第五章-控制系统根轨迹法

KB( s ) ( 2)设1 G ( s ) H ( s ) 1 0 A( s ) d G ( s ) H ( s ) A( s ) B ' ( s ) A' ( s ) B ( s ) K 0 2 ds A ( s) A( s ) B ' ( s ) A' ( s ) B ( s ) 0 A( s ) 又K B( s) dK A( s ) B ' ( s ) A' ( s ) B ( s ) 0 2 ds B ( s) dK 0 ds
n n 1 n m 1
s s s
nm nm nm
( Pj Z i ) s ( n m) s ( Pj Z i ) s

n m 1

n m 1
由第2项系数相等可得：
(n m ) s

n m 1
( Pj Z i ) s
(3) K>1 共轭复根 ， 欠阻尼衰减振荡 ， 且 K越大 越小 ，振荡越剧烈；
5)逐点计算
K 0 0.25 1 2 5 s1 0 1 1 1 j 1 2 j 1 j 3 2 s2 2 1 1 1 j 1 2 j 1 j 3 2
限制条件：
重零点或重极点时，两点间为零距离。上公式不能用。
[规则6]（记忆） 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
起始（出射）角为
180度 + 至所有零点角的和 - 至其他极点角的和
终止（入射）角为
180度 + 至所有极点角的和 - 至其他零点角的和
[规则6+]重极点和重零点的 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
i j
时
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m

f sf

o
o
四重根
繁，从略。
相邻极点间的分离点
相邻零点间的会合点
（注1）分离角计算公式可用相角条件证明，证明过程较
（注2） 分离点计算的证明：
(1) 因对 1 G(s)H(s) 0 有L重根, 1 G(s)H(s) (s b) L A1 ( s ) d [G ( s ) H ( s )] 则 ( s b) L 1[ LA1 ( s ) ( s b) A1' ( s )] ds d [G ( s ) H ( s )] 只当s b时, 有 0 ds
用来研究根轨迹的变化规律以 及和闭环系统性能间的关系的方 法，称为控制系统根轨迹分析法。
第二节
4.2.1 根轨迹
根轨迹基本概念
根轨迹定义：
开环传函某个参数由0→ 时闭环特征
根在S平面上移动的轨迹。
例：
1)开环传函:
G( s) K s( s 2)
X
-
k s(s+2)
2)闭环传函：
Y
开环极点:s1=0
i 1
m
常规根轨迹,简称根轨迹； 补根轨迹或余根轨迹； 完全根轨迹,或全根轨迹。
4.2.3 幅值和相角条件
由根轨迹方程
K
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
1
)
可得两个条件方程:
幅值条件方程(模相等):
G( s) H ( s) 1 或 K

-4

-3

o -2

o -1

0
解：z1=-1，z2=-2，p1=0，p2=-3，p3=-4
绘制方法:选实轴上两零极点间的点,数右边的零极点数, 若为奇数,则画这段为根轨迹
[规则5]有n-m条根轨迹分支沿渐
近线趋于无穷远，其渐近线与 正实轴的夹角为：

( 2k 1) nm
注释：
根轨迹上的点应同时满足上两个方程;
1.相角条件方程与K无关，幅值方程才与K 相关; 2.相角条件是决定根轨迹的充要条件，s 平面上一点s’若满足相角条件即为根轨 迹上的一点; 3.相角条件用来确定根轨迹点 s=j; 4.幅值条件用来确定对应的K。
绘制根轨迹方法
试探法
任选s看是否满足相角条件； 按基本规则手工绘制
如下节讲述 ；
用计算机绘制
第三节 根轨迹绘制规则和方法
[规则1] 根轨迹与实轴对称
证：特征根要么实根，要 么为共轭复根，所以必与实轴 对称 。
绘制方法：画一半即可
[规则2]：根轨迹起于开环极点，终于
开环零点或无穷远点，且终于无穷点
的分支数为n-m。
证：由幅值条件 ：
(s Z ) (s P )
第五章 根轨迹法
第一节 引言
第二节 根轨迹的基本概念
第三节 根轨迹的绘制规则和方法 第四节 开环零极点对根轨迹的影响 第五节 控制系统根轨迹分析与设计 第六节 参变量根轨迹族 第七节 零度根轨迹
第一节
引言 （1948Evans）
闭环系统的稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程的根。 当待定参数变化时特征根随之 变化，这个根的变化轨迹就形成 根轨迹。
i 1
m
k
zi ) ( sk pi ) m n
j 1
n
(m n) (2k 1) (2k 1) (n m ) k 0,1,2,
证2：对于无穷远处的点s，所有有
限的开环零极点可记为一点，其位置 为实轴上的一个点上。则由幅值 条件可得到： n s (s p j ) j1 m (s Zi ) s

