控制系统的根轨迹分析法讲解
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
第四章 控制系统根轨迹分析法
i j 1 j
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析控制系统的根轨迹分析是一种常用的工程方法，用于分析系统的稳定性和性能。
在控制系统设计中，了解根轨迹的特性对于确保系统的稳定性和满足性能要求至关重要。
本文将介绍根轨迹分析的基本原理，以及如何应用根轨迹分析来评估和改进控制系统。
1. 根轨迹分析的基本原理根轨迹分析是利用系统的传递函数来描述系统在复平面上的特征。
系统的传递函数可以通过拉普拉斯变换和频域分析获得。
根轨迹是描述系统传递函数极点随控制参数变化所形成的轨迹，它反映了系统的稳定性和性能。
2. 根轨迹的特性根轨迹具有以下几个重要特性：- 根轨迹始于系统的零点，终止于系统的极点。
- 根轨迹通过传递函数的极点数目与零点数目的差值确定的角度。
当角度为奇数时，根轨迹会靠近负实轴；当角度为偶数时，根轨迹会靠近负无穷大。
- 根轨迹与实轴之间的交点表示系统的振荡频率。
3. 根轨迹分析的步骤下面是进行根轨迹分析的基本步骤：1) 将系统的传递函数表示为标准型。
2) 根据系统传递函数的分母和分子系数，确定系统的极点和零点。
3) 绘制根轨迹图，根据极点和零点的位置画出根轨迹的轨迹。
4) 分析根轨迹图，判断系统的稳定性和性能。
4. 根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：- 稳定性分析：通过观察根轨迹图，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹位于左半平面，即实部小于零，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
- 性能评估：根轨迹的形状和位置可以提供有关系统响应速度、振荡频率和阻尼比等性能指标的信息。
例如，当根轨迹与虚轴相交时，系统存在振荡。
- 控制器设计：通过根轨迹分析，可以确定合适的控制器增益，以实现所需的系统性能要求。
- 稳定裕度分析：通过改变根轨迹的形状和位置，可以评估系统对参数扰动的敏感性，并提供稳定性裕度的指导。
根轨迹分析作为控制系统设计和分析的重要工具，为工程师提供了直观、可视化的方式来理解和改进系统的性能。
通过合理运用根轨迹分析，可以帮助我们设计出更稳定、高性能的控制系统。
第4章 控制系统的根轨迹分析方法
i 1
k 0, 1, 2, …
(4-6)
其中，（4-5）式称为幅值条件，（4-6）式称为相角条件。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 4.2 根轨迹绘制的基本规则 根轨迹起点是指根轨迹增益 K g 0 的根轨迹点，当 K g 0 时，（4-5）式的等号右边为∞，左边仅当 si pi 时为∞，因 此根轨迹起始于开环极点。而终点则是指 K g 的根轨迹点， 当 K g 时，（4-5）式的等号右边为0，左边仅当 s j z j时 为0，因此根轨迹终止于开环零点。 2. 根轨迹的分支数 当 K g 变化时，由起点移至终点的一条根轨迹称为一个 分支。根轨迹的分支数等于系统开环传递函数的极点数n （n≥m时），也等于系统开环传递函数的阶次。
5 3
3
图4-4 【例4-1】根轨迹的渐近线
6.根轨迹上的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点， a 叫 做根轨迹的分离点或会合点，分离 点用 d 表示。大部分的分离点与会 合点出现在实轴上，并将根轨迹离 开实轴进入 s 平面的点称为分离点； 根轨迹离开 s 平面进入实轴的点称 为会合点。
3 ）系统为Ⅰ型系统，故根轨迹上的 K 值是静态速度误 差系数。这样，如果给定稳态误差，则由根轨迹可确定闭环 极点容许的范围。 以上分析表明，根轨迹和系统的性能之间有着密切的 关系。然而，对于高阶系统，用解析法逐点绘制系统的根轨 迹图是不现实的。根轨迹法是根据反馈系统开环传递函数和 闭环传递函数之间的关系，由开环传递函数直接绘制闭环根 轨迹的总体规律的图解分析法。
1948年，伊万斯首次提出了根轨迹分析法——直接由 开环传递函数求取闭环特征根的图解法。根轨迹法简单、实 用，已成为经典控制理论的基本分析方法之一，在工程实践 中也获得了广泛的应用。
k 0, 1, 2, …
(4-6)
其中，（4-5）式称为幅值条件，（4-6）式称为相角条件。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 4.2 根轨迹绘制的基本规则 根轨迹起点是指根轨迹增益 K g 0 的根轨迹点，当 K g 0 时，（4-5）式的等号右边为∞，左边仅当 si pi 时为∞，因 此根轨迹起始于开环极点。而终点则是指 K g 的根轨迹点， 当 K g 时，（4-5）式的等号右边为0，左边仅当 s j z j时 为0，因此根轨迹终止于开环零点。 2. 根轨迹的分支数 当 K g 变化时，由起点移至终点的一条根轨迹称为一个 分支。根轨迹的分支数等于系统开环传递函数的极点数n （n≥m时），也等于系统开环传递函数的阶次。
5 3
3
图4-4 【例4-1】根轨迹的渐近线
6.根轨迹上的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点， a 叫 做根轨迹的分离点或会合点，分离 点用 d 表示。大部分的分离点与会 合点出现在实轴上，并将根轨迹离 开实轴进入 s 平面的点称为分离点； 根轨迹离开 s 平面进入实轴的点称 为会合点。
3 ）系统为Ⅰ型系统，故根轨迹上的 K 值是静态速度误 差系数。这样，如果给定稳态误差，则由根轨迹可确定闭环 极点容许的范围。 以上分析表明，根轨迹和系统的性能之间有着密切的 关系。然而，对于高阶系统，用解析法逐点绘制系统的根轨 迹图是不现实的。根轨迹法是根据反馈系统开环传递函数和 闭环传递函数之间的关系，由开环传递函数直接绘制闭环根 轨迹的总体规律的图解分析法。
1948年，伊万斯首次提出了根轨迹分析法——直接由 开环传递函数求取闭环特征根的图解法。根轨迹法简单、实 用，已成为经典控制理论的基本分析方法之一，在工程实践 中也获得了广泛的应用。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
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计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：
