第四章根轨迹法
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
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18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
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22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
第4章 根轨迹法
• 4.4
应用MATLAB绘制根轨迹图
• 使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输
出系统的根轨迹。 • （1）Rlocus（num，den）或rlocus（num，
den，k）
• （2）sgrid或sgrid(zeta，wn)
• 解 在图4.11中画出ξ=0.5的射线，与根轨 迹相交得闭环极点的要求位置s0。再画出 Gk(s)的极点到s0的三个向量——
• 得 • 由向量幅值
• 换句话说，如果取K*的值为65，则1+Gk (s) 的一个根将位于s0，另一个根当然是和s0共 轭的。第3个根在何处呢？由根轨迹知道， 第3条根轨迹在负实轴上，在一般情况下， 可以取一试探点，计算相应的K*值，然后 修正试探点直到找出和K*=65相应的点为止。
• ②方法2 根据式(4.14)，求出闭环系统特 征方程。
• 由上式可得
• ③方法3
根据式(4.15)有
• d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根 轨迹上，则舍弃。此系统根轨迹如图4.4。
图4.4
• 以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为 了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系 统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一 个复杂系统的完整根轨迹图。
第4章
• 4.1
• 4.1.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹法
根轨迹的基本概念
根轨迹的定义
• 系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞ 时，闭环特征根在S平面移动的轨迹称为该 系统的闭环根轨迹。
• 4.1.2
根轨迹方程
• 既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，
则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨 迹方程。 • 则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为： （4.2）
第四章根轨迹法.
9
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则 法则 1 根轨迹的分支数和对称性 : 1. 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 根轨迹对称于实轴(实数根或者复数根) 2. n阶系统有 条根轨迹 阶方程有 个确定的根,当根由始点 阶系统有n条根轨迹 阶方程有n个确定的根 阶系统有 条根轨迹(n阶方程有 个确定的根, 向终点移动时,必定形成一条根轨迹) 向终点移动时,必定形成一条根轨迹)
24
法则 8 根之和 : 当 n m ≥ 2 时 , 特征方程第二项系数与 K* 无关 , 无论 K* 取 何值 , 开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和
∑s = ∑ p
i =1 i i =1
n
n
i
(4-25)
25
画出了几种常见的开环零, 在图 4-15 中 , 画出了几种常见的开环零,极点分布及其相应 的根轨迹 , 供绘制概略根轨迹时参考 .
3
4.1.1 根轨迹概念 一, 根轨迹概念 根轨迹简称根迹 , 它是开环系统某一参数从零变到无穷时 , 闭 环系统特征方程的根(闭环极点 在 环系统特征方程的根 闭环极点)在 s 平面上变化的轨迹 . 闭环极点 设控制系统如图4-1所示 设控制系统如图 所示 , 其 闭环传递函数为 C ( s) 2K φ ( s) = = 2 R( s ) s + 2 s + 2 K 显然 , 其特征根为 s1, 2 = 1 ± 1 2 K 其特征根变化如图4-2所示 令 K = 0 → ∞, 其特征根变化如图 所示 . "×"---------表示开环传递函数的极点 × 表示开环传递函数的极点 "°"---------表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点 箭头的指向-------表示 增大是根的移动方向 表示K增大是根的移动方向 箭头的指向 表示
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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第四章：根轨迹法
i s ∏︱ - z︱ j
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
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Σ(由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。
L(s)的相角
2. 绘制根轨迹的一般规则 ➢ 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程
1G (s)H(s)0
➢ 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增
益形式，即特征方程可等价为
1 K (s z 1 ) (s z 2 ) (s z m ) 1 K M (s ) 0
如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段 属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合 点）。
分离点是特征方程的重根，因此有
KM(s)N(s) 0 KM(s)N(s) 0
G(s)H(s) KM(s) N(s)
dK 0 ds
或
dN (s) N (s)M (s)N (s)M (s)
( ) dsM (s)
稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统 的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是 闭环稳定的；
动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻 尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状 态对应的系统动态特性有明显差别；
稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度 误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨 迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。
1G (s)H (s)1 K (s1) 0 s(s2)(s4)2
试大致绘制其根轨迹。
j [s]
j [s]
二重极点
-4
-2
-1
0
-4
-2 -1
0
(a)
(b)
根轨迹图
➢ 规则五 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又 分开的点称为分离点。
一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生 于共轭复数对中。
3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。
单位反馈系统 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；
2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。
K' KG'KH'
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点!
