第四章控制系统根轨迹法
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第4章根轨迹
二．绘制系统§根４轨－１迹根的轨依迹据的基本概念
图示系统的特征方程 1 G(S)H(S) 0 G(S)H (S) ——开环传函
G
H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为 G(S)H (S) 1
G(S)H (S)是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的 幅值和相角分别相等的条件，可以得到
，
S2
1 2
1 2
1 4K
§当４K=－0时１，根S轨1=迹0，的S基2=-本1 概念
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值，将 这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的粗实 线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随 着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋势。
∞ K K=0× -1 K
∞
×
ds
上式的根
s1,2 6
36 24 0.423,1.577 6
因为分离点在０至－１之间，故 s1 0.423
为分离点的坐标，而舍弃 s2 1.577
jω
j2
K1=6
-1 60°-0.423
××
-60° σ
K1=6
j 2
用幅值条件确定分离点的增益：
k1 s 0 s 1 s 2 0.4230.5771.577 0.385
1.25
５．求根轨迹的分离点
系统的特征方程
S(S 3)(S 2 2S 2) K1 0 K1 S(S 3)(S 2 2S 2) (S 4 5S 3 8S 2 6S) dK1 4(S 3 3.75S 2 4S 1.5) 0 ds
70
2×p2
p2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第四章控制系统的根轨迹分析法
○
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
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i 1 j 1 j i n m
即，根轨迹进入复数零点的入射角等于180加上各极点到 该零点诸矢量相角之和减去其它零点到该零点诸矢量相角 之和。
例3 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 3 j3)(s 3 j3)
试求极点p2,3=-3±j3的出射角。 解 开环极点p1=0，p2=-3+j3，p3=-3-j3，无开环零点。
令实部、虚部分别等于零，
2 3ω K g 0 3 ω 2ω 0
联立解得 1=0， 2,3=±1.41，Kg=6
规则九、开环零极点与闭环极点特性 (1)当n - m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
s p
j j 1 j 1
n
n
j
式中 sj为闭环极点。
1 G k (jω ) 0
K g 与虚轴交点的根迹增益 ω 与虚轴交点的频率 Re[1 G k (jω )] 0 Im[1 G k (jω )] 0
(2)根据系统特征方程，列劳斯表，并令其第一列中包含有 Kg的元素为零，求出临界根迹增益Kg值，再由s2行的系数构 成辅助方程，求出交点的值。
4.2.1
根轨迹绘制规则及根轨迹的绘制
根轨迹绘制规则
规则一、根轨迹起点和终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。如果开环零点 数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 规则二、根轨迹分支数(条数) j 根轨迹分支数等于开环极点数。 规则三、根轨迹对称性 σ 根轨迹对称于实轴。 规则四、实轴上根轨迹 实轴上的某区段，如果它的右侧开环零点和开环极点 数目之和为奇数，则该区段必是根轨迹的一部分。
j -90 j
P2
j
j3 135
P2
j3
P1 -135 -j3
P2
j3
P1
-3 90
P3
P1
-3
P3
-3
P3
-j3
-j3
规则八 、根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点对应于系统特征方程的纯虚根。 有两种求法： (1)直接将s=j代入特征方程，并令其实部和虚部分别为零， 联立方程即可求出交点值和相应的Kg值。即 令s =j，有
例4 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
求其根轨迹与虚轴的交点。 解 闭环特征方程
D(s) s(s 1)(s 2) K g s 3 3s 2 2s K g 0
令s=j
D(jω ) jω (jω 1)(jω 2) K g (jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
自动控制原理
潘 维 加
长沙理工大学电气与信息工程学院
