自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法
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应当指出，由于matlaba软件包功能十分强大，运行相应 的matlab文本，可以方便的获得系统准确的根轨迹图。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计 算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是 每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取 值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹
第二种情况：由系统的性能指标（超调量，振荡与否等），先确定系统 的闭环极点，进而利用模值条件确定根轨迹增益。(通常这种设计方法 与闭环主导极点、二阶系统的阻尼比联系比较密切）
第三种情况：复杂校正装置的设计，如附加开环零点等。
例4-9 自动平衡称系统 要求完成以下工作： 1）建立系统的模型及信号流图 2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值 3）确定系统的主导极点 并使设计后的系统达到以下性能指标要求： 1）阶跃输入作用下无稳态误差。
图4-6 两种根轨迹
4-3 0度根轨迹的绘制
一般来说，零度根轨迹的来源有两个：一种是非最小相位系统中 包含S最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈 的内回路。前者是被控对象本身特性所产生的，或者是在系统结构图 变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，是的复杂的控 制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。（P165）
4.4
1）
2）
模值条件
[
Matlab求解会很简单
（降幂长除法）
2. 附加开环零点对系统性能的影响
在控制系统设计时，我们常用附加位置适当的开环零点的方法来改善 系统性能。因此，研究开环零点变换时的根轨迹变化，有很大的意义。
规则9的体现
3. 闭环系统零、极点位置对系统时间响应的影响（结合根轨迹图）
注：以上题型不会单独出，往往会结合第二章和第三章的题一起出。
4-6 控制系统的复域设计
控制系统根轨迹设计法的基本思路：
首先，利用已知的系统开环零、极点分布绘制系统的根轨迹图，根轨迹 图应当是准确的(可以利用matlab绘制）。
第一种情况：由系统的稳定性及稳态误差等要求确定下根轨迹增益，利 用根轨迹图通过图解法找出闭环极点(试探法、综合除法等）。一旦确 定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点利用开 环传递函数很容易直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统 的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。
4-1 根轨迹法的基本概念
1. 根轨迹的定义 例
1
定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根在s平面上形成的轨迹， 叫做根轨迹。
2. 根轨迹与系统性能(为何要绘制根轨迹，根轨迹的用途）
有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。
1)稳定性： 当参数变化时，若根轨迹是否进入S平面的右半平面？参数为何值时进入？ 当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。
例如，在上列程序之后增加语句：
[k,p]=rlocfind(num,den)
执行后用光标（十字）左单击根轨迹上的任一点，会同时在 每支根轨迹上出现红十字——标出n个闭环极点的位置，命 令窗中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。
Matlab文本： G=tf([1],[1 3 2 0]); pzmap(G); rlocus(G);
G(s)H (s)
s(s
K(s2 2s 4) 4)(s 6)(s2 1.4s
1)
对于本例，最简单的程序就是：
num=[ 1 2 4];
den=[1 11.6 39 43.6 24 0];
rlocus(num,den)
在Matlab的命令窗（Command Window）中执行这个程 序，运行后就自动绘出根轨迹如图，从根轨迹图可以看 出：当0<K<14或64<K<195时闭环系统稳定。用光标敲击 根轨迹上的某一点会出一个文字框，标出该点的座标、K 值、阻尼系数、超调量、频率等。
2) 稳态性能： 回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。 由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
注：非最小相位系统概念 指在S右半平面具有开环零极点的控制系统。
0度根轨迹的规制规则
熟记 P166，表4-3
4.8
4-4 参量根轨迹的绘制
为
4-5 利用根轨迹分析系统的性能
1. 闭环极点的确定
比较简单的做法是：先绘制根轨迹图，然后用试探法确定实数闭环极点的数值， 最后用综合除法得到其余的闭环极点。
i 1 q
s pi
i 1
尾一式
首一式
根轨迹增益与开环增益的转换关系
K*
K
1
2 2
L
T1T22 L
5. 绘制根轨迹的两个基本条件
也就是说，绘制根轨迹时，
只需要使用相角条件即可。
4-2 180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的， 而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本 规则，以便使根轨迹绘图更快更准。
1800 根轨迹绘制(考试重点） 00 根轨迹的绘制(考研会考）
根轨迹图分析(考试、考研） 参量根轨迹的绘制(考研会考）
本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 180度根轨迹的绘制 4-3 0度根轨迹的绘制 4-4 参量（数）根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析系统性能 4-6 控制系统复域设计
n
s pi
K * lim s
i 1 m
s zj
j 1
lim
s
s
nm
,
Fra Baidu bibliotek
0
,
nm nm
（无穷零点） （无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论：