kg
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.08 m
解得：kg 44
k(is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，k称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然 k与kg 的关系为：k kg
zi ，式中 p j不计0极点。 pj
算。
下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
% ectg1 100%, 当 % 18%时解得： 60
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益kg ，进而求得开环放大系数k。
kgd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949
kgd 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。
Tuesday, September 22, 2020
4
➢ 入射角：2 103 ➢ 与虚轴的交点（略）。这时的增益值：kgp 14,64,195
由图可知：当 0 kg 14 和 64 kg 195 时，系统
第五节 控制系统的根轨迹分析法
Tuesday, September 22, 2020
1
利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零、极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。
闭环特征方程为：s2 s 2 kg 0 ，当s=0时，kgp 2 ，所以，系 统稳定的条件是：kg 2
Tuesday, September 22, 确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
是稳定的（为什？）；
kg 195
kg 64 kg 14
当kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。
kg 14 kg 64
kg 195
左图是用Matlab工具绘 制的。
Tuesday, September 22, 2020
5
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
➢ 渐进线：与实轴的交点：
pi zi 4 6 1.4 2 3.13
nm
3
倾角： (2k 1) ,
nm
3
➢ 实轴上根轨迹区间：(,6),[4,0]
6 4
Tuesday, September 22, 2020
0
3
➢
分离角（点）：
d
2
N (s) s2 2s 4, N ' (s) 2s 2
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
Tuesday, September 22, 2020
9
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg 4)( s
6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18% ，试确定 开环放大系数。
D(s) s5 11.4s4 39s3 43.6s2 24s
D' (s) 5s4 45.6s3 117 s2 87.2s 24
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
由： k gd
D' (s) N '(s)
|s d
可以求得分离点。
近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s0
-0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
Tuesday, September 22, 2020
2
一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg (s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0，-4，-6， 0.7 j0.714 ，零点：1 j1.732
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
n2 s(s 2
)
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
n
cos ( 1 2n )2 ( n )2 , cos1 n
所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。
Tuesday, September 22, 2020
8
我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
A j
3 2
1
6
4
0
Tuesday, September 22, 2020
设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
11
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.08共轭主导极点： s1,2 1.2 j2.。08
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 kg 240 时， 闭环系统不稳定。
A B
Tuesday, September 22, 2020
10
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计
下面的系统就是条件稳定系统的例子：
❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。
Tuesday, September 22, 2020
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[例]非最小相位系统：Gk 稳定时的增益值。
(s)
(s
kg 1)( s
2)
，试确定使系统
[解]：根轨迹如右：
有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 kgp 。