自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析资料
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•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
jω K=0.×2K5=0
σ
曲线，如图所示。
K
这样获得的曲线称为K1从0向变
∞
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化 参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描 绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变 参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根 轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为 参量根轨迹。
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
R(S)
C(S)
C(S) R(S)
S2
K S
K
K S(S 1)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0 的根为
源自文库S1
1 2
1 2
1 4K
11 S2 2 2 1 4K
∞
如果系统的开环增益K（根轨迹 K
增益K1）从0向变化时，系统闭环 K=0× 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
G(S)H(S) 180(2q 1), q 0， 1，2，… 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根
轨迹上的充要条件。
一、绘制
根轨迹的
•条件 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。
（1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
m
K(Tis 1)
G(s)H (s)
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1
(s1 2) (s1 6.6) (s1 4)
1.5 j2.5 0.5 j2.5 5.1 j2.5
2.5 j2.5
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ：
图4-4 例4-1图
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:
１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统
对所有的Ｋ值都是稳定的。
２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所
以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
jω ∞
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实
根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
１．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致 地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹 上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区 段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。
第四章 线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ， 系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统 的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。 因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的 一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统 闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
▪ 利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和
欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系
i 1 n
( js 1)
j 1
m
K1 (s zi )
G(s)H(s)
i 1 n
(s pj )
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
m
K1
s zj
j 1
n
1
s pj
（＊） K1
j 1 m
s pi
s zi
i1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)180
i 1
统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为
1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角
应分别相等的原则，可得绘制系统
图4-3 系统方框图
根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G(S)H (S) 1
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均
为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过
∞
程。
图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
q 0,1,2, … （＊＊）
j 1
i 1
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根
轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹
增益K1值。 【例4-1】单位反馈系统的开环
传递函数为:
G(s) K1(s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6, z1=-4，
（2）将s1坐标带入相角条件：
(s1 4) s1 (s1 2) (s1 6.6)
(2.5 j2.5) (1.5 j2.5) (0.5 j2.5) (5.1 j2.5)
45 120.96 78.69 26.11 180.76
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
jω K=0.×2K5=0
σ
曲线，如图所示。
K
这样获得的曲线称为K1从0向变
∞
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化 参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描 绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变 参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根 轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为 参量根轨迹。
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
R(S)
C(S)
C(S) R(S)
S2
K S
K
K S(S 1)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0 的根为
源自文库S1
1 2
1 2
1 4K
11 S2 2 2 1 4K
∞
如果系统的开环增益K（根轨迹 K
增益K1）从0向变化时，系统闭环 K=0× 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
G(S)H(S) 180(2q 1), q 0， 1，2，… 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根
轨迹上的充要条件。
一、绘制
根轨迹的
•条件 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。
（1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
m
K(Tis 1)
G(s)H (s)
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1
(s1 2) (s1 6.6) (s1 4)
1.5 j2.5 0.5 j2.5 5.1 j2.5
2.5 j2.5
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ：
图4-4 例4-1图
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:
１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统
对所有的Ｋ值都是稳定的。
２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所
以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
jω ∞
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实
根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
１．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致 地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹 上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区 段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。
第四章 线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ， 系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统 的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。 因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的 一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统 闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
▪ 利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和
欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系
i 1 n
( js 1)
j 1
m
K1 (s zi )
G(s)H(s)
i 1 n
(s pj )
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
m
K1
s zj
j 1
n
1
s pj
（＊） K1
j 1 m
s pi
s zi
i1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)180
i 1
统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为
1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角
应分别相等的原则，可得绘制系统
图4-3 系统方框图
根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G(S)H (S) 1
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均
为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过
∞
程。
图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
q 0,1,2, … （＊＊）
j 1
i 1
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根
轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹
增益K1值。 【例4-1】单位反馈系统的开环
传递函数为:
G(s) K1(s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6, z1=-4，
（2）将s1坐标带入相角条件：
(s1 4) s1 (s1 2) (s1 6.6)
(2.5 j2.5) (1.5 j2.5) (0.5 j2.5) (5.1 j2.5)
45 120.96 78.69 26.11 180.76