第四章 根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，它是由美国学者伊万 思（W.R.Evans）在1948年发表《控制系统图解分析》
一文中提出的。它是依据反馈控制系统开、闭环传递
函数之间的内在联系，提出的一种由开环传递函数绘 制闭环系统根轨迹的方法。它是s域分析方法。
例1 系统开环传递函数为
G(s)
Kg s(s 2)
，Kg为开环根轨迹增益，
试确定系统闭环特征根随开环根轨迹增益Kg增加时的变化轨迹。 解 系统有两个开环有限极点 p1=0， p2= -2，无开环有限零点。 闭环系统传递函数
Kg C(s) G(s) Φ(s) 2 R(s) 1 G(s) s 2s K g
该式称为根轨迹方程。
假设系统开环传递函数有m个零点、n个极点，将上式 写成零、极点的形式，有
Kg G(s)H(s)
(s z
i 1 j
m
i
) 1
(s p
j 1
n
)
式中
所以
zi为开环零点，pj为开环极点，Kg为根轨迹增益。
Kg
sz
i 1 j
m
i
p
j 1
p1 0
-j1.41
渐近线交点 σ
φa
p z
j j 1 i 1
-2
-1
σ
i
a
nm
0 ( 1) ( 2) 0 1
3
σa=-1
渐近线与正实轴夹角 (5)分离点及分离角
1 1 1 0; d 1 0.42,d 2 1.58 d 0 d ( 1) d ( 2)
(2)闭环极点之积与开环零、极点有如下关系
n n m
s p
j j 1 j 1
j
Kg
z
i 1
i
根轨迹的绘制规则见教材表4-1。
4.2.2
根轨迹的绘制
绘制根轨迹的步骤 （1）将系统开环传递函数化为零、极点标准形式； （2）求出系统的开环零点和极点，并标在s平面上； （3）确定根轨迹分支数； （4）确定实轴上根轨迹； （5）绘制根轨迹渐近线； （6）确定根轨迹分离点及分离角； （7）确定根轨迹起始角和终止角； （8）求出根轨迹与虚轴交点； （9）绘制根轨迹，并标出根轨迹运动方向。
p z
j
n
m
(5)闭环根轨迹如图
j p2 z1 p1 0 σ
i
σa
j 1
i 1
nm
0 ( 2) ( 1) 1
21
渐近线与正实轴夹角
(2k 1)π (2k 1)π φa π nm 1 (k 0)
-2
σa
-1
例6 系统开环传递函数
G(s)
4.1
4.1.1 根轨迹
根轨迹概念与根轨迹方程
当系统某个参数（如开环根轨迹增益Kg）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在s复平面上移动的轨 迹称为系统根轨迹。
绘制根轨迹时，先要在s复平面上绘制出系统的开 环零点和极点。开环零点用“○”表示；开环极点用 “×”表示；根轨迹上标出的箭头表示闭环系统特征 根随着开环根轨迹增益Kg增加时的变化趋势；根轨迹 上标出的数值代表与闭环特征根位置相对应的开环根 轨迹增益Kg的数值。
(6)根轨迹与虚轴交点 令s=j s(s+1)(s+2)+Kg=0
(2k 1)π (2k 1)π π π , π, ; (k 0,1) 闭环特征方程 nm 3 3 3
(jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
j
d
d2
d
d1 σ
规则七、根轨迹出射角和入射角 根轨迹离开复数极点的角度称为出射角；根轨迹进入 复数零点的角度称为入射角。
极点pi的出射角 θ p i 180 (pi z j ) (pi p j ) j 1 j 1 j i m n
即，根轨迹离开复数极点的出射角等于180加上各零点到 该极点诸矢量相角之和减去其它极点到该极点诸矢量相角 之和。 零点zi的入射角 φ zi 180 (z i p j ) (z i z j )
K g (s 3) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点：z1=-3。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-2,0)，(-∞,-3) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1，渐近线交点
p z
j
n
m
i
σa
j 1
(2k 1)π φa nm k 0,1,2,
例2 单位负反馈控制系统的开环传递函数
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
试绘制其根轨迹的渐近线。 解(1)渐近线条数 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3； 无开环零点，m=0。 渐近线条数：n-m=3 (2)渐近线交点
规则六、根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分 开的点称为根轨迹分离点。
分离点的坐标方程 式中
1 1 d p j i 1 d z i j 1
n
m
pj为开环极点，zi为开环零点。
根轨迹离开分离点处切线与实轴正方向的夹角称为根 轨迹的分离角。
分离角
(2k 1)π θd ; k 0,1 l
例5 系统开环传递函数 解(1)开环零点、极点
G(s)
K g (s 1) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点： z1=-1。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-1,0)，(-∞,-2) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1 渐近线交点