由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K* 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
根与系数的关
系可证此结论，
P158
(考试时，标准根轨迹概略图如何画？） 熟记P157表4-1，考试、考研必考根轨迹的绘图与定性、定量讨论。
请牢记三句话：
绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的 相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。
（草图） 注意：规则9的体现，左右平衡
补充：用matlab绘制精确的根轨迹图
根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图，从而避 免了直接求解系统闭环特征根的困难。
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用非常 简便，特别在进行多回路系统分析时，应用起来比其他方法更为 方便，在工程实践中广泛应用。
(举例：嫦娥发射，吴宏鑫院士的报告)
基本概念
本章内容结构 根轨迹图的绘制
P81
P168 (实际3-6倍即可。) 若具有靠近原点的偶极子，则这种偶极子不能省去。
考试、考研题型：给定超调量，利用主导极点的概念求出满足超调量要求的增益。
欠阻尼二阶系统的超调量
e 1
j σ
——闭环极点位置
—— 的共轭
闭环极点分布与暂态分量的运动形式（模态的概念）
4. 性能分析举例
4.6
4.7
用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子 来说明用法。
[例 ] 考虑负反馈系统,设其中
G(s)H
(s)
s(s
K(s2 4)(s
2s 4) 6)(s2 1.4s
1)
用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数， 并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根 轨迹的专用函数rlocus就行了。
2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益）Km 变化时系统的根轨迹，
可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1
K*
P(s) Q(s)
1
K*
(s
6.93
j6.93)(s 6.93 s2 (s 13.86)
j6.93)
绘制系统的根轨迹为： G=zpk([-6.93+6.93i -6.93-6.93i],[0 0 -13.86],1); z=0.5; figure(1);rlocus(G); sgrid(z,'new');axis([-40 5 -10 10])
（续）
另外，如果开环系统只有无限零点，则在重根点方程中取
m 1 0 j1 d z j
0
（续）
实际上是条件极值问题。闭环系统特征方程具有实数等根或者复数等 根时，K* 为某一极值。(参考文献）
（续）
例4-3P155
（续）
考试要求做成如上 形式的图形。
规则9对于判断根轨迹的走向很有用。
在MATLAB窗中，进入File\Export，可将绘出的根轨 迹图存为需要的图形文件，比如命名为kka.jpg，这个图 形文件可以插入Word文挡。
与绘制根轨迹有关的函数还有： pzmap——绘制根轨迹的开环零、极点 rlocfind——计算给定点的K值 sgrid——在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自 然频率栅格 zgrid——在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自 然频率栅格
第四章 线性系统的根轨迹法
问题的引入（为什么要画根轨迹？） 从第三章的学习我们知道：
（P控制时）
系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。 但是，求解高阶系统的特征根非常困难（除了用matlab)。
1948年，伊文思(w．R．Evans) ，在“控制系统的图解分析”一文中， 提出了根轨迹法——
2）欠阻尼响应: 0.5
3）调节时间： ts 2s( 2%)
解题思路：建模后，绘出参数根轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定 出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复 杂。）
解：
1）首先弄清工作原理后，建立系统数学模型。
建立各个环节的数学模型，画出系统的信号流图，利用梅森公式求出系 统的数学模型。
3. 根轨迹法的基本任务
如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环 极点。一旦确定闭环极点后，传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由开 环传递函数直接求得。
在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法 求出。
简而言之，就是由根轨迹图求系统的闭环极点。
4. 根轨迹方程
^
与静态误差系数法所 用的标准形式不同
（首一式）
（首一式）
注意： 首一式和尾一式的转换关系
f
G s K 1s 1 22s2 212s 1 L sv T1s 1 T22s2 2 2T2s 1 L
K*
s zi
系统的闭环传递函数为：
X (s) W (s)
1 ( fli2
/
Js) (KmKs K f
lwli Ki KmKs / Js3 / s) (li Ki KmKsWc
/
Js3) ( fli2KmKs K f
/
Js 2 )
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
在根轨迹图上，做希望的阻尼比线 0.5 ，
（两种情况）
第四章 考试、考研题型
题型一 1.给定系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹 2.根据稳定性或者稳态误差的要求，确定更轨迹增益的取值或取值范围。进而确 定响应的闭环极点。 3.讨论改善系统性能的举措（添加零极点等） 题型二 1.给定系统的开环传递函数，绘制根轨迹图。 2.进一步给定系统的动态性能要求（比如阻尼比），利用主导极点的概念确定系 统的闭环极点，和所对应的根轨迹增益。 题型三 参数根轨迹绘制
例 考虑负反馈系统,其中
G(s)H (s)
s(s
K (s 3) 1)(s2 s
a)
,
a 11
如果按基本规则，图6（a）和6（b）两种形状都有可能性，实际上用
