第4章根轨迹分析法知识题解答
自控原理第四章根轨迹分析法：利用主导极点估算系统性能指标
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
1
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
2
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
3
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
4
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
12
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
13
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
14
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
15
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
16
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
17
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
18
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
19
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月Biblioteka 4日星期三20第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
21
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
22
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
2021年4月14日星期三
23
第四章 根轨迹分析法
“自动控制原理”
自动控制原理与应用 第4章
2) 稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系 统属1型系统，因而根轨迹上的K值就是静态误差系数。如果给 定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位 置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不 是开环增益，而是所谓根轨迹增益。 下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间仅相差一个比 例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情 况是类似的。
图4-2 二阶系统的根轨迹
2. 根轨迹与系统性能 画出根轨迹的目的是利用根轨迹来分析系统的各种性能， 以图4-2为例进行说明。 1) 稳定性 当开环增益由零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越过 虚轴进入右半s平面，因此图4-1所示系统对所有的K值都是稳 定的。在分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹若越过虚轴进入 s右半平面，则根轨迹与虚轴交点处的K值即为临界开环增益。
为了说明根轨迹的概念，我们以图4-1所示的二阶系统为 例，介绍根轨迹的基本概念。
图4-1 二阶系统结构图
由图4-1可知，系统的开环传递函数为
G(s) K 2K
(4-1)
s(0.5s 1) s(s 2)
开环传递函数有p1=0, p2=－2两个极点，没有零点, 式中K 为开环增益。系统的闭环传递函数为
即
m
(s zi )
i 1 n
开环有限零点到 根轨迹上点 s的矢量长度之积 开环极点到根轨迹上点 s的矢量长度之积
1
K*
(s p j )
j 1
和
(4-9)
m
n
m
n
(s zi ) (s p j ) i j
当K=∞时，s1=-1+j∞, s2=-1-j∞，沿上述直线趋于无穷远。 如图4-2所示，当K由0→∞变化时，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹就是系统的根轨迹，直观地表示了K变化时闭环特 征根的变化，给出了K变化时对闭环特征根在s平面上分布的影 响。因此，可通过根轨迹的变化趋势来判定系统的稳定性，确 定系统的品质。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法称 为解析法。
自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
第四章 根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。
2、根轨迹对称于s 平面 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。
6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3+s s K，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。
A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。
2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。
6、B二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。
解：8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
cbad解：每项三分cbadb1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2+++=s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。
并求分离点或会合点。
解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(j s j s s K s G -++++=因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
4 根轨迹法(课堂)解析
m
n
幅值条件 K
A A
j 1 i 1 n
zi
k 0,1,2,
1
pj
可见，幅角条件与 K 无关; 而幅值条件与 K 有关，且K 由0 ~ 。
因此，复平面 [ S ]上 所 有 满 足 幅 角 条 件 点 的都 是 特征方程的根，当 K 由0 ~ 变 化 时 ， 这 些 点 所 构成 的 Wang Yu 轨 迹 即 根 轨 迹 。
3
p3
Wang Yu
18
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
五、根轨迹的渐近线
若m n，则当K 时，要有 n m 条根轨迹 趋于处，这 n m 条趋于处根轨迹的方位可由渐 近线决定。
渐近线与实轴交点的坐标为：
nm 渐近线与实轴正向的夹角为： 渐近线与实轴正向的夹角为：
式中 K 为系统的开环根轨迹增 益
写成相量形式
开环 增益
G s H s K
Az 1e A p1e
j z 1 j p 1
Azm e A pn e
j zm jpn
G(s)H(s)=-1
Wang Yu
8
§4-1 根轨迹方程
因此有：幅角条件
m
2k 1 180 zi pj i 1 j 1
Wang Yu
17
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
2k 1 180 zi pj i 1 j 1 m n
k 0,1,2,
[s]
p2
2 2 180o 1 180o
1 180 o
Z1
3 0o
Z3
4 0o
第四章 根轨迹法
四 根轨迹分析法2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图【解】：题2-4-1解图2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1）)1)(5.0)(2.0()(+++=s s s Ks G （2）)12()1()(++=s s s K s G（3）)52()2()(2+++=s s s K s G （4）)136)(5)(1()(2++++=s s s s Ks G试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图。
【解】：（1）系统有三个开环极点 1,5.0,2.0321-=--=--=-p p p 。
① 0,3==m n ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。
② 实轴上的根轨迹在区间]][2.0,5.01,(----∞。
③ 渐近线 ()()2,1,0180,6031801257.0315.02.0=︒︒±=︒⋅+=-=---=-k k θσ ④ 分离点。
方法一 由0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得33.0,8.008.04.332,12--=⇒=++s s s8.01-=s 不在根轨迹上，舍去。
分离点为33.0-。
分离点处K 值为 014.0)()(33.0=-=-=s s P s Q K方法二 特征方程为：01.08.07.123=++++K s s s重合点处特征方程：0)2()2()()(22232=+++++=++b a s a ab s b a s b s a s 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点。
