自动控制原理-用根轨迹法分析系统性能
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
控制系统的根轨迹分析自动控制原理理论篇第55节
s2
n2 2 n s
n2
欠阻尼时共轭特征根为 s1,2 n j
(s)
1 2
s(
n
s
n2 2
)
j
1 2n
闭环极点的张角 为：
cos
n
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
1 2
s(
n
s
n2 2
)
j
1 2n
闭环极点的张角 为：
cos
n
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。而根据二阶系统性
能，在等阻尼线上，系统的超调量、衰减率也是相等的。
根轨迹图分析
-8
Root Locus
-10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2-10Fra bibliotekReal Axis
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
Root Locus 5
4
k
G(s)
3
s(s 1)
2
G(s) k(s2 12s 25)
1
s(s 1)
0
z 6 4 j,6 4 j
Imaginary Axis
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-9
-8
-7
-6
-5
[工学]自动控制原理第11讲根轨迹_OK
![[工学]自动控制原理第11讲根轨迹_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/3549252384254b35effd343c.png)
A(s)
A(s)
闭环特征方程式： f (s) A(s) KrB(s) 0
n
Kr
A(s) B(s)
i 1 m
(s pi ) (s z j )
dK r 0 ds
j 1
解出 S 值，取 Kr 0 时的重根点。
分离角：
＝
d
2k l
1
l条 根轨迹进 12
入并立即分离
12
规则7: 根轨迹与虚轴的交点：由s = j 代入闭环特
参数的根轨迹，实际上，也可以绘制除 Kr 以外
的任何参变量的根轨迹。
m
1＋G(s)H (s)＝1
Kr B(s) A(s)
Kr s zj
1＋
j 1 n
s pi
＝0
i 1
在绘制广义根轨迹时可将闭环特征方程式进行等 效变换，写成类似标准形式。
将特征方程式变换：1＋G(s)H (s)＝1
KrB(s) A(s)
G(s)H(s)
j 1 n
1
s pi
i 1
or
1
Kr
m
s zj
j 1
n
s pi
i 1
Kr 0, Sr pi ; Kr , Sr z j
规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数(系统阶数) 7n
7
规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。
规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有奇数个零极点
Kr Kr 2 Kr 1 Kr 0
-2 2
j
-1j
1
o
-1
验证： G(sr )H(sr ) 1 1 2 1800
6
Sr
6
4.3 绘制根轨迹的规则
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
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G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
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闭环极点的位置和对应的Kr值,使得系
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
G(s)H(s)=S(S+1K)(rS+2)
试S可确3求=定-2得K.3另r2=5两1时个的K极r闭=点1环.00极1点。
jω
解即根：S据系1K,K2长r=统=r=-除|0s1的.3法3|根|3s有8S3轨+±31=迹j|-0|2s图..533+6如225图| : s3 p3
s1 p2
p1
取闭：环S传3+递S33函S=-22数+.23为S2+: 1
第四章 根轨迹分析法
第四节 用根轨迹法分析系统性能