Matlab绘出是图6（a），当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12
Matlab绘出根轨迹如图6（b）。
(a)
(b)
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计 算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是 每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取 值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹
第二种情况：由系统的性能指标（超调量，振荡与否等），先确定系统 的闭环极点，进而利用模值条件确定根轨迹增益。(通常这种设计方法 与闭环主导极点、二阶系统的阻尼比联系比较密切）
第三种情况：复杂校正装置的设计，如附加开环零点等。
例4-9 自动平衡称系统 要求完成以下工作： 1）建立系统的模型及信号流图 2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值 3）确定系统的主导极点 并使设计后的系统达到以下性能指标要求： 1）阶跃输入作用下无稳态误差。
图4-6 两种根轨迹
4-3 0度根轨迹的绘制
一般来说，零度根轨迹的来源有两个：一种是非最小相位系统中 包含S最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈 的内回路。前者是被控对象本身特性所产生的，或者是在系统结构图 变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，是的复杂的控 制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。（P165）
4.4
1）
2）
模值条件
[
Matlab求解会很简单
（降幂长除法）
2. 附加开环零点对系统性能的影响
在控制系统设计时，我们常用附加位置适当的开环零点的方法来改善 系统性能。因此，研究开环零点变换时的根轨迹变化，有很大的意义。
规则9的体现
3. 闭环系统零、极点位置对系统时间响应的影响（结合根轨迹图）
注：以上题型不会单独出，往往会结合第二章和第三章的题一起出。
4-6 控制系统的复域设计
控制系统根轨迹设计法的基本思路：
首先，利用已知的系统开环零、极点分布绘制系统的根轨迹图，根轨迹 图应当是准确的(可以利用matlab绘制）。
第一种情况：由系统的稳定性及稳态误差等要求确定下根轨迹增益，利 用根轨迹图通过图解法找出闭环极点(试探法、综合除法等）。一旦确 定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点利用开 环传递函数很容易直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统 的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。
4-1 根轨迹法的基本概念
1. 根轨迹的定义 例
1
定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根在s平面上形成的轨迹， 叫做根轨迹。
2. 根轨迹与系统性能(为何要绘制根轨迹，根轨迹的用途）
有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。
1)稳定性： 当参数变化时，若根轨迹是否进入S平面的右半平面？参数为何值时进入？ 当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。
例如，在上列程序之后增加语句：
[k,p]=rlocfind(num,den)
执行后用光标（十字）左单击根轨迹上的任一点，会同时在 每支根轨迹上出现红十字——标出n个闭环极点的位置，命 令窗中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。
Matlab文本： G=tf([1],[1 3 2 0]); pzmap(G); rlocus(G);
G(s)H (s)
s(s
K(s2 2s 4) 4)(s 6)(s2 1.4s
1)
对于本例，最简单的程序就是：
num=[ 1 2 4];
den=[1 11.6 39 43.6 24 0];
rlocus(num,den)
在Matlab的命令窗（Command Window）中执行这个程 序，运行后就自动绘出根轨迹如图，从根轨迹图可以看 出：当0<K<14或64<K<195时闭环系统稳定。用光标敲击 根轨迹上的某一点会出一个文字框，标出该点的座标、K 值、阻尼系数、超调量、频率等。
2) 稳态性能： 回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。 由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
注：非最小相位系统概念 指在S右半平面具有开环零极点的控制系统。
0度根轨迹的规制规则
熟记 P166，表4-3
4.8
4-4 参量根轨迹的绘制
为
4-5 利用根轨迹分析系统的性能
1. 闭环极点的确定
比较简单的做法是：先绘制根轨迹图，然后用试探法确定实数闭环极点的数值， 最后用综合除法得到其余的闭环极点。
i 1 q
s pi
i 1
尾一式
首一式
根轨迹增益与开环增益的转换关系
K*
K
1
2 2
L
T1T22 L
5. 绘制根轨迹的两个基本条件
也就是说，绘制根轨迹时，
只需要使用相角条件即可。
4-2 180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的， 而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本 规则，以便使根轨迹绘图更快更准。
1800 根轨迹绘制(考试重点） 00 根轨迹的绘制(考研会考）
根轨迹图分析(考试、考研） 参量根轨迹的绘制(考研会考）
本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 180度根轨迹的绘制 4-3 0度根轨迹的绘制 4-4 参量（数）根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析系统性能 4-6 控制系统复域设计
n
s pi
K * lim s
i 1 m
s zj
j 1
lim
s
s
nm
,
Fra Baidu bibliotek
0
,
nm nm
（无穷零点） （无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论：
由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K* 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
