自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析资料
合集下载
夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章 线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。
证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。
MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。
可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。
图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。
解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。
①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。
图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。
图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。
图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理-第四章 线性系统的根轨迹法(4)
暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰
减率
1 n
d n 1 2
1 2
并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主
导极点的实部
1
。
n
（4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数
极点的实部绝对值 1 n 。
（5）实数零、极点影响。闭环极点的存在会增大系统的阻尼比， 使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼， 使响应速度加快，超调量增加。
4-4 系统性能的分析
系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系：
（1）稳定性。系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。
（2）运行形式。如果闭环系统无零点，闭环极点均为实数 极点，则系统的暂态响应为单调的；如果闭环极点均为复 数极点，则系统的暂态响应为振荡的。
（3）超调量。如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的
4-7 线性系统根轨迹分析的MATLAB方法
1、绘制零极点分布图 ：[ p,z]=pzmap(sys);
2、绘制根轨迹图 绘制根轨迹一般步骤为： (1)先将特征方程写成 1 A P(s) 0 形式，得到等效的开 环传递函数 G A P(s) ； Q(s)
Q(s)
(2)调用rlocus命令绘制根轨迹。
Hale Waihona Puke （6）偶极子及其影响。如果系统中存在非常接近的零点和极 点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对 闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时， 其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点 的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的 影响可以忽略。 （7）主导极点及高阶系统化简。在s平面上，离虚轴靠 近而附近又没有其它闭环零点的一些闭环极点 ，对系统 影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大3～6 倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略不计。对 于高阶系统，略去不十分靠近原点的偶极子，保留一个 或几个最靠近虚轴又不十分靠近闭环零点的主导极点， 将高阶系统简化为只有一、两个闭环零点和两、三个闭 环极点的二阶或三阶系统。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
根轨迹法(自动控制原理)
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
自动控制原理简明教程4
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点 幅值条件
K 0
'
K＝
'
s p sz
i 1 i 1 m
n
i
i
s值必须趋近于
某个开环极点 某个开环零点
根轨迹起始于开环极点
根轨迹终止于开环零点
K'
s值必须趋近于
自动控制理论
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷）零点。
K 1 / 4 复数极点，欠阻尼系统，阶跃
自动控制理论
如：二阶系统的根轨迹 C ( s) 2K ( s) 2 R( s) s 2s 2 K
D( s ) s 2 2 s 2 K 0
,
K s(0.5s 1)
K 2K
根轨迹增益 K 从零变到无穷，可以用解析方法求出闭 j K 环极点的全部数值。
4.实轴上的根轨迹 如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个 数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 开环零点：z1 开环极点：p1、p2、p3、p4、p5 在实轴区段[p2，p3]上取任一点s1
G(s1 )H(s1 ) (s z i ) (s p i )
i 1 i 1 1 5
1
幅值条件： K'
sz sp
i 1 i 1 n
m
(s p )
i i 1
i 1 n
求出相应的根， 即根轨迹。
i
1
m个零点，n个极点（nm） 相角条件：（k=0,1,2, …）
i
1）幅值条件不但与开环零、极 点有关，还与开环根轨迹增益有 1）幅角条件只与开环零、极点有关 2）充要条件：根在轨迹上相位条件 关； 2）必要条件：根在轨迹上则幅 成立，相位条件成立根在轨迹上 值条件成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6பைடு நூலகம் z1=-4，
（2）将s1坐标带入相角条件：
(s1 4) s1 (s1 2) (s1 6.6)
(2.5 j2.5) (1.5 j2.5) (0.5 j2.5) (5.1 j2.5)
45 120.96 78.69 26.11 180.76
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
R(S)
C(S)
C(S) R(S)
S2
K S
K
K S(S 1)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0 的根为
S1
1 2
1 2
1 4K
11 S2 2 2 1 4K
∞
如果系统的开环增益K（根轨迹 K
增益K1）从0向变化时，系统闭环 K=0× 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为
1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角
应分别相等的原则，可得绘制系统
图4-3 系统方框图
根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G(S)H (S) 1
q 0,1,2, … （＊＊）
j 1
i 1
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根
轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹
增益K1值。 【例4-1】单位反馈系统的开环
传递函数为:
G(s) K1(s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
第四章 线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ， 系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统 的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。 因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的 一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统 闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
i 1 n
( js 1)
j 1
m
K1 (s zi )
G(s)H(s)
i 1 n
(s pj )
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
m
K1
s zj
j 1
n
1
s pj
（＊） K1
j 1 m
s pi
s zi
i1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)180
i 1
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:
１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统
对所有的Ｋ值都是稳定的。
２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所
以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
jω ∞
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实
根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均
为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过
∞
程。
图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
G(S)H(S) 180(2q 1), q 0， 1，2，… 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根
轨迹上的充要条件。
一、绘制
根轨迹的
•条件 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。
（1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
m
K(Tis 1)
G(s)H (s)
jω K=0.×2K5=0
σ
曲线，如图所示。
K
这样获得的曲线称为K1从0向变
∞
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化 参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描 绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变 参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根 轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为 参量根轨迹。
１．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致 地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹 上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区 段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1
(s1 2) (s1 6.6) (s1 4)
1.5 j2.5 0.5 j2.5 5.1 j2.5
2.5 j2.5
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ：
图4-4 例4-1图
▪ 利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和
欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系