规则五、根轨迹渐近线 当开环根轨迹增益Kg增加时，若某一条根轨迹越来 越趋近于某一直线，则该直线称为根轨迹渐近线。 渐近线条数：如果开环零点数m小于开环极点数n，则当 根轨迹增益Kg趋近无穷时，有n-m条渐近线。 渐近线与实轴交点
σa
p z
j j 1 i 1
n
m
i
nm
渐近线与实轴正方向夹角
试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
j 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，无开环有限零点 d =-0.42 (2)根轨迹分支数 n=3 K =0.38 (3)实轴上根轨迹(-1,0),(- ∞,-2) p3 p2 (4)渐近线条数 n -m=3m - 0=3 n
1
g
j1.41 Kg=6
Kg=∞
R(s)
Kg s(s 2)
C(s)
j
闭环系统特征方程
闭环系统特征根
D(s) s 2 2s K g 0
Kg=0
p2
Kg=1 p1
σ
-2
-1
即，根轨迹进入复数零点的入射角等于180加上各极点到 该零点诸矢量相角之和减去其它零点到该零点诸矢量相角 之和。
例3 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 3 j3)(s 3 j3)
试求极点p2,3=-3±j3的出射角。 解 开环极点p1=0，p2=-3+j3，p3=-3-j3，无开环零点。
令实部、虚部分别等于零，
2 3ω K g 0 3 ω 2ω 0
联立解得 1=0， 2,3=±1.41，Kg=6
规则九、开环零极点与闭环极点特性 (1)当n - m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
s p
j j 1 j 1
n
n
j
式中 sj为闭环极点。
1 G k (jω ) 0
K g 与虚轴交点的根迹增益 ω 与虚轴交点的频率 Re[1 G k (jω )] 0 Im[1 G k (jω )] 0
(2)根据系统特征方程，列劳斯表，并令其第一列中包含有 Kg的元素为零，求出临界根迹增益Kg值，再由s2行的系数构 成辅助方程，求出交点的值。
4.2.1
根轨迹绘制规则及根轨迹的绘制
根轨迹绘制规则
规则一、根轨迹起点和终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。如果开环零点 数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 规则二、根轨迹分支数(条数) j 根轨迹分支数等于开环极点数。 规则三、根轨迹对称性 σ 根轨迹对称于实轴。 规则四、实轴上根轨迹 实轴上的某区段，如果它的右侧开环零点和开环极点 数目之和为奇数，则该区段必是根轨迹的一部分。
j -90 j
P2
j
j3 135
P2
j3
P1 -135 -j3
P2
j3
P1
-3 90
P3
P1
-3
P3
-3
P3
-j3
-j3
规则八 、根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点对应于系统特征方程的纯虚根。 有两种求法： (1)直接将s=j代入特征方程，并令其实部和虚部分别为零， 联立方程即可求出交点值和相应的Kg值。即 令s =j，有
例4 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
求其根轨迹与虚轴的交点。 解 闭环特征方程
D(s) s(s 1)(s 2) K g s 3 3s 2 2s K g 0
令s=j
D(jω ) jω (jω 1)(jω 2) K g (jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
自动控制原理
潘 维 加
长沙理工大学电气与信息工程学院
第四章 根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，它是由美国学者伊万 思（W.R.Evans）在1948年发表《控制系统图解分析》
一文中提出的。它是依据反馈控制系统开、闭环传递
函数之间的内在联系，提出的一种由开环传递函数绘 制闭环系统根轨迹的方法。它是s域分析方法。
例1 系统开环传递函数为
G(s)
Kg s(s 2)
，Kg为开环根轨迹增益，
试确定系统闭环特征根随开环根轨迹增益Kg增加时的变化轨迹。 解 系统有两个开环有限极点 p1=0， p2= -2，无开环有限零点。 闭环系统传递函数
Kg C(s) G(s) Φ(s) 2 R(s) 1 G(s) s 2s K g
该式称为根轨迹方程。
假设系统开环传递函数有m个零点、n个极点，将上式 写成零、极点的形式，有
Kg G(s)H(s)
(s z
i 1 j
m
i
) 1
(s p
j 1
n
)
式中
所以
zi为开环零点，pj为开环极点，Kg为根轨迹增益。
Kg
sz
i 1 j
m
i
p
j 1
p1 0
-j1.41
渐近线交点 σ
φa
p z
j j 1 i 1
-2
-1
σ
i
a
nm
0 ( 1) ( 2) 0 1
3
σa=-1
渐近线与正实轴夹角 (5)分离点及分离角