根与系数的关
系可证此结论，
P158
(考试时，标准根轨迹概略图如何画？） 熟记P157表4-1，考试、考研必考根轨迹的绘图与定性、定量讨论。
请牢记三句话：
绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的 相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。
（草图） 注意：规则9的体现，左右平衡
补充：用matlab绘制精确的根轨迹图
根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图，从而避 免了直接求解系统闭环特征根的困难。
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用非常 简便，特别在进行多回路系统分析时，应用起来比其他方法更为 方便，在工程实践中广泛应用。
(举例：嫦娥发射，吴宏鑫院士的报告)
基本概念
本章内容结构 根轨迹图的绘制
P81
P168 (实际3-6倍即可。) 若具有靠近原点的偶极子，则这种偶极子不能省去。
考试、考研题型：给定超调量，利用主导极点的概念求出满足超调量要求的增益。
欠阻尼二阶系统的超调量
e 1
j σ
——闭环极点位置
—— 的共轭
闭环极点分布与暂态分量的运动形式（模态的概念）
4. 性能分析举例
4.6
4.7
用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子 来说明用法。
[例 ] 考虑负反馈系统,设其中
G(s)H
(s)
s(s
K(s2 4)(s
2s 4) 6)(s2 1.4s
1)
用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数， 并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根 轨迹的专用函数rlocus就行了。
2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益）Km 变化时系统的根轨迹，
可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1
K*
P(s) Q(s)
1
K*
(s
6.93
j6.93)(s 6.93 s2 (s 13.86)
j6.93)
绘制系统的根轨迹为： G=zpk([-6.93+6.93i -6.93-6.93i],[0 0 -13.86],1); z=0.5; figure(1);rlocus(G); sgrid(z,'new');axis([-40 5 -10 10])
（续）
另外，如果开环系统只有无限零点，则在重根点方程中取
m 1 0 j1 d z j
0
（续）
实际上是条件极值问题。闭环系统特征方程具有实数等根或者复数等 根时，K* 为某一极值。(参考文献）
（续）
例4-3P155
（续）
考试要求做成如上 形式的图形。
规则9对于判断根轨迹的走向很有用。
在MATLAB窗中，进入File\Export，可将绘出的根轨 迹图存为需要的图形文件，比如命名为kka.jpg，这个图 形文件可以插入Word文挡。
与绘制根轨迹有关的函数还有： pzmap——绘制根轨迹的开环零、极点 rlocfind——计算给定点的K值 sgrid——在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自 然频率栅格 zgrid——在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自 然频率栅格
第四章 线性系统的根轨迹法
问题的引入（为什么要画根轨迹？） 从第三章的学习我们知道：
（P控制时）
系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。 但是，求解高阶系统的特征根非常困难（除了用matlab)。
1948年，伊文思(w．R．Evans) ，在“控制系统的图解分析”一文中， 提出了根轨迹法——
2）欠阻尼响应: 0.5
3）调节时间： ts 2s( 2%)
解题思路：建模后，绘出参数根轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定 出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复 杂。）
解：
1）首先弄清工作原理后，建立系统数学模型。
建立各个环节的数学模型，画出系统的信号流图，利用梅森公式求出系 统的数学模型。
3. 根轨迹法的基本任务
如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环 极点。一旦确定闭环极点后，传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由开 环传递函数直接求得。
在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法 求出。
简而言之，就是由根轨迹图求系统的闭环极点。
4. 根轨迹方程
^
与静态误差系数法所 用的标准形式不同
（首一式）
（首一式）
注意： 首一式和尾一式的转换关系
f
G s K 1s 1 22s2 212s 1 L sv T1s 1 T22s2 2 2T2s 1 L
K*
s zi
系统的闭环传递函数为：
X (s) W (s)
1 ( fli2
/
Js) (KmKs K f
lwli Ki KmKs / Js3 / s) (li Ki KmKsWc
/
Js3) ( fli2KmKs K f
/
Js 2 )
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
在根轨迹图上，做希望的阻尼比线 0.5 ，
（两种情况）
第四章 考试、考研题型
题型一 1.给定系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹 2.根据稳定性或者稳态误差的要求，确定更轨迹增益的取值或取值范围。进而确 定响应的闭环极点。 3.讨论改善系统性能的举措（添加零极点等） 题型二 1.给定系统的开环传递函数，绘制根轨迹图。 2.进一步给定系统的动态性能要求（比如阻尼比），利用主导极点的概念确定系 统的闭环极点，和所对应的根轨迹增益。 题型三 参数根轨迹绘制
例 考虑负反馈系统,其中
G(s)H (s)
s(s
K (s 3) 1)(s2 s
a)
,
a 11
如果按基本规则，图6（a）和6（b）两种形状都有可能性，实际上用
Matlab绘出是图6（a），当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12
Matlab绘出根轨迹如图6（b）。
(a)
(b)