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
1. 绘制根轨迹的基本条件
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角
a180 n (2m k1) (k0,1,2, )
➢ 当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 ➢ 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的
增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出 现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 ➢ 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为
i1
j1
h
f
l
(spi) (spj)K' (szi)
(szj)
i1
j1
i1
j1
G(s)K sG ((T11 ss11))((T2222ss2222T 22ss 11))
f
m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
(szi)
KG'
i1 q
(spi)
i1
f
l
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
k k 0 z1 1 k 0
p2 1 T k
0 p1 0
根轨迹图
➢ 规则四 根轨迹的渐近线
如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n >m，则有( n – m )条根轨迹沿着渐近线终止于无 穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定
渐近线与实轴的交点坐标
n
m
pi z j
(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为
G (s) K k ; k2K s(0.5s1) s(s2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的 标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上， 并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点
D(s)s22sk0
由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨 迹是对称于实轴的。
仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下 半部由镜象求得。
➢ 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数
系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点 （或无穷远处）。
由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K 由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变 化出现n条根轨迹。
s 1 1 1 k, s 2 1 1 k
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 表示
k
j [s]
. k 3 . k 2
k 0
k 1 k 0
-2
-1
. k 2
. k 3
0
k
图 4-2 二阶系统根轨迹
从图中可以看出 ① 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点
➢ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点
（或零点）的出射角（或入射角）互为相反
数。即有 p1 p2 ,z1 z2
➢ 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为
n
m
p r 1 8 0 (2 k 1 ) a rg (p r p j)a rg (p r z i)
j 1 ,j r
i 1
➢ 根轨迹到达复数零点zr的入射角为
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n )
N (s )
上式为绘制根轨迹的标准形式。
➢ 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称
特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数， 这些系数也是连续变化的。
系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数 连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特 征方程的根轨迹是连续的。
实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点 确定。
根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧 的开环零极点数目之和为奇数。
➢ 例 4-1 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G(s) K(s 1) 。其中，τ>T。试大致绘出其根轨迹。
s(Ts 1)
j [s]
➢ 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根 轨迹的一个特性；
➢ 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统 的任何参量，但最常用的是系统的开环增 益——常规根轨迹。
2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系
R(s)
+-
C(s) G(s)
H (s)
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统 特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻 烦。
④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分 析、设计控制系统是很有意义的。
3. 根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由W. Evans在“控制系统的图解分析”一文 中提出）。
➢ 绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件
② 相角条件
G(s)H(s) 1
G ( s ) H ( s ) a r g [ G ( s ) H ( s ) ] 1 8 0 i 3 6 0 ( i 0 , 1 , 2 ,)
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1 n
1
(s pi )
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的 阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点 的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。
幅值条件
n
s pi
K ＝ i1 m
s zi
i1
K 0
s值必须趋近于
某个开环极点
根轨迹起始于开环极点
K
s值必须趋近于
某个开环零点
根轨迹终止于开环零点
➢ 规则三 实轴上的根轨迹
已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。
以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。
4.1 根轨迹的基本概念
1、根轨迹的基本概念
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s1)
图 4-1 控制系统框图
➢ 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中 G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数 和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为
1G(s)H(s)0 G(s)H(s)1
将上式改写成
G ( s ) H ( s )e j G ( s ) H ( s ) 1 e j( 1 8 0 i3 6 0 ) ( i 0 ,1 ,2 , )
n
m
zr 1 8 0 (2 k 1 )a rg (zr p j) a rg (zr z i)
j 1
i 1 ,i r
4.3 广义根轨迹
➢ 参数根轨迹 ➢ 附加开环极点和零点的作用 ➢ 零度根轨迹
(s p j) j 1
前向通道极点 反馈通道极点
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
i1
j1
h
f
(spi) (spj)K' (szi)
l
(szj)
i1
j1
i1
j1
1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；
2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；
i1
m个零点、n个极 点（nm）
幅值条件
m
s zi
K
i1 n
s pi
i1
1
1）幅值条件不但与开环零、
极点有关，还与开环根轨迹
增益有关；
2）必要条件
L(s)的相角
2. 绘制根轨迹的一般规则 ➢ 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程
1G (s)H(s)0
➢ 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增
益形式，即特征方程可等价为
1 K (s z 1 ) (s z 2 ) (s z m ) 1 K M (s ) 0
如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段 属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合 点）。
分离点是特征方程的重根，因此有
KM(s)N(s) 0 KM(s)N(s) 0
G(s)H(s) KM(s) N(s)
dK 0 ds
或
dN (s) N (s)M (s)N (s)M (s)
( ) dsM (s)
稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统 的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是 闭环稳定的；
动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻 尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状 态对应的系统动态特性有明显差别；
稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度 误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨 迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。
1G (s)H (s)1 K (s1) 0 s(s2)(s4)2
试大致绘制其根轨迹。
j [s]
j [s]
二重极点
-4
-2
-1
0
-4
-2 -1
0
(a)
(b)
根轨迹图
➢ 规则五 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又 分开的点称为分离点。
一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生 于共轭复数对中。
3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。
单位反馈系统 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；
2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。
K' KG'KH'
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点!
