控制系统的根轨迹分析知识讲解

实验报告
课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________
实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得
实验十一 控制系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。

2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。

二、实验原理
1、根轨迹分析方法
所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。

在无零极点对消时，闭环系统特
征方程的根就是闭环传递函数的极点。

根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。

利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性
当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。

如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K
值就是临界稳定开环增益。

(2) 稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。

(3) 动态性能
当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。

同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。

2、根轨迹分析函数
在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。

(1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。

专业：_____________________
姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________
(2) rlocus：求系统根轨迹。

例如rlocus(a,b,c,d)、rlocus(num,den)或rlocus(a,b,c,d,k)、rlocus(num,den,k)，为根据开环系统的状态空间模型或传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图，其中开环增益的值从零到无穷大变化或指定其变化范围。

(3) rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。

例如[k,p]=rlocfind(num,den)，其要求在屏
幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。

然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。

命令执行结果：k 为对应选择点处根轨迹开环增益；p 为此点处的系统闭环特征根。

三、实验内容
一开环系统的传递函数为
绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。

四、实验要求
1、编制MATLAB 程序，画出实验所要求的根轨迹，求出系统的临界开环增益，并用
闭环系统的冲激响应证明之。

2、在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统的单位阶
跃响应曲线并记录之。

五、实验记录
1、MATLAB 的文件编程和仿真
(1) 实验程序
num=[1,2];
den=[conv([1,4,3],[1,4,3])];
rlocus(num,den) % 使用传递函数模型表征开环系统
[k,p]=rlocfind(num,den) % 在根轨迹图中使用光标获得相应的极点p与增益k
z=[-2];
p=[-1,-1,-3,-3];
k=32*sqrt(3); % k=55.4256为临界开环增益
[num,den]=zp2tf(z,p,k); % 使用零极点模型表征开环系统, 并转换为传递函数
[num1,den1]=cloop(num,den); % 闭环传递函数
subplot(211);
step(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位阶跃响应
subplot(212);
impulse(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位冲激响应
(2) 运行结果selected_point =
-0.8341 + 1.3665i
k =
6.9178
p =
-4.2173
-2.1390
-0.8218 + 1.3624i -0.8218 - 1.3624i
（根轨迹曲线）
（响应曲线）
2、MATLAB 的Simulink 仿真
(1) 系统框图
分析使用的系统为传递函数（Transfer Function）模型，在输入框赋予指定的一维向量。

(2) 仿真结果
七、结果分析
1、理论分析
对于开环传递函数为的控制系统，其特征方程为
(1) 根轨迹的起讫点与条数
系统具有二阶开环极点p i = -1, -3，开环零点z i = -2，即P = 4，Z = 1。

因此系统共有四条根轨迹分支，始于四个开环极点，其一终于开环零点，其余三条将沿渐近线趋向于s 平面的无穷远处。

(2) 实轴上的根轨迹
由判定规则易知，实轴上-2 至-3 和-3 至无穷小间的线段均为根轨迹（但其走向不同）。

(3) 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的夹角与交点由下面二式确定
即渐近线过零点-2，且与实轴的夹角为60°。

(4) 分离点
由系统特征方程可得
因而分离点为-1，其出射角为90°。

(5)根轨迹与虚轴的交点
令特征方程中s=jw，可得
即
解之可得
由以上分析可绘制出完整的根轨迹图。

对比仿真所得的根轨迹图线可知，各特征量与实
际数值完全吻合，从理论上证明了由编程绘制得根轨迹的正确性。

2、开环临界增益
由时域仿真曲线可以看出，当系统取临界开环增益时，其输出响应是一个等幅振荡，表
明此时系统是稳定的。

因而验证了此临界开环增益值的正确性。

八、心得思考
1、本次试验中，我熟悉使用了matlab自带的Simulink 仿真工具，将理论知识和问题很直观的在计算机上演示了出来，十分方便。

matlab语言及其工具箱为根轨迹的绘制（图形绘制）与求解（数值计算）提供了很大的方便，在实际运用中可大大提高工作效率。

2、根轨迹是图解给定特定参数时闭环特征根，从而分析系统性能的一种方法，特别是对于高阶复杂系统，可以有效避免求解高阶特征方程的困难。

3、本实验通过对一个具体实例的运用和分析，从定性到定量地求解了根轨迹的性质和
系统的性能，以及根轨迹分析法在系统稳定性判别方面的应用，从而加深了对相关知识点的理解和巩固。