控制系统的根轨迹法分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法与频率响应法
根轨迹法与频率响应法根轨迹法和频率响应法是控制系统理论中常用的分析和设计方法。
本文将从定义、应用领域和分析步骤等方面介绍这两种方法，并比较它们的优劣之处。
一、根轨迹法根轨迹法是一种基于系统极点和零点的图形分析工具。
通过绘制极点和零点随参数变化时系统特征根的轨迹，可以直观地分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。
根轨迹法适用于线性时不变系统的分析和设计。
根轨迹法的分析步骤如下：1. 绘制系统的极点和零点图；2. 根据系统的传输函数，确定所有参数变化时系统的特征根；3. 根据特征根的性质，绘制根轨迹图；4. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。
根轨迹法的优点是直观、简单易懂，可以用于初步分析系统的性能指标。
然而，由于它只能描述系统在参数变化时特征根轨迹的变化，不能给出系统在不同频率下的精确响应信息。
二、频率响应法频率响应法是一种基于输入输出频率特性分析的方法。
通过对系统的输入信号进行频率扫描，观察输出信号的幅值和相位随频率变化的规律，可以得出系统的频率响应曲线，进而分析系统的稳定性、幅频特性、相频特性和带宽等性能指标。
频率响应法适用于线性时不变系统的分析和设计。
频率响应法的分析步骤如下：1. 对系统输入信号进行频率扫描，获取输出信号的幅值和相位信息；2. 根据频率扫描结果，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线；3. 分析幅频特性曲线和相频特性曲线，得出系统的稳定性、幅值裕度、相位裕度和带宽等性能指标。
频率响应法的优点是可以直接观察系统在不同频率下的响应特性，并定量分析各种性能指标。
但是，频率响应法需要对系统进行频率扫描，对于复杂系统来说，计算复杂度较高。
三、根轨迹法与频率响应法的比较根轨迹法和频率响应法都是常用的控制系统分析和设计方法，各有优劣之处，适用于不同的应用场景。
根轨迹法适用于初步分析系统的性能指标，特别是稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等方面。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
控制系统的根轨迹分析与校正
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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13.1 控制系统的根轨迹法分析
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
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zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
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由图可见，当0＜K*＜14及64＜K*＜195时，闭环系统是稳定的，而当14≤K*≤64 及K*≥195
2019年5月8日
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2
把参数在一定范围内取值才能稳定的系统叫条件稳定系统。如前面所举的例子中 的系统就是条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参
条件稳定系统的工作性能不十分可靠，实际工作中，应尽量通过参数的选择或
2019年5月8日
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5
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
它将不会使系统超调量增大， 故取K ＝1.85可满足要求。
2019年5月8日
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7
三、 开环零点对系统根轨迹的影响
增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，
因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能， 下面以三阶系统为例来说明。
设系统的开环传递函数为
GK (s)
Kk s(T1s 1)(T2s 1)
即
G1 ( s)
s2
10s 2s 10
s2 2s 10
利用根轨迹绘制法则，可以绘出当τ从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。
（1）起点： s1 ＝-1+j3，s2 ＝ -1-j3。 （2）终点： s1 ＝ 0，s2 ＝-∞ （3）实轴上的根轨迹存在区间(－∞，0
（4）分离点与会合点：据公式 N′(s) D(s) － N(s)D′(s) ＝ 0可解得 s 10
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
②渐近线的交点：根据公式计算得
n
m
p j
zi
σ20α19年5j月18日n
i 1
m
[0 (感2谢你的j观2 看3) (2 j2 3
3)] 0
4
19
3
（6）根轨迹与虚轴的交点。
闭环系统特征方程 s(s2 4s 16) K * 0
3 16 0
把s=jω代入上式并分别令实部和虚部为零得
4 2
K*
0
解得 4, K * 64
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
2019年5月8日
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4
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
3 t
s n
可得到系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据系统暂态指标的
在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点 却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。
2019年5月8日
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10
从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指 标也比较满意。
可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并 在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控 制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。 在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引 入比例微分调节，即属于此种情况。
画根轨迹其它问题略。 根轨迹的分离点和会合点为：根据公式
N′(s) D(s)－ N(s)D′(s) ＝ 0
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为
2019年5月8日
， 9感0谢你的根观轨看迹为圆，如下图所示。
2019年5月8日
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3
二、控制系统的暂态性能分析
利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其它开环系统参数改变时，闭环 系统极点位置及其暂态性能的变化情况。
例：典型二阶系统开环传函为
2
Байду номын сангаас
G (s)
n
K
s(s 2 )
n
当ζ变化时，作出系统的根轨迹如图所示。
闭环系统的极点为
s 2 1
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
一、控制系统的稳定性分析
稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧 距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。
根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数变化的情况，因此， 由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化 范围。
2019年5月8日
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11
四、开环极点对系统根轨迹的影响
设系统的开环传递函数
GK
(s)
Kg s(s p1)
其对应的系统根轨迹如图 a）所示。
( p1 0)
若系统增加开环极点，开环传递函数变为
GK
(s)
s(s
Kg p1)(s
p2 )
( p2 p1)
其相应的根轨迹如图 b）所示。
例:设某负反馈系统的开环传递函数为 K (s 2 2s 4)
Gk (s) s(s 4)(s 6)(s 2 1.4s 1) 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K*取值范围。
2019年5月8日
感谢你的观看
1
解：利用根轨迹的绘制法则(过程从略)可绘出K*从0变化到∞ 时系统的根轨迹如
s 1.2 j2.1 1, 2
2019年5月8日
感谢你的观看
6
由根轨迹方程的幅值条件，可求得相应于 A，B 点的 K*值为
K OA CA DA 43.8 44
再计算出系统的开环增益为
K 1.83
根据闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为
s 7.6 3
2019年5月8日
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13
如下图所示，设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点－
pc和－zc(称为偶极子)，这一对实数极、零点对离原点较远的A，B点附近根轨迹形状 及A，B点的K*值影响很小，但却使开环增益增加D倍，D＝ zc /pc ，从而使系统稳态性 能得到提高。
2019年5月8日
根据以上分析计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示。
j
2 1
-2 -1 0
-1
-2
2019年5月8日
感谢你的观看
20
（P103－4－16）
解：系统的闭环传递函数为 (s) 10(1s)
s(s 2) 10(1s)
系统特征方程为 s2 (2 10τ)s 10 0 也，可写成 τ 10s 1
由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。
从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统 增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大 系数和临界频率都有所提高。
2. p2 z p1 ，设z 1.6 ，相应的根轨迹如图c）所示
此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系 统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点 和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭 复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠 阻尼比系统来进行分析。 3. p2 p1 z ，设 z 0.6 ，相应系统根轨迹如图 d）所示。
感谢你的观看
14
小结
• 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹 增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。
根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照表所列出
的规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状。 • 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性
能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼 比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭 环零点，就能计算出 系统的输出响应及其性能指标， 从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。
弦就是系统的最小阻尼比，由（1）可知，此时系统的闭环极点为
。
2019年5月8日
感谢你5的观看j5
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习题与作业
1：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。
（P102－4－13）
GK
(s)
s(s2
K 4s
16)
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
s(s
Kg p1)(s
p2 )
( p2 p1)
如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环 传递函数变为
GK
(s)
s(s
Kg (s p1)(s
z) p2 )
2019年5月8日
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8
下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。
2019年5月8日
感谢你的观看
9
1. z p2 p1 ，设 z 3.6 ，则相应系统的根轨迹如图b)所示。