1 1 1 0; d 1 0.42,d 2 1.58 d 0 d ( 1) d ( 2)
(2)闭环极点之积与开环零、极点有如下关系
n n m
s p
j j 1 j 1
j
Kg
z
i 1
i
根轨迹的绘制规则见教材表4-1。
4.2.2
根轨迹的绘制
绘制根轨迹的步骤 （1）将系统开环传递函数化为零、极点标准形式； （2）求出系统的开环零点和极点，并标在s平面上； （3）确定根轨迹分支数； （4）确定实轴上根轨迹； （5）绘制根轨迹渐近线； （6）确定根轨迹分离点及分离角； （7）确定根轨迹起始角和终止角； （8）求出根轨迹与虚轴交点； （9）绘制根轨迹，并标出根轨迹运动方向。
p z
j
n
m
(5)闭环根轨迹如图
j p2 z1 p1 0 σ
i
σa
j 1
i 1
nm
0 ( 2) ( 1) 1
21
渐近线与正实轴夹角
(2k 1)π (2k 1)π φa π nm 1 (k 0)
-2
σa
-1
例6 系统开环传递函数
G(s)
4.1
4.1.1 根轨迹
根轨迹概念与根轨迹方程
当系统某个参数（如开环根轨迹增益Kg）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在s复平面上移动的轨 迹称为系统根轨迹。
绘制根轨迹时，先要在s复平面上绘制出系统的开 环零点和极点。开环零点用“○”表示；开环极点用 “×”表示；根轨迹上标出的箭头表示闭环系统特征 根随着开环根轨迹增益Kg增加时的变化趋势；根轨迹 上标出的数值代表与闭环特征根位置相对应的开环根 轨迹增益Kg的数值。
(6)根轨迹与虚轴交点 令s=j s(s+1)(s+2)+Kg=0
(2k 1)π (2k 1)π π π , π, ; (k 0,1) 闭环特征方程 nm 3 3 3
(jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
j
d
d2
d
d1 σ
规则七、根轨迹出射角和入射角 根轨迹离开复数极点的角度称为出射角；根轨迹进入 复数零点的角度称为入射角。
极点pi的出射角 θ p i 180 (pi z j ) (pi p j ) j 1 j 1 j i m n
即，根轨迹离开复数极点的出射角等于180加上各零点到 该极点诸矢量相角之和减去其它极点到该极点诸矢量相角 之和。 零点zi的入射角 φ zi 180 (z i p j ) (z i z j )
K g (s 3) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点：z1=-3。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-2,0)，(-∞,-3) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1，渐近线交点
p z
j
n
m
i
σa
j 1
(2k 1)π φa nm k 0,1,2,
例2 单位负反馈控制系统的开环传递函数
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
试绘制其根轨迹的渐近线。 解(1)渐近线条数 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3； 无开环零点，m=0。 渐近线条数：n-m=3 (2)渐近线交点
规则六、根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分 开的点称为根轨迹分离点。
分离点的坐标方程 式中
1 1 d p j i 1 d z i j 1
n
m
pj为开环极点，zi为开环零点。
根轨迹离开分离点处切线与实轴正方向的夹角称为根 轨迹的分离角。
分离角
(2k 1)π θd ; k 0,1 l
例5 系统开环传递函数 解(1)开环零点、极点
G(s)
K g (s 1) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点： z1=-1。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-1,0)，(-∞,-2) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1 渐近线交点
规则五、根轨迹渐近线 当开环根轨迹增益Kg增加时，若某一条根轨迹越来 越趋近于某一直线，则该直线称为根轨迹渐近线。 渐近线条数：如果开环零点数m小于开环极点数n，则当 根轨迹增益Kg趋近无穷时，有n-m条渐近线。 渐近线与实轴交点
σa
p z
j j 1 i 1
n
m
i
nm
渐近线与实轴正方向夹角
试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
j 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，无开环有限零点 d =-0.42 (2)根轨迹分支数 n=3 K =0.38 (3)实轴上根轨迹(-1,0),(- ∞,-2) p3 p2 (4)渐近线条数 n -m=3m - 0=3 n
1
g
j1.41 Kg=6
Kg=∞
R(s)
Kg s(s 2)
C(s)
j
闭环系统特征方程
闭环系统特征根
D(s) s 2 2s K g 0
Kg=0
p2
Kg=1 p1
σ
-2
-1