( Pj ) ( Z i )
nm (0 3 ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1)) 3 ( 2 1 1) 4 1.33 3 3
[规则6] 参见图5-13,p162,图5-14,例5-4,p162. 起始（出射）角与终止（入射）角计算公式
（注3）
关于分离角的讨论 : ( 2k 1) k 0,1,2, ( L 1) f 1 L ( 2k ) f2 k 0,1,2, ( L 1) L L 2: f1
90 k0 90 ( 2k 1) 270 k 1
差别是先合起来计算重极点或重零点的出射角或入射
角，然后再平分
[规则7]：分离点或会合点d与分离角的确立
分离或会合角 的计算公式：参见图5-8,5-9
f
或 f
( 2k 1)
L ( 2k ) L
k 0,1,2 ( L 1)
分离或会合点：L条根轨迹在S平面上相遇又分开的点 。 分离点为重根点, L为重根数。

j 1 i 1 n
m
( s zi ) (s p j )
1
开环传函模等于1
相角条件方程(相角相等):
G ( s ) H ( s ) (2k 1)
( s z ) ( s p ) (2k 1)
i 1 i j 1 j
m
n
开环传函相角等于180度
n m p j (2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) j 1,i j i 1 s p j m n ( 2 L 1) ( s Z i ) ( s pi ) zj i 1 s z j i 1,i j
i 1
(s )
n n
nm
s
n 1
nm
注： (a b) a na
n(n 1) b n2 2 2!a b
( n m) s
n m 1

据多项式相乘公式和长除法
(s P ) s (s Z ) s
j i
Pj s m m 1 Zi s
分离点：从实轴上分离出去，脱离实轴
会合点：相遇在实轴，分离后也不脱离实轴
[规则7]：分离点或会合点d与分离角的确立
分离或会合点 d 的计算公式：参见图5-8,5-9
K G ( s) H Biblioteka Baidu s) 时 A( s)
dK d ds ds
B( s) G ( s) H ( s) A( s)
(s P ) 0 (s Z )
m
闭环传函:
G( s) Gc ( s) 1 G( s) H ( s)
闭环特征方程: 根轨迹方程
G( s) H ( s) 1
或
K
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1
K称为根轨迹增益
或表示为
注：

j 1
n
( s p j ) K ( s zi ) 0
f2
k0 0 90 ( 2k ) 180 k 1

60 k 0 L 3 : f 60 (2k 1) 180 k 1 300 k2
n m 1
(( Pj ) ( Z i )) (n m )
例: K ( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 3)( s 2 s 2) 求根轨迹. 解 : n 4, m 1, n m 3 有三个分支 ( 2k 1) nm 60 k 0 ( 2k 1)180 180 k 1 3 300 k 2
k 0,1,2,
与实轴的交点为：

( P ) ( Z )
j 1 j i 1 i
n
m
nm
证1：设无穷远处有特征根s，则所
有的开环有限零极点到s的矢量的 幅角可以认为是相等的，即 (s zi ) (s p j )
则据幅角条件：
( s
m n 1 p j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 i 1,i j ,i j 1, s p j m n 1 z j (2l 1) ( s zi ) ( s pi ) L i 1 s z j i 1,i j ,i j 1,
s = 2
2
开环零点: 无 3) 闭环特征方程:
Y ( s) K Gc ( s) 2 X ( s) s 2s K
s2+2s+K=0
4）闭环特征根： s1 1 1 K
分析：
s2 1 1 K
1 K=1 临界阻尼，重根； 2 0K1，两个负实根, 过阻尼状态；
i j
1 K
绘制方法：从开环极点画向开环零点起
知当K 0时，必有 ( s Pj ) 0 ( s Pj ) 0 j 1,2, , n必有s Pj s从 Pj 起； 当K 时，必有 (s Zi ) 0 必有s Z i
(s Z
6)绘制根轨迹
j
-2 s2
s1

问题在于逐点计算工作量大。若 要更有效的绘制根轨迹就必须找 出绘制根轨迹的规律…
4.2.2.根轨迹方程开环传函:
X(s)
+

G(s) H(s)
Y(s) G ( s ) H ( s ) K
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
( s 3)
i
) 0
i 1,2, , n
1 0 s以 Z i 或终。 ( s 1)( s 2) K
[规则3] 根轨迹分支数=n
证：n阶特征方程有n个根，K从 0时，n个根随之变化，故有n
条根轨迹。
绘制方法：n阶系统应画n条根轨迹
[规则4] 如果实轴上某一段右边的开 环零点和开环极点总数为奇数。则这 一段就是根轨迹段（证明略） K ( s 1)( s 2) 例：开环传函为 G(s) H ( s) s( s 3)( s 4) 求根轨迹。