控制系统设计的根轨迹法

基于根轨迹法的超前校正
说明：
较大的Kv值。在多数情况下，比较大的Kv代表比较好的 系统性能）。 jω ω × 期望的闭环主导极点
在选择极点和零点的位置方面存在多种可能性。下 面介绍求α最大可能值的步骤（比较大的α 值将产生比
φ
×
2
0 图9 角平分线法 σ
滞后校正
滞后校正装置的特性 基于根轨迹法的滞后校正
基于根轨迹法的超前校正
校正步骤：
1 s+ Ts + 1 T , 0 <α <1 Gc ( s ) = K cα = Kc 1 α Ts + 1 s+ αT
α和T由辐角缺额确定， Kc值由开环增益要求确定。
如果没有指定静态误差系数，可以确定超前校正装置的极 点和零点位置，使超前校正装置产生必要的辐角。如果对 系统没有要求，可以试探地将α取得尽可能大。大的α值通 常导致比较大的Kv值，这正是我们需要的（如果指定了具 体的静态误差系数，则采用频率响应法比较简单）。
基于根轨迹法的滞后校正
校正步骤：
绘制校正系统的根轨迹图。在根轨迹上确定要求 的主导闭环极点（如果滞后校正产生的辐角很小， 只有几度，原根轨迹和新根轨迹将几乎相同。换 句话说，它们之间将存在微小的差别）。然后， 根据瞬态响应指标，在新的根轨迹上确定期望的 主导闭环极点。 ) 根据幅值条件，调整校正装置的增益 K c，使主导 闭环极点落在期望的位置上。
零点位于s=-1/T，极点位于s=-1/(αT)。因为0< α <1，所以在复平面上，零点总是位于极点的右方。
基于根轨迹法的超前校正
当性能指标以时域的形式给出时，例如给出期望的主 导闭环极点的阻尼比和无阻尼自然频率、最大超调量、 上升时间和调节时间，这是采用根轨迹法进行设计是 很有效的。 若原系统或者对于所有的增益值均不稳定，或者虽然 属于稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。在这种情 况下，有必要在虚轴和原点附近，对根轨迹进行修改， 以便使闭环主导极点位于复平面内期望的位置上。该 问题可以通过在前向传递函数中串联一个适当的超前 校正装置来解决。
2 增加开环零点的影响
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向 左方移动，从而增加系统的稳定性，减小系统 响应的调节时间。
超前校正
超前校正装置的特性 基于根轨迹法的超前校正
超前校正装置的特性
超前校正装置的传递函数
1 s+ Ts + 1 T , 0 <α <1 = Kc K cα 1 α Ts + 1 s+ αT
控制系统设计的根轨迹法
魏乐 weile_teacher@
主要内容
初步设计研究 超前校正 滞后校正 滞后-超前校正
初步设计研究
增加极点的影响 增加零点的影响
1 增加开环极点的影响
在开环传递函数中增加极点，可以使根 轨迹向右方移动，从而降低系统的相对 稳定性，增加系统响应的调节时间。
基于根轨迹法的滞后校正
校正步骤：
绘制未校正系统的根轨迹图。根据瞬态响应指标， 确定主导闭环极点在根轨迹上的位置。 计算指定的具体静态误差系数。 确定为了满足性能指标而需要增加的静态误差系 数。 确定滞后校正装置的极点和零点，该滞后校正装 置能够使特定的静态误差系数产生必要的增量， 同时又不会使原来的根轨迹产生明显的变化（性 能指标要求的增益值与未校正系统中求出的增益 值之比，就是零点到原点的距离与极点到原点的 距离之间所要求的比值）。
滞后校正装置的特性
滞后校正装置的传递函数
1 ) ) s+T Ts + 1 Gc ( s ) = K c β = Kc , β >1 1 β Ts + 1 s+ βT
基于根轨迹法的滞后校正
滞后校正装置的主要作用：在闭环主导极点附近，根 轨迹没有明显变化，但是开环增益应根据需要而有显 著增大。 为了避免根轨迹的显著变化，滞后网络产生的辐角应 当限制在较小的范围内，比如说5°。为了保证这一 点，我们将滞后网络的极点和零点配置得相距很近， 并且使他们靠近s平面上的原点。这样，被校正系统 的闭环极点将稍稍偏离原来的位置。因此，瞬态响应 特性将变化很小。
由幅值条件确定校正系统的开环增益。
基于根轨迹法的超前校正
说明：
一旦设计出校正装置，就要着手检查是不是所有的性 能指标都能得到满足。如果已校正的系统不能满足性 能指标，则需要通过调整校正装置的极点和零点，重 复上述设计过程，直到所有的性能指标得到满足为止。 如果需要大的静态误差系数，则应该串联一个滞后网 络，或者将超前校正装置改变成滞后-超前校正装置。 如果被选择的主导闭环极点不是真正的主导极点，则 需要改变此主导闭环极点的位置（主导极点以外的一 些闭环极点改变了由主导闭环极点单独作用而获得的 响应。变化的大小取决于闭环极点的位置）。根据性能指标，确定闭环主导极点的期望位置。 绘制根轨迹图，判断是否能通过调节增益使其产生期 望的闭环主导极点。如果不能，计算出辐角缺额Ф 。 对于闭环主导极点，如果新的根轨迹通过其期望的位 置，则该角度Ф 必须由超前校正装置产生。
−
Gc ( s )
G(s)
图5 控制系统