系统的特征方程为01.08.07.1)(23=++++=K s s s s D方法一 令ωj s +，得⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-⇒=+++--26.18.001.07.108.001.08.07.12323K K K j j ωωωωωωω 方法二 将特征方程列劳斯表为Ks K s Ks s ++-+1.07.11.08.01.07.18.010123令1s 行等于0，得26.1=K 。
第4章 根轨迹分析法 参考答案
习题已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2)K s s s --若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
另一个闭环极点为 S3 ，则
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章根轨迹分析法4.1 学习要点1根轨迹的概念；2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用；3根轨迹绘制法则与步骤；4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
4.2 思考与习题祥解题4.1 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。
根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。
根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。
可以分解为幅值条件与相角条件。
运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。
除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。
因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。
负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。
因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。
（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。
增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。
题4.2 ,试绘制各系统的根轨迹图。
（1（2）)4()2()()(2++=s s s H s G（3）3)2()()(+=s Ks H s G解： （11）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点0=m 。
3）实轴上]02[]4，、，（--∞- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(18020342±=-+±=-=-+-=-k A θσ 5) 求分离点155.33322845.03322 08123 0)()()()(212''-≈--=-≈+-==++=-s s s s s A s B s B s A 解得：得：因为实轴上的根轨迹 在]02[]4，、，（--∞- 区间内，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 08623=+++K s s s造劳斯表： KS KS KS S 0123068681-为使S 1 行为零，应有48=K 由S 2 行得辅助方程： 04862=+s 解得: 83.28j j s ±≈±= 根轨迹如图4.1所示。
48=48=图4.1 题4.2（1）根轨迹（21）起点：三个开环极点 3,4,2,2321=-=--=--=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上 ]4-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(1803803422±=-+±=-=-++-=-k A θσ 5) 求分离点]4-∞-，（ 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 01620823=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)20()168(32=-++-ωωωj K由此可得下列联立方程：)20(016822=-=+-ωωωK解得: 144,52=±=K ω 根轨迹如图4.2所示。
144=144=图4.2 题4.2（2）根轨迹（31）起点：三个开环重极点 3,2321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点0=m ，因此，根轨迹分成3条，它们均由 -2 出发趋向无限远点。
3）实轴上]2-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00180,6003)12(18023222±=-+±=-=-++-=-k A θσ 5) 求分离点实轴上的分离点为-2。
6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 0812623=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)12()86(32=-+++-ωωωj K 由此可得下列联立方程：)12(08622=-=+-ωωωK解得: 64,32=±=K ω可见，根轨迹与其渐近线重合。
根轨迹如图4.3所示。
64=K 64=K图4.3 题4.2（3）根轨迹题4.3 已知负反馈控制系统的开环传递函数为（1）)4)(2()3()()(+++=s s s K s H s G（2）)3()()(+=s K s H s G（3试绘制各系统的根轨迹图。
解：（112,4,221=-=--=-n p p 。
2）终点：有一个有限开环零点1,3=-=-m z 。
3）实轴上]2,3[]4---∞-、，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线18012)12(180312342=-+±=-=--+-=-k A θσ 即：系统根轨迹分成两条，一条从) 0 2 (，-点出发，终止于有限开环零点) 0 3 (，-，另一条从) 0 4 (，-点出发，沿正实轴方向趋于无限远点。
根轨迹如图4.4所示。
图4.4 题4.3（1）根轨迹（213,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点13=-=-m z ，。
3）实轴上 ]0 2[ ]3 4[，、，--- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00913)12(18023133420±=-+±=-=--++-=-k A θσ5) 求分离点2463152s 0)()()()(23''=+++=-s s s A s B s B s A 得：因为实轴上的分离点应该在 ] 0 2 [，- 区间内，利用凑试法可得1.11-≈s 。
根轨迹如图4.5所示。
图4.5 题4.3（2）根轨迹（31）起点：三个开环极点 3,1,1,0321=---=-+-=-=-n j p j p p 。
2）终点：一个有限开环零点12=-=-m z ，。
3）实轴上 ]02[，- 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线0913)12(1800132110±=-+±==---+++-=-k j j A θσ）（）（ 即渐近线为虚轴。
5) 根轨迹的出射角20000011110 0)4590135(180 )(180 ==-+-=--=∑∑-==θθϕθθ故得：由n j mi i j l 根轨迹如图4.6所示。
图4.6 题4.3（3）题4.4 有一个开环传递函数为)15.0()1()()(2++=s s s K s H s G 的负反馈系统，试绘制系统的根轨迹。
解： 1）起点：三个开环极点 3,2,0321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点11=-=-m z ，。
3）实轴上 ] 1 2[--， 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线00913)12(18021131-200±=-+±=-=-++-=-k A θσ根轨迹如图4.7所示。
图4.7 题4.4根轨迹题 4.5 已知负反馈控制系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(+++=s s s Ks H s G ，试证明31j s +-=是该系统根轨迹上的一点，并求出相应的K 值。
解： 系统有三个开环极点，无开环有限零点。
开环零极点与31j s +-=点的分布如图4.8所示。
图4.8 题4.5 系统开环零极点分布1） 若s 为根轨迹上的点，则必满足相角条件，即： ∵ 0000321180306090)()()(=++=+∠++∠++∠P s P s P s ∴ s 是根轨迹上的一点。
2） 求与s 相应的K 值。
根据幅值条件：12132231))()((11321=⨯⨯=+++=P s P s P s K所以 12=K4.6 设负反馈系统的开环传递函数为)4()6()()(++=s s s K s H s G ，试证明该系统根轨迹为一圆形，并指出其圆心和半径。
证明: 设s 为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有：0180)4()()6 180)4()6(=++∠-+∠-++∠+==+∠-∠-+∠ωσωσωσωσj j j j s s s s （可得令即：018046=+--+σωσωσωarctg arctgarctg整理得：418060++=-+σωσωσωarctgarctg arctg 利用反正切公式，可得：41806160++=⋅++-+σωσωσωσωσωarctg arctg等式两端取正切：4616+=⋅++-+σωσωσωσωσω整理得：12)6(22=++ωσ可知，上式为一圆的方程，圆心)0 6(，-，半径为32。