根轨迹反映了闭环特征根随 Kr变化的 规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观 方便的特点。
一、闭环极点位置与系统性能的关系 二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点 三、已知性能指标确定闭环极点和Kr 四、增加开环零极点对系统性能的影响
第四节 用根轨迹法分析系统性能
s2
s1
β z1 p2
-ξωn -2 -1
jω
p1 0
第四节 用根轨迹法分析系统性能
如果零点选择不合适，效果就完全
不一样。设
G(s)H(s)=
Kr (S+0.5) S(S+1)
系统的根轨迹图如图:
不管怎么选择Kr值， 闭环极点总为两个实数极
点。主导极点离虚轴的距
jω
p2 z1 p1 -1 -0.5 0
-2 -1
0
Φ(Ks=)r==SS223(.+=S30-2+2S.x62.+317.323.532.S325+2x)K[500(r.S.=431232+1.1=00=02.60.39785S+0.431)s2
第四节 用根轨迹法分析系统性能
三、已知性能指标确定闭环 极点和Kr
采用根轨迹法分析系统性能，有时 也需要根据对系统的性能指标要求确定
-4
jω
9.2
s1 -1 0
s1为主导极点
s3
-9.2
第四节 用根轨迹法分析系统性能
二、已知根轨迹增益Kr确定 闭环极点
根据根轨迹曲线分析系统性能，有 时需要确定增益Kr取某值时的闭环极点，
进而确定闭环传递函数.已知Kr一般采
用试探的方法确定闭环极点.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的开环传递函数:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
Φ(s)=
1 (S+1)(0.01S2+0.08S+1)
试闭估环算传系递统函的数性简能化指为标。 s2
解 ：闭环一有阶三系个统极点
S1=Φ-1(s)S=2,S31=+-14 + j9.2
四s倍则2.，3离因t虚s=而轴3可T的=以3距(忽s离)略是不s计1的。
离在0~0.5之间，系统的
调节时间不可能缩短。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
（2）设三阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=
Kr SБайду номын сангаас(S+5)
系如统果的增根加轨零迹点图后如: 图: 增G加G(s零()sH点)H(s后()s=:)K=SrK2(S(SrS2+((+SS15++0)25) )) 系系统统的的根根轨轨迹迹图图: :
s1
ωn β
-ξωn
ωn
s2
jω ωd
0
-ωd
第四节 用根轨迹法分析系统性能
复数极点的位置与性能的关系： （（14））闭闭环环复极数点极与点负的实实轴部的ζ夹ω角n反β 映反了映
系了统系的统调的整超时调间量；； （（25））出闭反闭响环映环应极了极的点系点振的统在荡虚的S 左频部稳、率ω定d右；表性平征。面了的系分统布输 助 阶（系于3）当统主征闭系来导了环统处极系极具理点统点有。的的与多概无坐个念阻标闭，尼原环将自点极系然的点统振距时简荡离，化频ω成可n率表借低；
一、闭环极点位置与系统性能 的关系
s函函inC—系响数数=e阶闭待(Ss统应的A由j的s系)环t定负=衰0的越极上极统传+系b1实减s0输快点式点ss单递+s数数A越-nbm出.s可决+位1:极m+c1快a=响b见定(阶1+点Ats1系)K应s性。=…jn跃j离ng-m==统A1i1：能m+响-(=K10虚+s1的·++(jr·主-s应n∑=·j·轴si=smn1调·-·=1(Aj·z·1要A)-的s(··越sisn·节)+-j·n由se一-xa+远z=jS时)nbi系s1j般)t-,1m对间As(s统-s表+0z函应就-ias+闭达—数nj的越)闭∑j环式n=S的1分短R环=s传为AS零(-量,传ssj递j )j点递
系在=统-根3的+轨闭0.迹3环3图x传2上递=-作2函.射3数4线为:
s3
p3 -2
ΦK(与gs==)2=|根s.(33轨S|4|+sx迹β231+=..相313±4|4交|)s6x[(300点S1+º.3.2+为04|06=s.63113和.0)26s+620.582]
s1 p2
-1 s2
p1 0
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
G(s)H(s)=S(S+1K)(rS+2)
试S可确3求=定-2得K.3另r2=5两1时个的K极r闭=点1环.00极1点。
jω
