控制系统的根轨迹法分析

2019年5月8日
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例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
例:设某负反馈系统的开环传递函数为 K (s 2 2s 4)
Gk (s) s(s 4)(s 6)(s 2 1.4s 1) 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K*取值范围。
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解：利用根轨迹的绘制法则(过程从略)可绘出K*从0变化到∞ 时系统的根轨迹如
图所示。
由图可见，当0＜K*＜14及64＜K*＜195时，闭环系统是稳定的，而当14≤K*≤64 及K*≥195
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把参数在一定范围内取值才能稳定的系统叫条件稳定系统。如前面所举的例子中 的系统就是条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参
条件稳定系统的工作性能不十分可靠，实际工作中，应尽量通过参数的选择或
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如下图所示，设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点－
pc和－zc(称为偶极子)，这一对实数极、零点对离原点较远的A，B点附近根轨迹形状 及A，B点的K*值影响很小，但却使开环增益增加D倍，D＝ zc /pc ，从而使系统稳态性 能得到提高。
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（2）当 2 时，阻尼角
2
45，表示 45角的直线
为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
令实部和虚部分别为零，有
σ
(5 k) 2σ 5
10k 。
k
0
0
解得
k 5, 5
因为 s 10 不在根轨迹上，所以 s 10 为分离点与会合点。
（5）复平面上的根轨迹：可以证明根轨迹在复平面上为半圆，方程为
2 2 ( 10 )2
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根据以上几点，以τ为参变量的根轨迹如下图所示。
jω
由图可知，当k=5时直线OB与圆相切，系统的阻尼比
特征根为
5 j5
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，
1 2
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（3）对于分离点-2.93，由幅值条件可知
k1

2.93 | 10
| 5 2.93 2.93 |
|

0.858
对于会合点-17.07，有
由根轨迹图可知，当
k2

17.07 | 5 17.07 | 10 17.07 |
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习题
例:已知单位负反馈系统的开环传递函数为
（1）画出系统的根轨迹； （2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比ζ=
, G(s) k(s 10) s(s 5) 1
，并求此时系2统的特征根；
（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。
解：（1）画根轨迹
3
10
-1 0
σ
-3
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s 1.2 j2.1 1, 2
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由根轨迹方程的幅值条件，可求得相应于 A，B 点的 K*值为
K OA CA DA 43.8 44
再计算出系统的开环增益为
K 1.83
根据闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为
s 7.6 3
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
一、控制系统的稳定性分析
稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧 距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。
根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数变化的情况，因此， 由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化 范围。
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
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根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式

% 12 100%
3 t
s n
可得到系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据系统暂态指标的
即
G1 ( s)

s2
10s 2s 10
s2 2s 10
利用根轨迹绘制法则，可以绘出当τ从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。
（1）起点： s1 ＝-1+j3，s2 ＝ -1-j3。 （2）终点： s1 ＝ 0，s2 ＝-∞ （3）实轴上的根轨迹存在区间(－∞，0
（4）分离点与会合点：据公式 N′(s) D(s) － N(s)D′(s) ＝ 0可解得 s 10
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五、控制系统的稳态性能分析
系统的稳态误差大小与系统的开环增益成反比，开环增益与根轨迹增益之 间又有确定的比例关系，即
m
z i
K K i1 n p j j1
在根轨迹上确定满足暂态性能的闭环极点后，可由根轨迹的幅度条件计算出 K* 值，然后由上式求得开环增益K*。若该 K*值不满足系统提出的稳态性能要求时，可 采用增加开环系统的极、零点的方法来解决。
|

29.14
0 k 0.858 时，闭环系统有一对不等
的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当
0.858 k 29.14
时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。
当 29.14 k 时，闭环系统又有一对不等的负
实数极点，
瞬态响应又呈过阻尼状态。
由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线 OB与负实轴夹角的余
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四、开环极点对系统根轨迹的影响
设系统的开环传递函数
GK
(s)

Kg s(s p1)
其对应的系统根轨迹如图 a）所示。
( p1 0)
若系统增加开环极点，开环传递函数变为
GK
(s)

s(s

Kg p1)(s

p2 )
( p2 p1)
其相应的根轨迹如图 b）所示。

i 1
m
[0 (感2谢你的j观2 看3) (2 j2 3
3)] 0


4
19
3
（6）根轨迹与虚轴的交点。
闭环系统特征方程 s(s2 4s 16) K * 0
3 16 0
把s=jω代入上式并分别令实部和虚部为零得

4 2

K*

0
解得 4, K * 64
画根轨迹其它问题略。 根轨迹的分离点和会合点为：根据公式
N′(s) D(s)－ N(s)D′(s) ＝ 0
可得
s2 20s 50 0
解得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为
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， 9感0谢你的根观轨看迹为圆，如下图所示。
在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点 却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。
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从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指 标也比较满意。
可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并 在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控 制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。 在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引 入比例微分调节，即属于此种情况。
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα

180 (1 2μ) 2

60 ,60 ,180
②渐近线的交点：根据公式计算得
n
m
p j
zi
σ20α19年5j月18日n

s(s
Kg p1)(s
p2 )
( p2 p1)
如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环 传递函数变为
GK
(s)

s(s
Kg (s p1)(s
z) p2 )
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下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。
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1. z p2 p1 ，设 z 3.6 ，则相应系统的根轨迹如图b)所示。
弦就是系统的最小阻尼比，由（1）可知，此时系统的闭环极点为
。
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感谢你5的观看j5
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习题与作业
1：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。
（P102－4－13）
GK
(s)

s(s2
K 4s
16)
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
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小结
• 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹 增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。
根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照表所列出
的规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状。 • 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性
能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼 比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭 环零点，就能计算出 系统的输出响应及其性能指标， 从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。
根据以上分析计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示。
j
2 1
-2 -1 0

-1
-2
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（P103－4－16）
解：系统的闭环传递函数为 (s) 10(1s)
s(s 2) 10(1s)
系统特征方程为 s2 (2 10τ)s 10 0 也，可写成 τ 10s 1
由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。
从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统 增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大 系数和临界频率都有所提高。
2. p2 z p1 ，设z 1.6 ，相应的根轨迹如图c）所示
此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系 统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点 和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭 复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠 阻尼比系统来进行分析。 3. p2 p1 z ，设 z 0.6 ，相应系统根轨迹如图 d）所示。
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二、控制系统的暂态性能分析
利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其它开环系统参数改变时，闭环 系统极点位置及其暂态性能的变化情况。
例：典型二阶系统开环传函为
2
G (s)
n
K
s(s 2 )
n
当ζ变化时，作出系统的根轨迹如图所示。
闭环系统的极点为
s 2 1
要求，确定系统特征根的位置。
方法：
（1）根据超调量的要求先求出阻尼角β，再从原点以阻尼角β
（2）根据调节时间的要求，计算出σ＝ζωn 在s平面上画出s＝－σ的直线。由 此确定满足系统暂态性能指标的区域。
若在该区域内没有合适的根轨迹，则应在系统中加入极点、零点合适的校正 装置以改变根轨迹的形状，使根轨迹进入该区域。然后确定满足要求的闭环极点
它将不会使系统超调量增大， 故取K ＝1.85可满足要求。
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三、 开环零点对系统根轨迹的影响
增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，
因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能， 下面以三阶系统为例来说明。
设系统的开环传递函数为
GK (s)

Kk s(T1s 1)(T2s 1)