X(s)
+
G(s) H(s)
Y(s) G ( s ) H ( s ) K
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
k 0,1,2,
与实轴的交点为：
( P ) ( Z )
j 1 j i 1 i
n
m
nm
证1：设无穷远处有特征根s，则所
有的开环有限零极点到s的矢量的 幅角可以认为是相等的，即 (s zi ) (s p j )
则据幅角条件：
( s
( s 3)
i
) 0
i 1,2, , n
1 0 s以 Z i 或终。 ( s 1)( s 2) K
[规则3] 根轨迹分支数=n
证：n阶特征方程有n个根，K从 0时，n个根随之变化，故有n
条根轨迹。
绘制方法：n阶系统应画n条根轨迹
[规则4] 如果实轴上某一段右边的开 环零点和开环极点总数为奇数。则这 一段就是根轨迹段（证明略） K ( s 1)( s 2) 例：开环传函为 G(s) H ( s) s( s 3)( s 4) 求根轨迹。
n n 1 n m 1
s s s
nm nm nm
( Pj Z i ) s ( n m) s ( Pj Z i ) s
n m 1
n m 1
由第2项系数相等可得：
(n m ) s
n m 1
( Pj Z i ) s
用来研究根轨迹的变化规律以 及和闭环系统性能间的关系的方 法，称为控制系统根轨迹分析法。
第二节
4.2.1 根轨迹
根轨迹基本概念
根轨迹定义：
开环传函某个参数由0→ 时闭环特征