解即根：S据系1K,K2长r=统=r=-除|0s1的.3法3|根|3s有8S3轨+±31=迹j|-0|2s图..533+6如225图| : s3 p3
s1 p2
p1
取闭：环S传3+递S33函S=-22数+.23为S2+: 1
第四章 根轨迹分析法
第四节 用根轨迹法分析系统性能
根轨迹反映了闭环特征根随 Kr变化的 规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观 方便的特点。
一、闭环极点位置与系统性能的关系 二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点 三、已知性能指标确定闭环极点和Kr 四、增加开环零极点对系统性能的影响
第四节 用根轨迹法分析系统性能
s2
s1
β z1 p2
-ξωn -2 -1
jω
p1 0
第四节 用根轨迹法分析系统性能
如果零点选择不合适，效果就完全
不一样。设
G(s)H(s)=
Kr (S+0.5) S(S+1)
系统的根轨迹图如图:
不管怎么选择Kr值， 闭环极点总为两个实数极
点。主导极点离虚轴的距
jω
p2 z1 p1 -1 -0.5 0
-2 -1
0
Φ(Ks=)r==SS223(.+=S30-2+2S.x62.+317.323.532.S325+2x)K[500(r.S.=431232+1.1=00=02.60.39785S+0.431)s2
第四节 用根轨迹法分析系统性能
三、已知性能指标确定闭环 极点和Kr
采用根轨迹法分析系统性能，有时 也需要根据对系统的性能指标要求确定
-4
jω
9.2
s1 -1 0
s1为主导极点
s3
-9.2
第四节 用根轨迹法分析系统性能
二、已知根轨迹增益Kr确定 闭环极点
根据根轨迹曲线分析系统性能，有 时需要确定增益Kr取某值时的闭环极点，
进而确定闭环传递函数.已知Kr一般采
用试探的方法确定闭环极点.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的开环传递函数:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
Φ(s)=
1 (S+1)(0.01S2+0.08S+1)
试闭估环算传系递统函的数性简能化指为标。 s2
解 ：闭环一有阶三系个统极点
S1=Φ-1(s)S=2,S31=+-14 + j9.2
四s倍则2.，3离因t虚s=而轴3可T的=以3距(忽s离)略是不s计1的。
离在0~0.5之间，系统的
调节时间不可能缩短。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
（2）设三阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=
Kr SБайду номын сангаас(S+5)
系如统果的增根加轨零迹点图后如: 图: 增G加G(s零()sH点)H(s后()s=:)K=SrK2(S(SrS2+((+SS15++0)25) )) 系系统统的的根根轨轨迹迹图图: :
s1
ωn β
-ξωn
ωn
s2
jω ωd
0
-ωd
第四节 用根轨迹法分析系统性能
复数极点的位置与性能的关系： （（14））闭闭环环复极数点极与点负的实实轴部的ζ夹ω角n反β 映反了映
系了统系的统调的整超时调间量；； （（25））出闭反闭响环映环应极了极的点系点振的统在荡虚的S 左频部稳、率ω定d右；表性平征。面了的系分统布输 助 阶（系于3）当统主征闭系来导了环统处极系极具理点统点有。的的与多概无坐个念阻标闭，尼原环将自点极系然的点统振距时简荡离，化频ω成可n率表借低；
一、闭环极点位置与系统性能 的关系
s函函inC—系响数数=e阶闭待(Ss统应的A由j的s系)环t定负=衰0的越极上极统传+系b1实减s0输快点式点ss单递+s数数A越-nbm出.s可决+位1:极m+c1快a=响b见定(阶1+点Ats1系)K应s性。=…jn跃j离ng-m==统A1i1：能m+响-(=K10虚+s1的·++(jr·主-s应n∑=·j·轴si=smn1调·-·=1(Aj·z·1要A)-的s(··越sisn·节)+-j·n由se一-xa+远z=jS时)nbi系s1j般)t-,1m对间As(s统-s表+0z函应就-ias+闭达—数nj的越)闭∑j环式n=S的1分短R环=s传为AS零(-量,传ssj递j )j点递
系在=统-根3的+轨闭0.迹3环3图x传2上递=-作2函.射3数4线为:
s3
p3 -2
ΦK(与gs==)2=|根s.(33轨S|4|+sx迹β231+=..相313±4|4交|)s6x[(300点S1+º.3.2+为04|06=s.63113和.0)26s+620.582]
s1 p2
-1 s2
p1 0