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
1. 绘制根轨迹的基本条件
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角
a180 n (2m k1) (k0,1,2, )
➢ 当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 ➢ 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的
增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出 现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 ➢ 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为
i1
j1
h
f
l
(spi) (spj)K' (szi)
(szj)
i1
j1
i1
j1
G(s)K sG ((T11 ss11))((T2222ss2222T 22ss 11))
f
m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
(szi)
KG'
i1 q
(spi)
i1
f
l
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
k k 0 z1 1 k 0
p2 1 T k
0 p1 0
根轨迹图
➢ 规则四 根轨迹的渐近线
如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n >m，则有( n – m )条根轨迹沿着渐近线终止于无 穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定
渐近线与实轴的交点坐标
n
m
pi z j
(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为
G (s) K k ; k2K s(0.5s1) s(s2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的 标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上， 并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点
D(s)s22sk0
由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨 迹是对称于实轴的。
仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下 半部由镜象求得。
➢ 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数
系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点 （或无穷远处）。
由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K 由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变 化出现n条根轨迹。
s 1 1 1 k, s 2 1 1 k
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 表示
k
j [s]
. k 3 . k 2
k 0
k 1 k 0
-2
-1
. k 2
. k 3
0
k
图 4-2 二阶系统根轨迹
从图中可以看出 ① 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点
➢ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点
（或零点）的出射角（或入射角）互为相反
数。即有 p1 p2 ,z1 z2
➢ 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为
n
m
p r 1 8 0 (2 k 1 ) a rg (p r p j)a rg (p r z i)
j 1 ,j r
i 1
➢ 根轨迹到达复数零点zr的入射角为
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n )
N (s )
上式为绘制根轨迹的标准形式。
➢ 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称
特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数， 这些系数也是连续变化的。
系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数 连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特 征方程的根轨迹是连续的。
实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点 确定。
根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧 的开环零极点数目之和为奇数。
➢ 例 4-1 已 知 一 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G(s) K(s 1) 。其中，τ>T。试大致绘出其根轨迹。
s(Ts 1)
j [s]
➢ 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根 轨迹的一个特性；
➢ 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统 的任何参量，但最常用的是系统的开环增 益——常规根轨迹。
2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系
R(s)
+-
C(s) G(s)
H (s)
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统 特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻 烦。
④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分 析、设计控制系统是很有意义的。
3. 根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由W. Evans在“控制系统的图解分析”一文 中提出）。
➢ 绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件
② 相角条件
G(s)H(s) 1
G ( s ) H ( s ) a r g [ G ( s ) H ( s ) ] 1 8 0 i 3 6 0 ( i 0 , 1 , 2 ,)
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1 n
1
(s pi )
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的 阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点 的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。
幅值条件
n
s pi
K ＝ i1 m
s zi
i1
K 0
s值必须趋近于
某个开环极点
根轨迹起始于开环极点
K
s值必须趋近于
某个开环零点
根轨迹终止于开环零点
➢ 规则三 实轴上的根轨迹
已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。
以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。
4.1 根轨迹的基本概念
1、根轨迹的基本概念
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s1)
图 4-1 控制系统框图
➢ 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中 G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数 和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为
1G(s)H(s)0 G(s)H(s)1
将上式改写成
G ( s ) H ( s )e j G ( s ) H ( s ) 1 e j( 1 8 0 i3 6 0 ) ( i 0 ,1 ,2 , )
n
m
zr 1 8 0 (2 k 1 )a rg (zr p j) a rg (zr z i)
j 1
i 1 ,i r
4.3 广义根轨迹
➢ 参数根轨迹 ➢ 附加开环极点和零点的作用 ➢ 零度根轨迹
(s p j) j 1
前向通道极点 反馈通道极点
f
h
(s)1G G (s()sH )(s)q
KG' (szi) (spj)
i1
j1
h
f
(spi) (spj)K' (szi)
l
(szj)
i1
j1
i1
j1
1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；
2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；
i1
m个零点、n个极 点（nm）
幅值条件
m
s zi
K
i1 n
s pi
i1
1
1）幅值条件不但与开环零、
极点有关，还与开环根轨迹
增益有关；
2）必要条件